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湖南省长沙市长郡教育集团联考2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·长沙期末）在，，0.3，，，3.14159265中，无理数共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024七下·长沙期末）若，则下列不等式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·长沙期末）以下调查中，适合全面调查的是（　　）
A．调查一批笔记本电脑的使用寿命
B．调查“神舟十七号”飞船的零部件的质量
C．调查湘江的水质情况
D．调查全市中学生每天完成作业需要的时间
4．（2024七下·长沙期末）中华五岳，是中国的五座历史文化名山，它们的海拔高度如下表所示，为了能更清楚地体现五岳的海拔高度，下列的统计图中最合适的是（　　）
山名 东岳泰山 南岳衡山 西岳华山 北岳恒山 中岳嵩山
海拔 1533 1300 2155 2016 1492
A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．直方图
5．（2024七下·长沙期末）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2024七下·长沙期末）点P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·长沙期末）如图，体育老师在用皮尺测量跳远成绩时，皮尺要与起跳线垂直，这样做的依据是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线重直
D．垂线段最短
8．（2024七下·长沙期末）下列关于 的说法中，错误的是（　　）
A． 是无理数 B．2< <3
C．5的平方根是 D． 是5的算术平方根
9．（2024七下·长沙期末）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图中的（1）（2）．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是在图（2）所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图（2）所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·长沙期末）已知不等式组的解集为，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024七下·长沙期末）若点在x轴上，则a的值为　 　．
12．（2024七下·长沙期末）若，则　 　．
13．（2024七下·长沙期末）已知方程，用含x的代数式表示y，则y=　 　．
14．（2024七下·长沙期末）已知 是二元一次方程组 的解，则m－n的值是　 　．
15．（2024七下·长沙期末）一副角三角板如图所示放置，点E在的延长线上．，则的度数为　 　．
16．（2024七下·长沙期末）如图在一个单位为1的方格纸上，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为　 　．
17．（2024七下·长沙期末）计算：．
18．（2024七下·长沙期末）解方程组：
19．（2024七下·长沙期末）求不等式的非负整数解．
20．（2024七下·长沙期末）解不等式组：
21．（2024七下·长沙期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到．
（1）请在图中画出；
（2）写出平移后的三个顶点的坐标：（______，______），（______，______），（_____，____）；
（3）求的面积．
22．（2024七下·长沙期末）某学校“爱数学”社团随机抽取部分八年级学生对“学习习惯”进行问卷调查，其中有一个问题是：你会对自己做错的题目进行整理、分析错因并更正（　　）
A．很少 B．有时 C．常常 D．总是
“爱数学”社团将调查结果的数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为______，______，______；
（2）请你补全条形统计图；
（3）求“常常”对应扇形的圆心角的度数；
（4）若该校有3000名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析错因并更正的学生共有多少名？
23．（2024七下·长沙期末）几何证明填空：
已知：如图，E，F分别是和上的点，分别交于G，H两点，，．
求证：．
证明：（已知），
（______），
（等量代换），
（______），
______（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
（等量代换），
______（______），
（______）．
24．（2024七下·长沙期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．
25．（2024七下·长沙期末）为响应教育部“足球进校园”的号召，大力发展校园足球运动，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共需410元；购买2个甲种足球和5个乙种足球共需530元．
（1）购买一个甲种足球．一个乙种足球各需要多少钱？
（2）学校为开展足球大课间活动，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过6200元，且购买甲种足球的数量不少于乙种足球数量的一半．学校共有几种购买方案？
26．（2024七下·长沙期末）定义：若m，n都是不为0的实数，且满足，则称点为“爱心点”．
（1）①在点，，中，是“爱心点”的有______（填字母）；
②若点是“爱心点”．则a，b满足的关系式为______；
（2）若是“爱心点”，且s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围；
（3）已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“爱心点”，求的平方根．
27．（2024七下·长沙期末）如图1，点E是直线上一点，F是直线上一点，．
（1）求证：；
（2）如图2，，与的平分线交于点Q，与相交于点M，若，求的度数；
（3）如图3，平分，平分，，当的大小不变时，下列结论：①的度数不变；②的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你写出正确的结论并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：在，，0.3，，，3.14159265中，无理数有，，共2个．
故答案为：B．
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故成立，不符合题意；
B、∵，∴，故成立，不符合题意；
C、∵，∴，故成立，不符合题意；
D、∵，∴当时，，时，，故原式不成立，符合题意.
