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河南省郑州市郑州高新技术产业开发区名校协作体2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个图形中，与是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．DeepSeek公司的光刻机使用极紫外光（EUV）技术制造芯片，其光源波长为米，则数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．成语是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于必然事件的是（ ）
A．守株待兔 B．水中捞月 C．旭日东升 D．刻舟求剑
4．如图，将一条两边互相平行的纸带进行折叠，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．一个不透明的盒子里有8个红球和若干个白球，红球和白球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4，那么估计盒子中白球的个数为（ ）
A．12 B．15 C．20 D．8
7．若，则的值为（ ）
A．13 B． C． D．7
8．修建一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，水渠从村沿方向修建，已知的方向与的方向一致，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．在数学实践课上，同学们将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4种拼法中，不能够验证平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算： ．
12．小颖在进行数学探究活动时，将一副直角三角尺如图所示摆放．摆放过程中，小颖惊奇地发现一个有趣的现象：与的度数始终相等．那么，能对这一现象作出合理解释的依据是 ．
13．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ．

14．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，将阴影部分进行绿化，则阴影部分的面积 （用含有，的式子表示）．
15．如图，将一个等腰直角三角形和一个等边三角形的顶点重合放在一起（，且点在直线的上方），其中，．当两个三角形有一组边互相平行时，的度数为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)；
(3)用乘法公式计算：．
17．先化简，再求值：，其中，．
18．如图，所有小正方形的边长都为1，，，都在格点上．
(1)过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点（不写画法，保留画图痕迹）；
(2)线段，的大小关系为_____（填“>”“<”或“=”）；
(3)点为图中一格点，且的面积与的面积相等，则满足要求的格点有_____个（点不与点重合）．
19．丹尼斯大卖场为回馈新老顾客，进行有奖促销活动．活动规定：凡一次性购物满元者即可获得一次转转盘的机会，转盘被等分成份，指针分别指向红、黄、蓝色区域，分别获一、二、三等奖，获得奖项如下：
一等奖：空气炸锅一个
二等奖：双肩背包一个
三等奖：洗衣液一桶
根据以上信息，解答下列问题：
(1)转一次转盘，会有_____种不同的结果；其中获得双肩背包的概率为_____；
(2)若一次性购物满元，则转一次转盘，获奖的概率是多少？
(3)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将_____个空白扇形涂上颜色．
20．如图，，交于点，点在上，，垂足为，，试说明．请将下面的解答过程补充完整（括号中填写推理的依据）．
解：因为，（已知）
所以_____．（_____）
又因为，
所以__________．（等量代换）
所以__________．（_____）
所以．（_____）
又因为，即，
所以．
所以．（__________）
21．图1是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．

