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四川省绵阳市三台县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·三台期末）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使 在实数范围内有意义， 只需.
故答案为：B.
【分析】要使二次根式在实数范围内有意义，只需二次根式内是非负数，转化为不等式求解.
2．（2024八下·三台期末）下列二次根式中，是最简二次根式的为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】最简二次根式被开方式不含有能够开出来的因式和因数。A、，还可以进一步化简；B、，不符合题意；C、已经无法化简，故符合题意；D、，故不符合题意。故选C.
【点评】二次根式的化简需要对平方根，开平方等基本知识熟练把握。
3．（2024八下·三台期末）小明与小华本学期都参加了5次数学考试（总分均为100分），数学老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，在作统计分析时，老师需比较这两人5次数学成绩的（　　）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
【答案】B
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：要判断小明的数学成绩是否稳定，老师需要知道小明和小华这5次数学成绩的方差．方差能反映数据的波动大小，故判断小明和小华的数学成绩是否稳定，应知道方差．
故答案为：B.
【分析】利用众数、平均数、方差和中位数的定义及性质判断即可。
4．（2024八下·三台期末）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当∠ABC=90°时，它是矩形 B．当AB=BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形 D．当AC=BD时，它是正方形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据矩形、菱形和正方形的判定方法逐项判断即可。
5．（2024八下·三台期末）如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（　　）
A．AB＝5 B．∠C＝90° C．AC＝2 D．∠A＝30°
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵每个小正方形的边长为1，
根据勾股定理可得：AB＝5，AC＝2，BC＝，故A、C选项都正确，不符合题意；
∵2＋(2)2＝52，
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，故B选项正确，不符合题意；
∵∠C＝90°，AC＝2BC，而非AB＝2BC，
∴∠A≠30°，故D选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用方格纸的特点及勾股定理分别计算出AB、AC、BC的长，即可判断A、C选项；然后根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，即可判断B选项；进而 判断BC与AB是否存在二倍关系，进而即可判断D选项.
6．（2024八下·三台期末）如图，直线和交于点，根据图象可知的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象知，当时，函数的图象位于函数的图象下方，即，
∴不等式的解集为：.
故答案为：B．
【分析】不等式的解集就是直线y=kx-3低于直线y=-x+b的图象，观察图象即可求解．
7．（2024八下·三台期末）直线是y关于x的一次函数，则下列说法正确的是（　　）
A． B．直线不经过第四象限
C．直线与y轴交于点 D．y随x的增大而增大
【答案】A
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线是y关于x的一次函数，
∴，且m≠0，
∴，故选项A正确，此选，符合题意；
∴一次函数的解析式为．
∴，
∴直线经过第一、二、四象限，故选项B错误，不符合题意；
当时，，
∴直线与y轴交于点，故选项C错误，不符合题意；
∵，
∴y随x的增大而减小，故选项D错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】形如“y=kx+b（k、b为常量，且k≠0）”的函数就是一次函数，据此列出关于字母m的混合组，求解可判断A选项；一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此可判断B选项；令一次函数解析式中的x=0算出对应的函数值，可得其与y轴交点的坐标，据此可判断C选项；一次函数y=kx+b（k、b为常量，且k≠0）中，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，当k＜0时，函数值y随x的增大而减小，据此可判断D选项.
8．（2024八下·三台期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，，．若，则四边形的周长是（　　）
A．5 B．10 C．20 D．40
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵矩形的对角线，相交于点O，
∴，，，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴菱形的周长.
故答案为：C．
【分析】先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形OCED是平行四边形，由矩形的对角线相等且互相平分得OC=OD=5，进而根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出平行四边形OCED是菱形，然后根据菱形的性质得出答案．
9．（2024八下·三台期末）在下列方案中，能够得到是的平分线的是（　　）
方案Ⅰ： 作菱形，连接． 方案Ⅱ： 取，以为顶点作矩形，连接交于点，连接．
A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ、Ⅱ都可行
C．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】方案Ⅰ，
证明：菱形，
（菱形的性质），
是的平分线；
方案Ⅱ，
证明：矩形，
（矩形的性质），
又∵OA=OB，
，
是的平分线；
故答案为：B．
【分析】根据菱形的每一条对角线平分一组对角可判断方案Ⅰ；根据矩形的对角线互相平分得AC=BC，然后根据等腰三角形底边上的三线合一可得∠AOC=∠BOC，据此可判断方案Ⅱ.