故答案为：D．
【分析】不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变，据此可判断A选项；不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，据此可判断C选项；不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，据此可判断B、D选项.
3．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查一批笔记本电脑的使用寿命，宜采用抽样调查；
B、调查“神舟十七号”飞船的零部件的质量，宜采用全面调查；
C、调查湘江的水质情况，宜采用抽样调查；
D、调查全市中学生每天完成作业需要的时间，宜采用抽样调查.
故答案为：B．
【分析】调查方式的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析；普查结果准确，所以在要求结果精确、难度相对不大，实验没有破坏性的前提下选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查所需经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查，结合各选项即可判断求解.
4．【答案】A
【知识点】统计图的选择
【解析】【解答】解：根据题意，需要直观比较五座山的高度，应选择条形统计图．
故答案为：A．
【分析】条形统计图能直观反应数据的最大值和最小值，扇形统计图能直观反应每组数据的比例，折线统计图能直观反应数据的变化趋势，直方图通过图形化方式展示数据的分布情况，根据各种统计图的特点可作出判断．
5．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解①得：，
解②得：，
不等式组的解集为，
将不等式的解集表示在数轴上，如图所示，
故答案为：B．
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可判断得出答案.
6．【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，
∴点P的坐标为．
故答案为：D．
【分析】根据“一个点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值”及“第四象限的点横坐标为正数，纵坐标为负数”求解即可.
7．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：皮尺要与起跳线垂直，这样做的依据是垂线段最短
故答案为：D ．
【分析】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，据此即可求解．
8．【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；无理数的估值；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、 是无理数，说法正确；
B、2＜ ＜3，说法正确；
C、5的平方根是± ，故原题说法错误；
D、 是5的算术平方根，说法正确.
故答案为：C.
【分析】 是一个开方开不尽的数，是无理数；由于4＜5＜9，根据被开方数越大，其算术平方根就越大即可得出2＜ ＜3；若果一个数x2=5，则这个数就是5的平方根；若果一个正数x2=5，则这个正数就是5的算术平方根，从而即可一一判断得出答案.
9．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：将代入得：，
解得：，
图2所表示方程组的解为．
设被墨水所覆盖的图形表示的数为，
将代入得：，
解得：，
被墨水所覆盖的图形为．
故选：C．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组及其应用 ，将代入方程，可求出值，得出图2所表示方程组的解，设被墨水所覆盖的图形表示的数为，代入方程，求出的值，再对照题意，即可得出被墨水所覆盖的图形，得到答案.
10．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解，得，
解得，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得，
故答案为：C．
【分析】将a作为参数，根据解不等式的步骤分别解出不等式组中每一个不等式的解集，结合题干给出的解集及口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”可列出关于字母a的不等式，求解即可.
11．【答案】2
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在轴上
故答案为：2．
【分析】根据轴上的点纵坐标为0，列出关于字母a的方程，求解即可.
12．【答案】-1
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
∴，
∴，
故答案为：-1．
【分析】根据偶数次幂的非负性及绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可列出关于字母x、y的方程组，求解得出x、y的值，进而再求和即可.
13．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：
，即
故答案为：
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
14．【答案】4
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】把 代入方程得： ，
解得：m=1，n=-3，
则m-n=1-（-3）=1+3=4．
故答案为：4
【分析】把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可求出m-n的值．
15．【答案】15°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：15°．
【分析】根据二直线平行，内错角相等可以得到，再根据角的构成，由代值计算即可.
16．【答案】(1，-1025)
【知识点】点的坐标与象限的关系；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察点的坐标变化发现，当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：
当脚码是2，6，10，...时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，
当脚码是4，8，12，...时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，
因为2050÷4=512......2，所以横坐标为1，
所以A2050的坐标为(1，-1025).
故答案为：(1，-1025)．
【分析】观察点的坐标变化发现，当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是2，6，10，...时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，当脚码是4，8，12，...时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，据此即可确定A2050的坐标.