(1)小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是_____；
(2)如图2，小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方格中埋藏着2颗地雷（图中包含数字2的黑框区域记为），若小明在区域内围着数字2的8个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是_____；
(3)如图2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在区域内的小方格上还是应踩在区域外的小方格上？并说明理由．
22．如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和．分别交射线于点、．
(1)当时，_____；
(2)当时，求的度数（用含的代数式表示）；
(3)在（1）的条件下，当时，求的度数．
23．借助图形直观，感受数与形之间的关系．如图1，大正方形的面积可以看作是边长为的正方形的面积，还可以看作是两个正方形的面积与两个长方形的面积的和，即，，，的和，从而得到乘法公式：．
【初步应用】
（1）仿照图1．构造图形并计算；
【经验总结】
完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，所以我们有时也可以尝试从公式变形和图形转化的角度来解决数学问题．
（2）如图2，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，连接，若，两正方形的面积和，求的面积；
【应用迁移】
（3）已知，，满足，，，请直接写出的值．
《河南省郑州市郑州高新技术产业开发区名校协作体2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题》参考答案
1．D
解：选项A、B、C中的与都不是对顶角，故不符合题意；
D中的与是对顶角，故符合题意．
故选：D．
2．B
解：．
故选B．
3．C
解：A、守株待兔是随机事件，不符合题意；
B、 水中捞月是不可能事件，不符合题意；
C、 旭日东升是必然事件，符合题意；
D、 刻舟求剑是不可能事件，不符合题意．
故选：C．
4．B
解：如图，∵，，
∴，
∴
由折叠得，
∴，
∴．
故选：B．
5．D
解：A． ，本选项错误，不符合题意；
B． ，本选项错误，不符合题意；
C． ，本选项错误，不符合题意；
D． ，本选项正确，符合题意．
故选D．
6．A
解：设盒子中白球的个数为n个，
根据题意得，解得：．
经检验，是分式方程的解，
∴盒子中白球的个数为12个．
故选A．
7．C
解：∵，
∴，
∴．
故选C．
8．B
解：如图：由题可知：，
∴，
∴．
故选B．
9．D
解：A，左边阴影图形面积为，右边平行四边形的底为，高为，面积为，可得，能够验证平方差公式，不合题意；
B，左边阴影图形面积为，右边长方形的长为，宽为，面积为，可得，能够验证平方差公式，不合题意；
C，左边阴影图形面积为，右边平行四边形的底为，高为，面积为，可得，能够验证平方差公式，不合题意；
D，左边阴影图形的面积为，右边长方形的面积为，不能够验证平方差公式，符合题意；
故选D．
10．A
解：如图，
∵，
，
，
∴，
∵，
∴，
．
故选A．
11．
解：，
故答案为．
12．同角的余角相等
解：∵，
，
∴，
∴（同角的余角相等），
故答案为： 同角的余角相等．
13．
解：因为正方形的两条对角线将正方形分成面积相等的四个三角形，即四个黑色三角形的面积等于一个小正方形的面积，所以黑色区域的面积为2个小正方形的面积，而共有9个小正方形则有小球停留在黑色区域的概率是
故答案为：
14．/
解：阴影部分的面积为：
，
故答案为：．
15．或或
解：∵为等边三角形，
∴，
当时，如图1，
；
当时，如图2，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当时，如图3，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，∠BAE的度数为或或．
故答案为：或或．
16．(1)
(2)4
(3)1
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
17．；0
解：
当，时，
原式．
18．(1)见解析
(2)
(3)3
（1）解：如图过点作于点，作，交于点，
直线，即为所求；
（2）根据垂线段最短，可得：．
故答案为：；
（3）如图，
，
，
，
，
所以满足条件的点P有3个．
故答案为：3．
19．(1)4；
(2)（获奖）
(3)3
（1）解：∵指针分别指向红、黄、蓝色区域，分别获一、二、三等奖，二等奖获得双肩背包，黄色扇形有2个，
∴转一次转盘，会有4种不同的结果，其中获得双肩背包的概率为，
故答案为：4，；
（2）∵红、黄、蓝色区域共7个扇形，共有16个扇形，
∴若一次性购物满500元，则转一次转盘，获奖的概率是；
（3），
∴需要再将3个空白扇形涂上颜色．
故答案为：3．
20．见解析
证明：因为，（已知）
所以．（两直线平行，内错角相等）
又因为，（已知）
所以=．（等量代换）
所以．（同位角相等，两直线平行）
所以．（两直线平行，同位角相等）
又因为，即
所以．
所以．（垂直的定义）
21．(1)
(2)
(3)应踩在A区域外．见解析
（1）解：∵在个小方格的雷区中，随机地埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷，
∴小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是；
故答案为：；
（2）若小明在区域A内围着数字2的8个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是；
故答案为：；
（3）小明的第二步踩在A区域的小方格上，可能踩中地雷的概率是，
小明的第二步踩在A区域外的小方格上，可能踩中地雷的概率是，
∵，
∴为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在A区域外的小方格上．
22．(1)
(2)
(3)
（1）解：∵分别平分和，
∴，
∴，
又∵，，
∴，即，
∴；
故答案为：；
（2）解：
，
，
平分，平分，
，，
；
（3）解：，
，，
，
，
，即；
又平分，平分，
，，
，
，，
．
23．（1）；（2）4；（3）244
】解：（1）如图，已知大正方形的边长为，
利用图形3的面积关系可得：．
（2）依题意，设，，
∵以，为边向两边作正方形，连接，，两正方形的面积和
∴，
∵
．
（3）与（1）同理得，
∵，，，
∴
，
同理得
∴
．

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