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重庆市第八中学2025届高三5月月考卷（七）
数学试卷
注意事项:
1、答题前、考生务必用黑色硬素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2、每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
3、考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟.
一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的)
1. 设集合 ,则
A.(-3,1) B.
C. D.
2. 已知复数 在复平面内对应的点的坐标是(-1,2),则
A. B. C. D.
3. 下列椭圆的形状更接近于圆的是
A. B.
C. D.
4. 已知四面体 ,所有棱长均为 2,点 分别为棱 的中点,则
A. 1 B.
C. 2 D.
5. 已知函数 有唯一零点,则实数
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
6. 设 ,若 恒成立,则
A. B.
C. D.
7. 用 代表红球、 代表蓝球、 代表黑球、由加法原理及乘法原理、从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 的展开式 表示出来,如: “1” 表示一个球都不取、 “ ” 表示取出一个红球、而 “ ” 则表示把红球和蓝球都取出来. 以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从 4 个无区别的红球、 5 个无区别的蓝球、 6 个有区别的黑球中取出若干个球, 且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是
A.
B.
C.
D.
8. 将正整数 的最佳分解定义为两个正整数 ,使得 最小. 记 ,则
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项是符合题 目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 公差为 的等差数列 与公比为 的等比数列 首项相同且为正数,则
A. 若 ,则 为递减数列
B. 若 ,则 为递减数列
C. 若 ,则 为递增数列
D. 若 ,则 为递增数列
10. 已知圆 和点 ,点 是圆 上的动点,若线段 的中垂线交直线 于点 ,关于点 轨迹叙述正确的是
A. 当 时,点 的轨迹为圆
B. 当 时,点 的轨迹为抛物线
C. 当 时,点 的轨迹为椭圆
D. 当 时,点 的轨迹为双曲线
11.已知 ,满足 ,且 ,则下列结论正确的有
A. B.
C. 的最大值为 2 D. 的最小值为
填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 点 为直线 上的一动点, ,则点 到直线 的距离为_____.
13. 设正整数数列 满足 ,则 _____.
14. 已知 满足 ,且 ,则 的值域为_____
四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
某社区 100 名居民参加国庆活动, 他们的年龄在 30 岁至 80 岁之间, 将年龄按 , 分组,得到的频率分布直方图如图 1 所示.
(1)求 的值,并估计该社区参加国庆活动的居民的年龄中位数；
(2)现从年龄在 取 3 人进行座谈,用 表示参与座谈的居民的年龄在 的人数,求 的分布列和数学期望.
图 1
16.(本小题满分 15 分)
在如图 2 所示的几何体中, 平面 是 的中点, , .
(1)求证: 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
图 2
17. (本小题满分 15 分) 在平面直角坐标系 中,点 到点 的距离比它到 轴的距离多 1,记点 的轨迹为 . 过点 且斜率为 的直线 与轨迹 从左到右的三个公共点分别为 .
(1)求 的取值范围；
(2)点 关于原点对称,若 ,求 的面积.
18.(本小题满分 17 分)
已知函数 为 的导函数.
(1)当 时,求不等式 的解集；
(2)当 时,讨论 的单调性；
(3)若函数 在 处取极小值,求 的值.
19. (本小题满分 17 分)
点 是直线 外一点,点 在直线 上 (点 与点 任一点不重合). 若点 在线段 上,记 ; 若点 在线段 外,记 . 记 . 记 的内角 的对边分别为 为 中点, 为射线 上的点, 为 的平分线.
(1)若 ,求 ；
( 2 )射线 上的点 满足 ,
(i) 求 的最小值;
(ii) 若 ,记 ,求证: 数列 的前 项和 .

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