17．【答案】解：原式=-1+4-2-2
=-1.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据有理数乘方运算法则、算术平方根定义、立方根定义及绝对值代数意义分别计算，再计算有理数的加减法运算即可.
18．【答案】解：
解：由，得.
，得
解得
代入，得.
原方程组的解是.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组中两个方程，发现未知数y的系数呈倍数关系，故利用加减消元法求解较为简单；首先用方程①×2+②消去y求出x的值，再将x的值代入①方程求出y的值，从而即可求出方程组的解.
19．【答案】，
去分母得，
去括号得，
移项合并得，
解得．
原不等式的非负整数解为：或1．
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】按照解一元一次不等式的步骤“去分母（两边同时乘以6，左边的1也要乘以6，不能漏乘）、去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘）、移项、合并同类项、系数化为1”求出不等式的解集，然后找出其中的非负整数解即可．
20．【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据解一元一次不等式的步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，进而根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
21．【答案】（1）解：如图所示：即为所求：
（2），；0，1；，0
（3）解：如图可得：
．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：，，；
故答案为：，；0，1；，0；
【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，作出点A、B、C三点向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）根据点A1、B1、C1所在的位置，直接读出其坐标即可；
（3）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接矩形面积减去周围三角形面积，列式计算即可.
22．【答案】（1）200、、
（2）解：“常常”会对自己做错的题目进行整理、分析错因并更正的人数为：（名），
补全图形如下所示：
（3）解：“常常”对应扇形的圆心角为：；
（4）解：名，
答：“常常”和“总是”对错题进行整理、分析错因并更正的学生共有1980名．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵（名），
∴该调查的样本容量为，
，
；
故答案为：200；12％；36％；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以其所占的百分比，即可求出该调查的样本容量；然后分别用“很少”、“总是”对自己做错的题目进行整理、分析、改正的人数除以样本容量，求出a、b的值；
（2）用本次调查的样本容量乘以“常常”对应的人数的百分比，求出“常常”对应的人数，然后补全统计图即可；
（3）用360°乘以“常常”对应的人数的百分比，即可求出“常常”对应扇形的圆心角为多少即可；
（4）用该校学生的总人数乘样本中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分率，即可估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析错因并更正的学生人数．
23．【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；；；两直线平行，内错角相等
【知识点】平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【解答】证明：（已知），
（对顶角相等）
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；；；两直线平行，内错角相等.
【分析】由先由对顶角相等及已知推出∠2=∠AHB，由同位角相等，两直线平行可得AF∥ED，再根据两直线平行，同位角相等得出∠D=∠AFC，结合已知由等量代换得出∠A=∠AFC，从而由内错角相等，两直线平行得AB∥CD，最后根据两直线平行，内错角相等可得结论.
24．【答案】（1）证明：∵AB∥DG，
∴∠BAD＝∠1，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠BAD+∠2＝180°.
∵AD∥EF .
（2）解：（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°，
∴∠1＝38°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠CDG＝∠1＝38°，
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠CDG＝38°．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由平行线的性质得到∠BAD＝∠1，再由∠1+∠2＝180°，得到∠BAD+∠2＝180°，由此即可得到结论；
（2）先求出∠1的度数，由DG是∠ADC的平分线，得到∠CDG＝∠1＝38°，再由平行线的性质即可得到结论．
25．【答案】（1）解：设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元，
依题意得，
解得，
答：购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元；
（2）解：设甲种足球买m个，则乙种足球买个，
所以，
解得．
m为整数，
或28或29或30．
答：学校共有四种购买方案．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元，由“ 购买3个甲种足球和2个乙种足球共需410元；购买2个甲种足球和5个乙种足球共需530元 ”列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲种足球买m个，则乙种足球买(80-m)个，根据“购买m个甲种足球的费用+购买(80-m)个乙种足球的费用不超过6200元及 购买甲种足球的数量不少于乙种足球数量的一半 ”可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．
26．【答案】（1）①B，C；②
（2）解：解不等式组，
得：
∵是“爱心点”，
∴由（1）可知：
∵s是不等式组的最大整数解
∴
∴
∴，
解得：；
（3）解：∵点是“爱心点”，
∴
由，
得：
∴
∵p，q为有理数，
∴
∴
∴的平方根为．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解二元一次方程组；一元一次不等式组的特殊解；开平方（求平方根）
【解析】【解答】（1）解：①∵，
∴，
∴
∴
同理：由得：
此时，
由得：
此时，，
∴是“爱心点”的有B、C；
②∵点是“爱心点”
∴且
整理得
故答案为：①B，C；②；
【分析】（1）①根据题干信息分别求得的值，进而判断m+n得值是否等于mn的值即可求解；
②根据题干信息确定出m、n得值，进而根据“爱心点”定义得出zimu a、b得等式，整理即可得出结论；
（2）将k作为参数，根据解一元一次不等式的步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，进而根据口诀“大小小大中间找”确定出不等式组的解集为；根据（1）中②可得，从而可得，，据此即可求解；
（3）根据（1）中②得，利用方程组中的方程②-①得，从而可得关于字母p、q的方程，再根据p，q为有理数可得，进而求出p与q的差，最后根据平方根定义可得答案.