10．（2024八下·三台期末）如图，在中，，，P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为（　　）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接CP，
，，
，
，，
，
∴四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得，当时，线段的值最小，则线段的值最小，
此时，，
，
的最小值为，
故答案为：D．
【分析】连接CP，由等腰直角三角形的性质可算出AB的长，由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形CDPE是矩形，由矩形的对角线相等得DE=CP，由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，线段CP的值最小，则线段DE的值最小，从而根据等腰直角三角形的性质可得CP的最小值为AB，从而可得答案.
11．（2024八下·三台期末）甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．端午节期间两家商场都让利酬宾，两家商场的购物金额、（单位：元）与商品原价（单位：元）之间的关系如图所示，张阿姨计划在其中一家商场购原价为620元的商品，从省钱的角度你建议选择（　　）
A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．不确定
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意可设，
将(1200，960)代入，得：，
解得：，
∴；
当时，设，
将(200，200)代入，得：，
解得：，
∴此时．
当时，设，
将(200，200)，(1200，900)代入，
得：，
解得：
∴此时，．
∴．
当时，；
．
∵496>494，
∴从省钱的角度建议选择乙商场．
故答案为：B．
【分析】根据图象提供的信息，利用待定系数法求出y甲关于x的函数关系式，分0＜x＜200及x＞200两种情况求出求出y乙关于x的函数关系式，再将x=620分别代入y甲关于x的函数关系式与y乙关于x的函数关系式算出对应的函数值，最后比较即可．
12．（2024八下·三台期末）如图，在菱形中，M、N分别是和的中点，于点P，连接，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接DB、NM， 延长NM交AB于H，
菱形ABCD，
∴
分别为的中点，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】如图，连接DB、NM， 延长NM交AB于H，由菱形性质得AB=AD，AB∥CD，从而由等边对等角及三角形的内角和定理求得，由三角形中位线定理得MN∥DB，由二直线平行，同位角相等得∠NHA=∠DBA=70°，用AAS判断出△CNM≌△BHM，由全等三角形的对应边相等得NM=HM，再利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半证明MP=MH，由等边对等角得∠MPH=70°，最后由邻补角可求出∠MPB的度数.
13．（2024八下·三台期末）如图， ABCD中，∠DCE=70°，则∠A=　 　．
【答案】110°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：110°．
【分析】先由邻补角算出∠BCD=110°，进而根据平行四边形的对角相等可得出∠A的度数.
14．（2024八下·三台期末）已知，，则　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，
∴
，
=2-1
=1，
把ab=1代入所求代数式得：
.
故答案为：．
【分析】根据平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2和二次根式的性质“可求得ab的值，然后整体代入计算即可求解．
15．（2024八下·三台期末）如图，在边长为的正方形中，，，则的长是　 　．
【答案】1
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，
设，则；
由勾股定理得到；
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】由正方形性质得BC=CD，∠B=∠DCE=90°，由直角三角形的两锐角互余、角的构成及同角的余角相等得∠CDE=∠BCF，从而由ASA判断出△DCE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等得BF=CE，在Rt△CDE中，根据含直角三角形边的关系与勾股定理可得，即可得到答案．
16．（2024八下·三台期末）点、是一次函数图象上的两点，如果，则与大小关系是：　 　．
【答案】
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵在一次函数中，，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，当k＜0时，函数值y随x的增大而减小，据此求解即可.
17．（2024八下·三台期末）如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点.连接，，，且，，则的长是　 　.
【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC=14，
∴DE=BC=7，
∵∠AFB=90°，AB=8，
∴DF=AB=4，
∴EF=DE-DF=7-4=3，
故答案为：3．
【分析】根据三角形中位线等于第三边的一半得DE=BC=7，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DF=AB=4，最后根据EF=DE-DF可算出答案.
18．（2024八下·三台期末）如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，　 　．
【答案】或2或4
【知识点】平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意得，，，
则，PD=(6-t)cm，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴，
解得，
即秒时四边形是平行四边形；
当四边形是平行四边形，
则，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴，
解得，
当四边形DPBQ是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴当时，四边形DPBQ是平行四边形，
∴，
解得，
∴或2或4秒时， 点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形 .
故答案为：或2或4．
【分析】由题意得AP=tcm，CQ=2tcm，则BQ=(10-2t)cm，PD=(6-t)cm，由于AD∥BC，故分当AP=BQ，PD=CQ，PD=BQ三种情况时点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形，从而分别列出方程，求解可得答案.
