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(共39张PPT)
第六章
6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.通过对具体柱体、锥体、台体结构的分析,能探索出用展开的思想方法来研究其侧面积.
2.理解柱体、锥体、台体的侧面积和表面积计算公式及其使用范围.
3.能运用柱体、锥体、台体的侧面积和表面积公式进行计算和解决有关实际问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　侧面积的概念
不沿着母线剪开展开的平面图形不易研究其侧面积
把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展开在一个平面上,
　　　　　的面积就是它们的侧面积.
名师点睛
一个几何体的表面积是指几何体所有面的面积的和,也可以理解成几何体的侧面积与其底面积的面积之和,也称为全面积.
展开图
思考辨析
通过动手折叠几何体,能得出直棱柱的侧面展开图是什么图形 如果直棱柱底面周长为c,侧棱长为l,那么棱柱的侧面积如何表示
提示 直棱柱的侧面展开图是矩形,所以侧面积为cl.
自主诊断
判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.(　　)
(2)只有侧面是平面的几何体才能求其侧面积.(　　)
(3)几何体的平面展开方法可能不同,但其表面积唯一确定.(　　)
√
×
√
知识点二　圆柱、圆锥、圆台的侧面积
几何体 侧面展开图形状 展开图度量与几何体度量的关系 侧面积公式
圆柱 矩形的一边长为母线长,另一边长是圆柱底面周长 S圆柱侧=2πrl
r:底面半径,
l:母线长
圆锥 扇形的半径为母线长,扇形的弧长为圆锥底面周长 S圆锥侧=πrl
r:底面半径,
l:母线长
几何体 侧面展开图形状 展开图度量与几何体度量的关系 侧面积公式
圆台 扇环的较短的弧长为圆台上底面周长,较长的弧长为圆台下底面周长 S圆台侧=π(r1+r2)l
r1,r2分别为圆台上、下底面半径,l为母线长
名师点睛
圆柱、圆锥、圆台的结构特征比较
结构特征 圆柱 圆锥 圆台
底面形状 两个底面是平行且半径相等的圆 只有一个底面,且底面是圆 两个底面是平行但半径不相等的圆
侧面展开图形状 矩形 扇形 扇环
母线 平行且相等 相交于顶点 延长线交于一点
平行于底面的截面形状 是与两个底面平行且半径相等的圆 平行于底面且半径不相等的圆 是与两个底面平行且半径不相等的圆
轴截面形状 矩形 等腰三角形 等腰梯形
思考辨析
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系
提示 如图所示.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　)
(2)若圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,则一定有S圆锥侧=πrl.(　　)
(3)圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关.(　)
×
√
√
2. 正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm,3 cm,侧棱长为 cm,则棱台的侧面积为(　　)
B
3.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的表面积与侧面积的比是多少
知识点三　直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
几何体 侧面展开图的构成 侧面积公式
直棱柱 矩形 S直棱柱侧=ch,
斜棱柱侧面展开不是矩形,不能套用这个公式
c是底面周长,h是高
正棱锥 由全等的等腰三角形拼接而成 S正棱锥侧= ch',
c是底面周长,h'为斜高
正棱台 由全等的等腰梯形拼接而成 S正棱台侧= (c+c')h',
c,c'分别为上、下底面周长,
h'为斜高
名师点睛
1.对于直棱柱,其侧面积可以用公式计算,也可以将其每一个侧面的面积分别计算,然后相加;对于正棱锥和正棱台,其侧面积可以由其一个侧面的面积乘以侧面的个数来计算,因为它们的侧面都是全等的三角形或梯形.
2.对于正棱锥和正棱台来说,其斜高是指其侧面等腰三角形或等腰梯形的高,它与正棱锥、正棱台的高是不同的.
思考辨析
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间有何联系
提示
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)侧面积公式S棱柱侧=cl(其中c为底面周长,l为棱柱侧棱长)仅适用于正棱柱.(　　)
(2)正棱锥侧面积公式S正棱锥侧= ch'中c为底面周长,而h'为正棱锥的高.(　)
×
×
2.正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则它的侧面积为　　　,表面积为　　　　　.