27．【答案】（1）证明：如图1，过点P作，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：设，，
平分，
，
由（1）结论可知：，
，
由（1）结论可知：，
，
；
（3）解：的度数不变．理由如下：连接，
设，，则，
FM平分∠PFD，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的度数不变，
的度数不变．
【知识点】角的大小比较；平行线的性质；铅笔头模型；猜想与证明；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）过点P作PQ∥AB，由二直线平行，内错就相等得，由平行于同一直线的两条直线互相平行得CD∥PQ，再由二直线平行，内错就相等得，进而根据角的构成及等量代换可得结论；
（2）设∠AEQ=，∠PFC=∠PFQ=，由角平分线定义得∠PEQ=∠AEQ=，然后根据（1）的结论得∠EMF=∠AEP+∠CFQ=2+2=120°，，，据此即可求解得出结论；
（3）连接EF，有角平分线的定义设，，由邻补角定义得，由角平分线的定义得，由二直线平行，内错角相等得，，由等式性质可得，由角的构成求出，由（1）得结论得，进而可求出，即的度数不变．
1 / 1湖南省长沙市长郡教育集团联考2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·长沙期末）在，，0.3，，，3.14159265中，无理数共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：在，，0.3，，，3.14159265中，无理数有，，共2个．
故答案为：B．
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．（2024七下·长沙期末）若，则下列不等式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故成立，不符合题意；
B、∵，∴，故成立，不符合题意；
C、∵，∴，故成立，不符合题意；
D、∵，∴当时，，时，，故原式不成立，符合题意.
故答案为：D．
【分析】不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变，据此可判断A选项；不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，据此可判断C选项；不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，据此可判断B、D选项.
3．（2024七下·长沙期末）以下调查中，适合全面调查的是（　　）
A．调查一批笔记本电脑的使用寿命
B．调查“神舟十七号”飞船的零部件的质量
C．调查湘江的水质情况
D．调查全市中学生每天完成作业需要的时间
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查一批笔记本电脑的使用寿命，宜采用抽样调查；
B、调查“神舟十七号”飞船的零部件的质量，宜采用全面调查；
C、调查湘江的水质情况，宜采用抽样调查；
D、调查全市中学生每天完成作业需要的时间，宜采用抽样调查.
故答案为：B．
【分析】调查方式的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析；普查结果准确，所以在要求结果精确、难度相对不大，实验没有破坏性的前提下选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查所需经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查，结合各选项即可判断求解.
4．（2024七下·长沙期末）中华五岳，是中国的五座历史文化名山，它们的海拔高度如下表所示，为了能更清楚地体现五岳的海拔高度，下列的统计图中最合适的是（　　）
山名 东岳泰山 南岳衡山 西岳华山 北岳恒山 中岳嵩山
海拔 1533 1300 2155 2016 1492
A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．直方图
【答案】A
【知识点】统计图的选择
【解析】【解答】解：根据题意，需要直观比较五座山的高度，应选择条形统计图．
故答案为：A．
【分析】条形统计图能直观反应数据的最大值和最小值，扇形统计图能直观反应每组数据的比例，折线统计图能直观反应数据的变化趋势，直方图通过图形化方式展示数据的分布情况，根据各种统计图的特点可作出判断．
5．（2024七下·长沙期末）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解①得：，
解②得：，
不等式组的解集为，
将不等式的解集表示在数轴上，如图所示，
故答案为：B．
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可判断得出答案.
