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人教版九年级上 第22章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．（2025 滁州三模）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达y万元，若把增长率记作x,则y关于x的函数关系式为（　　）
A．y=a（1+2x） B．y=a（1+x）2
C．y=a+a（1+x）+a（1+2x） D．y=a+a（1+x）+a（1+x）2
2．（2025 孝义市三模）将抛物线y=-（x-2）2+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y=-（x+1）2-1 B．y=-（x-5）2-1
C．y=-（x+1）2+3 D．y=-（x-5）2+3
3．（2025 南阳模拟）从某一高度h0（m）自由下落的小球离地面的高度h（m）与下落时间t（s）满足关系式，它的图象如图所示，点（1，40）为其图象上一点．小球下落过程中的速度v（m/s）与小球离h0（m）的距离h1（m）满足关系式v2=20h1，已知该小球到达地面的速度超过25m/s时会对地面造成伤害，则下列说法错误的是（　　）
A．小球开始下落时离地面的高度为45m
B．小球3s落地
C．小球不会对地面造成伤害
D．第2s时小球的速度为20m/s
4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②b＜a+c；③3a+2b＞0；④2c＜3b；⑤若，且x1≠x2，则x1+x2=2．其中结论正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．将抛物线y=x2-2x+3绕原点旋转180°得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y=x2+2x+3 B．y=-x2-2x-1 C．y=-x2-2x-3 D．y=-x2+2x-1
6．抛物线与x轴有且只有一个交点，则m的值为（　　）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
7．在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y=x2+mx+n向左平移1个单位长度，得到抛物线C2：y=x2+（2n-3）x+2，则m,n的值分别为（　　）
A．m=-1，n=2 B．m=-1，n=3 C．m=1，n=2 D．m=1，n=3
8．已知二次函数y=ax2+2ax+2a+5（其中x是自变量）图象上有两点（-2，y1），（1，y2），满足y1＞y2．当-2≤x≤1时，y的最小值为-5，则a的值为（　　）
A．-5 B．-10 C．-2 D．5
9．在平面直角坐标系中，若两点的纵坐标互为相反数，横坐标不相等，则称这两点互为憾对称，其中一点叫做另一点的憾点，如点（-2，4），（1，-4）互为憾对称．已知点A将坐标为（2，1），抛物线y=ax2-2ax-3a上恰有两个点与点A互为憾对称，且过两个点之间的距离不超过6，则下列关于a的取值范面植述正确的是（　　）
A． B．或
C．且 D．且或
10．如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC，对称轴为直线x=1，下列结论：①abc＜0；②ac-b+1=0；③4a+2b+c=0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）中，有，已知点，是平面上两点，连接MN，若抛物线y=ax2+bx+c的图象与线段MN有交点时，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．或
12．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，CD=，动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．下列4个结论：①当t=1时，S=3；②点P在线段BA上时S=2t2-16t+34；③AD=4；④t1+t2=4．其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
13．写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式______．
14．二次函数y=-x2+2x-1的最大值为______．
15．已知抛物线y=ax2与线段AB无公共点，且A（-2，-1），B（-1，-2），则a的取值范围是______．
16．若一个点的坐标满足（k,2k），我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y=（t+1）x2+（t+2）x+s（s,t为常数，t≠-1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是______．
17．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x=1．有下列说法：
①2a+b=0；
②3a+c＞0；
③对任意实数m,am2+bm≤a+b；
④方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一个根大于-1且小于0；
⑤方程ax2+bx=a+b-1有两个不相等的实数根，且两根的和为2；
⑥若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1-1|＞|x2-1|时，y1＜y2．
其中，正确的是______（填序号）．
三．解答题（共5小题）
