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湘教版九年级下 第4章 概率 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．（2025 硚口区模拟）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（　　）
A．点数和为奇数 B．点数和大于1
C．点数和小于13 D．点数和为1
2．掷一枚质地均匀的骰子2次，向上一面的点数和是13．这个事件是（　　）
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件
3．小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.3，下列说法正确的是（　　）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中
B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中3次
D．小星定点投篮3次，一定投中1次
4．（2025 海珠区校级二模）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律．二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．下列说法：
①“铁在潮湿的空气中会生锈”是必然事件；
②“物体不受外力时保持静止或匀速直线运动状态”是确定事件；
③“没有水分，种子发芽”是不可能事件；
④“买一张电影票，座位号是奇数号”是不可能事件．
其中错误的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
6．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，某校计划举办以“决策类人工智能”“语音类人工智能”“视觉类人工智能”“人工智能机器人”四种人工智能为主题的演讲比赛，若小星随机选择其中一种主题演讲，则他恰好选择“人工智能机器人”的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 蜀山区校级三模）已知一个正六边形ABCDEF，甲同学在A，B，C三个顶点中任选两个顶点，乙同学在D，E，F三个顶点中任选一个顶点，顺次连接这三个顶点，得到一个三角形，则三角形是直角三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．2024年，截至3月底，河南文旅在携程上的预订量同比增长超582%，河南成清明出游热门地．小亮计划清明节小长假外出旅游，他利用抽卡片的游戏选择自己要去的景点．如图，他将备选的5个旅游景点分别标记在5张完全相同的卡片上，背面朝上洗匀后放置在桌面上，并从中随机抽取2张，抽得的2张卡片上标记的景点均在洛阳的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．在一个不透明的袋子里装有绿球、蓝球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸出绿球的频率稳定在0.3左右，则袋子中绿球的个数最有可能是（　　）
A．9 B．18 C．21 D．24
10．如图，4张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象属于化学变化的概率是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，则P1，P2，P3，P4四个点中，任选一个符合条件的点P的概率是（　　）
A． B． C． D．1
12．这是一个古老的传说，讲一个犯人利用概率来增加他得到宽恕的机会．给他两个碗，一个里面装着5个黑球，另一个里面装着除颜色不同外其它都一样的5个白球．把他的眼睛蒙着，然后要选择一个碗，并从里面拿出一个球，如果他拿的是黑球就要继续关在监狱里面，如果他拿的是白球，就将获得自由．在蒙住眼睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内（两个碗球数可以不同）．你能设想一下这个犯人怎么做，使得自己获得自由的机会最大？则犯人获得自由的最大机会是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．（2025 宁波模拟）小钱、小塘玩“石头、剪刀、布”游戏，若两人同时随机各出一个手势，则两人分出胜负的概率为______．
14．在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红随机摸一个球，摸到白球的概率为，则布袋中黑球的个数为 ______．
15．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发亮的概率为______．
16．下列事件中是确定事件的是 ______（填序号）：
①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数；
②车辆随机经过一个路口，遇到红灯；
③对于实数a、b,有a2+b2＜0；
④有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形；
⑤14人中至少有2人在同一个月过生日．
17．如图，正六边形ABCDEF顶点处各有一个圈，小雅设计了一个跳圈游戏，规则是投掷两枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上的一面上的点数是几，游戏者就沿正六边形的边顺时针方向连续跳几个边长．如若从圈A起跳，一个掷得3，另一个掷得4，就先顺时针连续跳3个边长落到圈D，再从D开始顺时针连续跳4个边长落到圈B．设游戏者从圈A起跳，则一次游戏后能够回到A的概率是______．
三．解答题（共5小题）
18．（2025 青岛模拟）某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励，具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，如果摸到的两个球的颜色相同，即可获得一份精美礼品．现有两种摸球方案：
方案1：随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球．
方案2：随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球．
对于消费者而言，选择哪种摸球方案更有可能获得精美礼品？请说明理由．
19．在学校开展的数学活动课上，小明、小红和小刚制作了一个正三棱锥（质量均匀，4个面完全相同），并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：小明和小刚投掷三棱锥各1次，并记录底面的数字，如果两次投掷所得底面数字相等，那么重新投掷；如果两次投掷所得底面数字的和小于5，那么小明赢；如果两次投掷所得底面数字的和等于5，那么小红赢；如果两次投掷所得底面数字的和大于5，那么小刚赢．