6
重难探究·能力素养速提升
探究点一　简单旋转体的侧面积与表面积
【例1】 (1)若一个圆锥的轴截面是一个边长为3的等边三角形,则该圆锥的表面积是(　　)
D
(2)圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于(　　)
A.72 B.42π
C.67π D.72π
C
解析 S圆台表=S圆台侧+S上底+S下底=π(3+4)·6+π·32+π·42=67π.
规律方法　旋转体侧面积和表面积的求解策略
(1)简单旋转体的侧面积与表面积计算的关键是熟记公式,灵活套用.要弄清圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的形状以及展开图中各线段长(弧长)与原几何体有关量的关系.
(2)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积,关键是求出它们的底面半径以及母线长.通常借助它们的轴截面来求底面半径及母线长,其中圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.
变式训练1一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆,则该圆锥的表面积为(　　)
A
探究点二　简单多面体的侧面积与表面积
【例2】 已知正四棱锥的底面边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,则该正四棱锥的侧面积等于______________ cm2.
32　
解析 如图所示,正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成Rt△POE.
规律方法　求多面体的侧面积或表面积的技巧方法
(1)对于直棱柱、正棱锥、正棱台,求其侧面积与表面积的关键是求出它们的基本量,如底面边长、高、斜高等,然后套用公式计算.
(2)对于一般的棱柱、棱锥、棱台,求其侧面积时,一般是将其每一个侧面的面积分别求出来,然后相加.
(3)注意合理运用多面体的特征几何图形,如棱柱中的矩形、棱台中的直角梯形、棱锥中的直角三角形,它们是联系高与斜高、侧棱、底面边长的桥梁,也是侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素间的桥梁.
变式训练2若正三棱台的侧面均是上、下底边长分别为2和4,腰长为3的等腰梯形,则该正三棱台的表面积等于　　　　　.
探究点三　简单组合体的表面积
【例3】 在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a, ∠DCB=60°,在平面ABCD内过点C作直线l⊥BC,将梯形ABCD以l为轴旋转一周,求旋转体的表面积.
以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体可看成
圆柱体中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥后剩余的几何体,由上述计算知,圆柱母线长为 a,底面半径为2a,圆锥的母线长为2a,底面半径为a,
∴圆柱的侧面积S1=2π×2a× a=4 πa2,圆锥的侧面积S2=π×a×2a=2πa2,圆柱的底面积S3=π(2a)2=4πa2,圆锥的底面积S4=πa2,
∴旋转体上底面面积S5=S3-S4=3πa2,
∴旋转体的表面积S=S1+S2+S3+S5=(4 +9)πa2.
规律方法　简单组合体表面积的求解思路
(1)首先应弄清它的组成,其表面有哪些底面和侧面,各个面应怎样求其面积,然后把这些面的面积相加或相减;
(2)在求组合体的表面积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”的含义,以确保不重复、不遗漏.
变式训练3 有一塔形几何体由3个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2,则该塔形几何体的表面积为　　　　　.
36
解析 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2, ,1,所以
S表=2×22+4×[22+( )2+12]=36.所以该几何体的表面积为36.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积;
(2)棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积.
2.方法归纳:公式法、化归与转化、数形结合.
3.常见误区:(1)易混淆展开图中几何元素和原几何体中的差别;(2)对于组合体的表面积易重复计算拼接面.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是(　　)
A.4π B.3π C.2π D.π
C
解析 底面圆半径为1,高为1,侧面积S=2πrh=2π×1×1=2π.故选C.
5
1
2
3
4
2.棱长都是3的三棱锥的表面积S为(　　)
D
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2
3
4
3.若圆台的高是12,母线长为13,两底面半径之比为8∶3,则该圆台的表面积为　 .
216π　
5
1
2
3
4
4.已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm,表面积等于144 cm2,则这个棱柱的侧面积为　　　　　cm2.
112或72
5
1
2
3
4
5
5.已知圆锥的高和底面半径相等,它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等,求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.
本 课 结 束

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