6．（2024七下·长沙期末）点P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，
∴点P的坐标为．
故答案为：D．
【分析】根据“一个点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值”及“第四象限的点横坐标为正数，纵坐标为负数”求解即可.
7．（2024七下·长沙期末）如图，体育老师在用皮尺测量跳远成绩时，皮尺要与起跳线垂直，这样做的依据是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线重直
D．垂线段最短
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：皮尺要与起跳线垂直，这样做的依据是垂线段最短
故答案为：D ．
【分析】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，据此即可求解．
8．（2024七下·长沙期末）下列关于 的说法中，错误的是（　　）
A． 是无理数 B．2< <3
C．5的平方根是 D． 是5的算术平方根
【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；无理数的估值；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、 是无理数，说法正确；
B、2＜ ＜3，说法正确；
C、5的平方根是± ，故原题说法错误；
D、 是5的算术平方根，说法正确.
故答案为：C.
【分析】 是一个开方开不尽的数，是无理数；由于4＜5＜9，根据被开方数越大，其算术平方根就越大即可得出2＜ ＜3；若果一个数x2=5，则这个数就是5的平方根；若果一个正数x2=5，则这个正数就是5的算术平方根，从而即可一一判断得出答案.
9．（2024七下·长沙期末）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图中的（1）（2）．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是在图（2）所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图（2）所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：将代入得：，
解得：，
图2所表示方程组的解为．
设被墨水所覆盖的图形表示的数为，
将代入得：，
解得：，
被墨水所覆盖的图形为．
故选：C．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组及其应用 ，将代入方程，可求出值，得出图2所表示方程组的解，设被墨水所覆盖的图形表示的数为，代入方程，求出的值，再对照题意，即可得出被墨水所覆盖的图形，得到答案.
10．（2024七下·长沙期末）已知不等式组的解集为，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解，得，
解得，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得，
故答案为：C．
【分析】将a作为参数，根据解不等式的步骤分别解出不等式组中每一个不等式的解集，结合题干给出的解集及口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”可列出关于字母a的不等式，求解即可.
11．（2024七下·长沙期末）若点在x轴上，则a的值为　 　．
【答案】2
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在轴上
故答案为：2．
【分析】根据轴上的点纵坐标为0，列出关于字母a的方程，求解即可.
12．（2024七下·长沙期末）若，则　 　．
【答案】-1
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
∴，
∴，
故答案为：-1．
【分析】根据偶数次幂的非负性及绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可列出关于字母x、y的方程组，求解得出x、y的值，进而再求和即可.
13．（2024七下·长沙期末）已知方程，用含x的代数式表示y，则y=　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：
，即
故答案为：
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
14．（2024七下·长沙期末）已知 是二元一次方程组 的解，则m－n的值是　 　．
【答案】4
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】把 代入方程得： ，
解得：m=1，n=-3，
则m-n=1-（-3）=1+3=4．
故答案为：4
【分析】把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可求出m-n的值．
15．（2024七下·长沙期末）一副角三角板如图所示放置，点E在的延长线上．，则的度数为　 　．
【答案】15°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：15°．
【分析】根据二直线平行，内错角相等可以得到，再根据角的构成，由代值计算即可.
16．（2024七下·长沙期末）如图在一个单位为1的方格纸上，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为　 　．
【答案】(1，-1025)
【知识点】点的坐标与象限的关系；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察点的坐标变化发现，当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：
当脚码是2，6，10，...时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，
当脚码是4，8，12，...时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，
因为2050÷4=512......2，所以横坐标为1，
所以A2050的坐标为(1，-1025).
故答案为：(1，-1025)．
【分析】观察点的坐标变化发现，当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是2，6，10，...时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，当脚码是4，8，12，...时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，据此即可确定A2050的坐标.