（1）投掷1次，底面数字出现3是______事件（填“不可能”“必然”或“随机”）；投掷两次，底面数字和为5的概率为______．
（2）请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中所有可能出现的结果，分别求出小明、小红和小刚赢的概率，并判断此游戏对三人是否公平．
20．新学期，某校开设了“安全教育”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 ______名；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是 ______；
（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为 ______名；
（4）某班有4名优秀的同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用画树状图法，求小明被选中的概率．
21．小明在探究杠杆平衡条件的实验中，使用了一个长度为6米的杠杆，支点位于中点．杠杆左侧有A，B，C三个挂钩点，距离支点分别为1米，2米，3米；右侧有D，E，F三个挂钩点，距离支点同样为1米，2米，3米．实验中，小明在挂钩点放置物体后，杠杆可能在支点保持平衡．请回答以下问题．（杠杆定理公式：动力×动力臂=阻力×阻力臂）
（1）小明在左侧随机选择一个挂钩点挂3N的物体，在右侧也随机选择一个挂钩点挂3N的物体．请用树状图或列表法求此时杠杆恰好平衡的概率；
（2）小明改为在左侧随机选择一个挂钩点挂两个3N的物体（总重力6N），右侧随机选择一个挂钩点挂重力为G的物体．若此时杠杆平衡的概率为，请求出G的值．
22．某校为了解班级学生参加课后服务的学习效果，李老师对本班部分学生进行了为期一个月的追踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次调查的总人数为______人；扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是______°；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，李老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
湘教版九年级下 第4章 概率 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、A 2、B 3、A 4、D 5、D 6、A 7、A 8、C 9、A 10、C 11、B 12、D
二．填空题（共5小题）
13、； 14、8； 15、； 16、③⑤； 17、；
三．解答题（共5小题）
18、解：方案1，理由如下：
方案1：根据题意列表如下：
第1个 第2个
红 红 黄 黄 黄
红 （红，红） （红，红） （红，黄） （红，黄） （红，黄）
红 （红，红） （红，红） （红，黄） （红，黄） （红，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） （黄，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） （黄，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） （黄，黄）
由列表可知P（摸到相同颜色的球）=．
方案2：根据题意列表如下：
第1个 第2个
红 红 黄 黄 黄
红 — （红，红） （红，黄） （红，黄） （红，黄）
红 （红，红） — （红，黄） （红，黄） （红，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） — （黄，黄） （黄，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） — （黄，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） —
由列表可知P（摸到相同颜色的球）=．
∵，
∴选择方案1更有可能获得精美礼品．
19、解：（1）投掷1次，底面数字出现3是随机事件；
列表如下：
1 2 3 4
1 3 4 5
2 3 5 6
3 4 5 7
4 5 6 7
从上表可知，投掷两次，底面数字和为5的概率为，
故答案为：随机，；
（2）由（1）可知，两次投掷所得底面数字的和小于5的情况有4种，则小明赢的概率为，
两次投掷所得底面数字的和等于5的情况有4种，则小红赢的概率为，
两次投掷所得底面数字的和大于5的情况有4种，则小刚赢的概率为，
故此游戏对三人是公平的．
20、解：（1）本次抽样测试的学生人数是：12÷30%=40（名），
故答案为：40；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是：，
故答案为：54°，
（3）根据八年级共有学生人数乘以优秀的人数所占的比例可得：
（人），
即估计该校八年级优秀的人数为75人，
故答案为：75人；
（4）画树状图如图：
由树状图可知小明被选中的概率为．
21、解：（1）画树状图如下，
从树状图中可以看到，总共有9种等可能的结果．
当左右两侧力都为3N时，只有左右两侧力臂相等，杠杆才能平衡．
所以杠杆平衡的情况有：左侧A点，右侧D点；左侧B点，右侧E点；左侧C点，右侧F点，共3种，
∴此时杠杆恰好平衡的概率；
（2）左侧随机选一个挂钩点挂6N物体，右侧随机选一个挂钩点挂重力为G的物体，同样有9种等可能的结果，
设左侧力臂为L1，取值为1米，2米，3米；右侧力臂为L2，取值为1米，2米，3米，根据杠杆定理公式可得6×L1=G×L2，即．
已知杠杆平衡的概率为，由概率公式可知平衡的情况数为种，
分情况讨论求出G的值：
当L1=1米，L2=1米时，；
当L1=1米，L2=2米时，；
当L1=1米，L2=3米时，；
当L1=2米，L2=1米时，；
当L1=2米，L2=2米时，；
当L1=2米，L2=3米时，；
当L1=3米，L2=1米时，；
当L1=3米，L2=2米时，；
当L1=3米，L2=3米时，．
要使平衡情况有3种，G的值为6N．
22、解：（1）由题意得：B类学生共有6+4=10（人），
B类学生所占的百分比为50%，则参与调查的总人数为：10÷50%=20（人），
D类学生所占的百分比为：1-15%-50%-25%=10%，则扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是：360°×10%=36°，
故答案为：20；36；
（2）C等级的人数有：20×25%=5（人），
C等级的女生人数有：5-2=3（人），
D等级的男生人数有：20-（1+2+6+4+5+1）=1（人），
补全统计图如下：
（3）从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，作树状图如下：
从树状图可知，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一名男生和一名女生的结果共有3种．
所以P（所选两位同学恰好是一位男生和一位女生．

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