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人教版九年级下 第27章 相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．（2025春 南岗区校级月考）已知（a、b、m、n都是不为0的自然数），那么下面的比例式中成立的是（　　）
A．m：n=b：a B．a：b=m：n C．a：n=b：m D．n：b=a：m
2．如图，在△ABC中，点D在AC上，若△ABD∽△ACB，∠A=80°，∠ADB=70°，则∠DBC的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
3．若△ABC∽△DEF，且对应高的比为2：3，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．9：4
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD=3，BD=4，则=（　　）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心可以是（　　）
A．点M B．点N C．点Q D．点P
6．如图，在矩形ABCD中，点E是AD中点，点F是CD上一点，连接BE，BF，EF，若∠BEF=90°，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA=150cm,阻力臂OB=50cm,BD=20cm,则AC的长度是（　　）
A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm
8．（2025 长沙模拟）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：FE=（　　）
A．4：3 B．3：1 C．2：1 D．3：2
9．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且EC=2AE，连接DE并延长，交AB于点M，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥AC交BC于点F，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接BD交AE于点G．则S△BGF：S△BAF=（　　）
A． B．2：3 C． D．
12．如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD、CD于点F、M，过点F作NP⊥AE，分别交AD、BC于点N、P，连接MP．下列四个结论：
①AM=PN；
②；
③若P是BC中点，AB=3，则；
④BF NF=AF DF；
⑤若PM∥BD，则．
其中正确的结论是（　　）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
二．填空题（共5小题）
13．若a=3b,则= ______．
14．如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的位似比为的位似图形△OCD．若点A的坐标为（6，4），则点C的坐标为______
15．如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形ABCD的边长为2cm,笔画横钩“一”与正方形对角线交于E点，点E为线段BD的黄金分割点，BE＞DE，则BE的长为______cm.（结果保留根号）
16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．点E在边CD上，且CE=3，M，N分别是边AB，AD上的点，且BM=AN=1，P是线段BE上的动点，当△PMN是直角三角形时，BP的长为______．
17．（2025 宁波三模）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，，将AD绕着点O顺时针旋转得到EF，连结EO，FO．EO交AD于点M，EF交AD于点N．当EF∥AC时，则△EMN与四边形MONF的面积比为 ______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（-1，-3）和（2，6）．
（1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1．
19．如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果∠DAC=∠B，CD=CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD．
（2）若CE=3，BD=4，AE=2，求ED的长．
20．我们在对不同学科的深入学习过程中，会发现不同的学科之间有着千丝万缕的联系．夏夏同学在学习过光现象和图形的相似后进行了一个有趣的实验．如图，地面上从左往右依次是墙、垂直于地面的木板和平面镜．G点是手电筒的灯泡，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．通过测量，灯泡距离地面的高度AG为2.4m,木板CF的长度与墙到地面的距离ED相差4米，平面镜到木板的距离BC为6m,木板到墙面的距离CD为8m.求灯泡到平面镜的水平距离．
21．如图，在菱形ABCD中，∠C=60°，AB=4，点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD．
（1）求DE的长；（结果保留根号）
（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，AF⊥EF．求证：△AGE∽△DGF．
22．如图，⊙O为△ABC的外接圆，BD为直径，连接AD、CD，以点A为顶点在⊙O的外部作∠EAD=∠ABD，边AE与CD的延长线交于点E．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）若AB=AC=8，⊙O的半径为5，求ED的长．
人教版九年级下 第27章 相似 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、C 3、A 4、D 5、D 6、D 7、B 8、D 9、A 10、C 11、B 12、D
二．填空题（共5小题）
13、3； 14、； 15、（）； 16、或或； 17、；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）如图，点D即为所求．
由图可得，点D的坐标为（-2，-1）．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
19、（1）证明：∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠ADB=180°-∠CDE，∠AEC=180°-∠CED，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠DAC=∠B，
∴△ACE∽△BAD，
（2）解：∵在（1）中已证明△ACE∽△BAD，
∴，，
∵CE=3，BD=4，AE=2，
∴，
∴ED=AD-AE=6-2=4．
20、解：∵CF∥DE，
∴△BCF∽△BDE，
∴，
∴=，
∴CF=3，
∵∠FCB=∠GAB=90°，∠CBF=∠ABG，
∴△BCF∽△BAG，
∴，
∴=，
∴AB=4.8，
答：灯泡到平面镜的水平距离为4.8m.
21、（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD，
∵∠C=60°，
∴△CDB是等边三角形，
∴DB=DC=BC=AB=4，
∵BE=EC，
∴DE⊥BC，
∴．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵DE⊥BC，AF⊥EF
∴∠DEC=90°，∠AFE=90°
∴∠ADG=∠DEC=∠ADG=∠GFE=90°，
又∵∠AGD=∠EGF，
∴△AGD∽△EGF，
∴，
∴，
∵∠AGE=∠DGF，
∴△AGE∽△DGF．
22、（1）证明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠EAD=∠ABD，
∴∠OAB=∠EAD，
∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，
即∠BAO+∠OAD=90°，
∴∠EAD+∠OAD=90°，
即EA⊥OA，
∵OA是半径，
∴AE为⊙O的切线；
（2）延长AO交BC于G，连接OC，
∵AB=AC=8，AO=AO，BO=CO，
∴△ABO≌△ACO，
∴∠BAO=∠CAO，
∵AB=AC=8，AG=AG，
∴△BAG≌△CAG，
∴AG⊥BC，BG=CG，
∵∠BCD=90°，∠BAD=90°，
∴AB2+AD2=BD2，
∴82+AD2=102，
∴AD=6，
设OG=x,
则AG=5+x,
∵AB2-AG2=BG2=OB2-OG2，
∴82-（5+x）2=52-x2，
∴x=1.4，
∴，
∴AE=CG=4.8，
∵DE2=AD2-AE2，
∴．

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