17．（2024七下·长沙期末）计算：．
【答案】解：原式=-1+4-2-2
=-1.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据有理数乘方运算法则、算术平方根定义、立方根定义及绝对值代数意义分别计算，再计算有理数的加减法运算即可.
18．（2024七下·长沙期末）解方程组：
【答案】解：
解：由，得.
，得
解得
代入，得.
原方程组的解是.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组中两个方程，发现未知数y的系数呈倍数关系，故利用加减消元法求解较为简单；首先用方程①×2+②消去y求出x的值，再将x的值代入①方程求出y的值，从而即可求出方程组的解.
19．（2024七下·长沙期末）求不等式的非负整数解．
【答案】，
去分母得，
去括号得，
移项合并得，
解得．
原不等式的非负整数解为：或1．
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】按照解一元一次不等式的步骤“去分母（两边同时乘以6，左边的1也要乘以6，不能漏乘）、去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘）、移项、合并同类项、系数化为1”求出不等式的解集，然后找出其中的非负整数解即可．
20．（2024七下·长沙期末）解不等式组：
【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据解一元一次不等式的步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，进而根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
21．（2024七下·长沙期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到．
（1）请在图中画出；
（2）写出平移后的三个顶点的坐标：（______，______），（______，______），（_____，____）；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：如图所示：即为所求：
（2），；0，1；，0
（3）解：如图可得：
．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：，，；
故答案为：，；0，1；，0；
【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，作出点A、B、C三点向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）根据点A1、B1、C1所在的位置，直接读出其坐标即可；
（3）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接矩形面积减去周围三角形面积，列式计算即可.
22．（2024七下·长沙期末）某学校“爱数学”社团随机抽取部分八年级学生对“学习习惯”进行问卷调查，其中有一个问题是：你会对自己做错的题目进行整理、分析错因并更正（　　）
A．很少 B．有时 C．常常 D．总是
“爱数学”社团将调查结果的数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为______，______，______；
（2）请你补全条形统计图；
（3）求“常常”对应扇形的圆心角的度数；
（4）若该校有3000名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析错因并更正的学生共有多少名？
【答案】（1）200、、
（2）解：“常常”会对自己做错的题目进行整理、分析错因并更正的人数为：（名），
补全图形如下所示：
（3）解：“常常”对应扇形的圆心角为：；
（4）解：名，
答：“常常”和“总是”对错题进行整理、分析错因并更正的学生共有1980名．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵（名），
∴该调查的样本容量为，
，
；
故答案为：200；12％；36％；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以其所占的百分比，即可求出该调查的样本容量；然后分别用“很少”、“总是”对自己做错的题目进行整理、分析、改正的人数除以样本容量，求出a、b的值；
（2）用本次调查的样本容量乘以“常常”对应的人数的百分比，求出“常常”对应的人数，然后补全统计图即可；
（3）用360°乘以“常常”对应的人数的百分比，即可求出“常常”对应扇形的圆心角为多少即可；
（4）用该校学生的总人数乘样本中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分率，即可估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析错因并更正的学生人数．
23．（2024七下·长沙期末）几何证明填空：
已知：如图，E，F分别是和上的点，分别交于G，H两点，，．
求证：．
证明：（已知），
（______），
（等量代换），
（______），
______（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
（等量代换），
______（______），
（______）．
【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；；；两直线平行，内错角相等
【知识点】平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【解答】证明：（已知），
（对顶角相等）
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；；；两直线平行，内错角相等.
【分析】由先由对顶角相等及已知推出∠2=∠AHB，由同位角相等，两直线平行可得AF∥ED，再根据两直线平行，同位角相等得出∠D=∠AFC，结合已知由等量代换得出∠A=∠AFC，从而由内错角相等，两直线平行得AB∥CD，最后根据两直线平行，内错角相等可得结论.
24．（2024七下·长沙期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．
【答案】（1）证明：∵AB∥DG，
∴∠BAD＝∠1，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠BAD+∠2＝180°.
∵AD∥EF .