18．珠海市某海鲜市场销售一种成本为40元/千克的虾，若按50元/千克销售，一个月售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．
（1）当月销售利润达到8000元时，试计算销售单价定为多少元？
（2）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润．
19．已知a是常数，函数y=（x+4）（x-a2+a-3）+1，记T=．
（1）若x=-4，a=1，求y的值；
（2）若x=3a+2，y=1，比较T与3的大小．
20．冬暖夏凉的黄土窑洞藏着四千年的智慧，高窗与厚土交织出天人合一的居住哲学．如图1所示的窑洞，其下部近似为矩形OCAB（图2），上部近似为一条抛物线．已知AC=4米，AB=2.5米，窑洞的最高点P（抛物线的顶点）离地面AC的距离为4米．以OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若在窑洞的上部安装两根窗框DG、EF，点D、E在矩形OCAB的边BO上，点F、G在抛物线上，点D与点E恰好是OB的三等分点（点D在点E的左侧），求这两根窗框的总长度（DG+EF）．
21．【探究】某校人工智能科技小组，用电脑模拟飞行器实验，以点O为原点，以水平直线OA为x轴，以过点O且垂直OA的直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，从点O向右上方发射飞行器，飞行器的飞行路线是抛物线y=ax2+bx（a＜0），在离点O水平距离为时，飞行器达到最大高度，最大高度为，在飞行到B点时，智能科技小组控制飞行器变轨，飞行器的飞行路线变为直线y=kx+8.1，直至落在x轴上的点A处．
（1）求a、b、k的值；
（2）在整个飞行期间，飞行器的高度为2.4时有两个位置，求这两个位置之间的水平距离．
【拓展】在上述情境中，从O点继续发射飞行器，调整飞行器的参数，使抛物线y=axx+bx（a＜0）中b的值保持不变，当飞行器的水平距离为9时，飞行器的飞行路线变轨为直线y=kx+m,此时k的值不变，若OA＞15，求a的取值范围．
22．如图①，一次函数y=x-2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y=x2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．
（1）求二次函数的关系式及点C的坐标；
（2）如图②，若点P是直线AB上方的抛物线上一点，过点P作PD∥x轴交AB于点D，PE∥y轴交AB于点E，求PD+PE的最大值．
人教版九年级上 第22章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、A 3、C 4、B 5、C 6、B 7、A 8、C 9、D 10、C 11、D 12、B
二．填空题（共5小题）
13、y=x2+2，答案不唯一．； 14、0； 15、a＞0或-＜a＜0或a＜-2； 16、-1＜s＜0； 17、①③④⑤⑥；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）根据题意得：（x-40）（-10x+1000）=8000，
解得：x1=80，x2=60，
∴当月销售利润为8000元时，售价为80元或60元；
（2）设月销售利润为W，
则W=（x-40）（-10x+1000）=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000，
∵-10＜0，
∴当x=70时，W取得最大值，此时W=9000，
答：当售价定为70元时月销售利润，最大利润是9000元．
19、解：（1）把x=-4，a=1代入函数y=（x+4）（x-a2+a-3）+1，
得y=（-4+4）（-4-12+1-3）+1=1，
∴y的值为1；
（2）将x=3a+2，y=1代入函数，
得（3a+2+4）（3a+2-a2+a-3）+1=1，
整理得：-3（a+2）（a2-4a+1）=0，
①当a+2=0时，即a=-2，
∴，
②当a2-4a+1=0时，a≠0，
则有a2=4a-1，
∵∵a2+1=4a,
∴a+=4，
∴T=
=
=
=，
综上可知：当a=-2时，T＜3；当a2-4a+1=0时，T＞3．
20、（1）已知AC=4米，AB=2.5米，窑洞的最高点P（抛物线的顶点）离地面AC的距离为4米．
∴顶点P的坐标为（2，1.5），B（4，0），
设抛物线的函数表达式为y=a（x-2）2+1.5（a≠0），将点B的坐标代入，得：
4a+1.5=0，
解得，
∴抛物线的函数表达式为（0≤x≤4）．
（2）由题意知，BO=AC=4，
∴，
当时，，
由对称性可知，
∴，
故这两根窗框的总长度为米．
21、解：探究：（1）设抛物线为，
∴，
∴，
∴，
∴b=1．
∵x=9时，，
∴，
∵点B在直线y=kx+8.1上，
∴，
∴；
（2）∵，整理得：x2-15x+36=0．
解得：x1=12＞9（不合题意，舍去），x2=3．
∵．
∴
解得：x=11.4，
∴11.4-3=8.4．
答：距离为8.4．
拓展：
当x=9时，y=ax2+x=81a+9，
∴B（9，81a+9），
∴，
∴，
∴时，OA＞15．
22、解：（1）令，得x=4，
∴A（4，0），
令x=0，得y=-2，
∴B（0，-2），
∵二次函数的图象经过A、B两点，
∴，
解得，
∴二次函数的关系式为，
令，解得x=1或x=4，
∴C（1，0）；
（2）∵PD∥x轴，PE∥y轴，
∴∠PDE=∠OAB，∠PED=∠OBA，
∴△PDE∽△OAB，
∴，
∴PD=2PE，
设P，则E，
∴PD+PE=3PE=3×[（-m2+m-2）-（m-2）]=-5m2+6m=-2（m-2）2+6．
∵0＜m＜4，
∴当m=2时，PD+PE有最大值6．

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