（2）解：（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°，
∴∠1＝38°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠CDG＝∠1＝38°，
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠CDG＝38°．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由平行线的性质得到∠BAD＝∠1，再由∠1+∠2＝180°，得到∠BAD+∠2＝180°，由此即可得到结论；
（2）先求出∠1的度数，由DG是∠ADC的平分线，得到∠CDG＝∠1＝38°，再由平行线的性质即可得到结论．
25．（2024七下·长沙期末）为响应教育部“足球进校园”的号召，大力发展校园足球运动，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共需410元；购买2个甲种足球和5个乙种足球共需530元．
（1）购买一个甲种足球．一个乙种足球各需要多少钱？
（2）学校为开展足球大课间活动，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过6200元，且购买甲种足球的数量不少于乙种足球数量的一半．学校共有几种购买方案？
【答案】（1）解：设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元，
依题意得，
解得，
答：购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元；
（2）解：设甲种足球买m个，则乙种足球买个，
所以，
解得．
m为整数，
或28或29或30．
答：学校共有四种购买方案．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元，由“ 购买3个甲种足球和2个乙种足球共需410元；购买2个甲种足球和5个乙种足球共需530元 ”列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲种足球买m个，则乙种足球买(80-m)个，根据“购买m个甲种足球的费用+购买(80-m)个乙种足球的费用不超过6200元及 购买甲种足球的数量不少于乙种足球数量的一半 ”可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．
26．（2024七下·长沙期末）定义：若m，n都是不为0的实数，且满足，则称点为“爱心点”．
（1）①在点，，中，是“爱心点”的有______（填字母）；
②若点是“爱心点”．则a，b满足的关系式为______；
（2）若是“爱心点”，且s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围；
（3）已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“爱心点”，求的平方根．
【答案】（1）①B，C；②
（2）解：解不等式组，
得：
∵是“爱心点”，
∴由（1）可知：
∵s是不等式组的最大整数解
∴
∴
∴，
解得：；
（3）解：∵点是“爱心点”，
∴
由，
得：
∴
∵p，q为有理数，
∴
∴
∴的平方根为．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解二元一次方程组；一元一次不等式组的特殊解；开平方（求平方根）
【解析】【解答】（1）解：①∵，
∴，
∴
∴
同理：由得：
此时，
由得：
此时，，
∴是“爱心点”的有B、C；
②∵点是“爱心点”
∴且
整理得
故答案为：①B，C；②；
【分析】（1）①根据题干信息分别求得的值，进而判断m+n得值是否等于mn的值即可求解；
②根据题干信息确定出m、n得值，进而根据“爱心点”定义得出zimu a、b得等式，整理即可得出结论；
（2）将k作为参数，根据解一元一次不等式的步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，进而根据口诀“大小小大中间找”确定出不等式组的解集为；根据（1）中②可得，从而可得，，据此即可求解；
（3）根据（1）中②得，利用方程组中的方程②-①得，从而可得关于字母p、q的方程，再根据p，q为有理数可得，进而求出p与q的差，最后根据平方根定义可得答案.
27．（2024七下·长沙期末）如图1，点E是直线上一点，F是直线上一点，．
（1）求证：；
（2）如图2，，与的平分线交于点Q，与相交于点M，若，求的度数；
（3）如图3，平分，平分，，当的大小不变时，下列结论：①的度数不变；②的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你写出正确的结论并说明理由．
【答案】（1）证明：如图1，过点P作，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：设，，
平分，
，
由（1）结论可知：，
，
由（1）结论可知：，
，
；
（3）解：的度数不变．理由如下：连接，
设，，则，
FM平分∠PFD，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的度数不变，
的度数不变．
【知识点】角的大小比较；平行线的性质；铅笔头模型；猜想与证明；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）过点P作PQ∥AB，由二直线平行，内错就相等得，由平行于同一直线的两条直线互相平行得CD∥PQ，再由二直线平行，内错就相等得，进而根据角的构成及等量代换可得结论；
（2）设∠AEQ=，∠PFC=∠PFQ=，由角平分线定义得∠PEQ=∠AEQ=，然后根据（1）的结论得∠EMF=∠AEP+∠CFQ=2+2=120°，，，据此即可求解得出结论；
（3）连接EF，有角平分线的定义设，，由邻补角定义得，由角平分线的定义得，由二直线平行，内错角相等得，，由等式性质可得，由角的构成求出，由（1）得结论得，进而可求出，即的度数不变．
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