19．（2024八下·三台期末）（1）计算：；
（2）在平面直角坐标系中有，，三点．
①求过A，B两点的直线的函数解析式；
②点C在直线上吗？并说明理由．
【答案】解：（1）
；
（2）①设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：；
②在，理由如下：
把代入得：，
∴点在直线上．
【知识点】二次根式的混合运算；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由二次根式乘法法则“”、二次根式除法法则“”及绝对值的代数意义分别计算，再根据二次根式的性质“”化简，最后合并同类二次根式即可；
（2）①根据待定系数法求出函数解析式即可；
②把代入①所求的函数解析式，求出y的值，即可判定点C是否在直线上．
20．（2024八下·三台期末）如图，在中，点E，F分别在，上，，．求证：四边形是矩形．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的对边相等且平行得AD=BC，AD∥BC，结合已知，由等式性质推出AF=EC，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AECF是平行四边形，再由对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论．
21．（2024八下·三台期末）甲、乙两名同学进入八年级后，数学科6次考试成绩如图：
甲：实线 乙：虚线
（1）请根据上图填写如下表格：
平均数 方差 中位数 众数
甲 75 ________ 75 ________
乙 75 33.3 ________ ________
（2）请你分别从以下两个不同的方面对甲、乙两名同学6次考试成绩进行分析：
①从平均数和方差相结合看；
②从折线图上两名同学分数的走势上看，你认为反映出什么问题？
【答案】（1）125，75，72.5，70
（2）解：①从平均数看，甲乙同学一样，但是从方差看，乙同学的方差小，乙同学成绩稳定，综合平均数和方差分析，乙同学总体成绩比甲同学好；
②从折线图上两名同学分数的走势，甲同学的成绩在稳步直线上升，属于进步比较快，乙同学的成绩忽上忽下，较第一次没有进步．
【知识点】折线统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：由图可知甲的成绩依次是60，65，75，75，80，95，平均数是75，
∴甲的方差：，
∵乙的成绩按从小到大排列得：70，70，70，75，80，85，第3和第4个数是70和75，
∴乙的中位数：，
甲的众数为75，乙的众数为70；
填表得：
平均数 方差 中位数 众数
甲 75 125 75 75
乙 75 33.3 72.5 70
故答案为：125，75，72.5，70；
【分析】（1）根据折线统计图提供的信息，结合众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，分别计算后即可判断得出答案；
（2）①根据平均数相等和方差越小越稳定回答即可；
②根据折线图得出变化趋势，可得甲同学的成绩在稳步直线上升，属于进步比较快，乙同学的成绩忽上忽下，较第一次没有进步.
22．（2024八下·三台期末）春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动．现要购买、两种树苗共100棵，已知、两种树苗的单价分别为30元/棵和20元/棵．若购买树苗的数量为棵，所需的总费用为（元）．
（1）求所需总费用与之间的函数关系式；
（2）若要求购买树苗的棵数不多于树苗的3倍，则购买这些树苗至少需要多少元？
【答案】（1）解：由题意可得，
所需总费用与之间的函数关系式为．
（2）解：由题意可得，
解得．
，，
随的增大而增大，
当时，，
购买这些树苗至少需要2250元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）若购买A树苗的数量为x棵，则购买B树苗的数量为(100-x)棵，根据总费用=购买x棵A中树苗的费用+购买(100-x)棵B种树苗的费用，可列出y关于x的函数关系式；
（2）根据购买B树苗的棵数不多于A树苗的3倍列出不等式，求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解．
23．（2024八下·三台期末）如图，在中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，AD∥BC
∴，
又∵，，
∴，
在和中
∴；
（2）解：四边形AFCE是菱形，理由如下：
如图，连接AF，CE，
由（1）得
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形
当平分时，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴△ABD为等腰三角形
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形AFCE是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等得AD=BC，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠ADB=∠CBD，由邻补角及等角的补角相等得∠ADE=∠CBF，从而用SAS判断出△ADE≌△CBF；
（2）由全等三角形的对应边相等（对应角相等）得CF=AE，∠E=∠F，由内错角相等，两直线平行得AE∥CF，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形AFCE是平行四边形，由叫配电箱的定义及平行线的性质可推出∠ABD=∠ADB，由等角对等边得AD=AB，由怕是不行的对角线互相平分得OB=OD，从而由等腰三角形的三线合一得出AC⊥BD，最后根据“对角线互相垂直得平行四边形是菱形”得出四边形AFCE是菱形.
24．（2024八下·三台期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，分别交坐标轴于点A，B，C，D．
（1）求a和k的值；
（2）如图，点P是直线上的一个动点，设点P的横坐标为m，当成立时，求点P的坐标；
（3）直线上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．
【答案】（1）解：将点M(4，a)代入，得，
解得：，
故点，
将点的坐标代入，得，
解得：，
，；
（2）解：由（1）得直线的表达式为：，
将x=0代入得y=-2，
∴点，
将x=0代入得y=3，
∴B（0，3）
∴S△PBM，
解得：或，
将x=-4代入得y=-5，
将x=12代入得y=7，
∴点的坐标为或；
（3）解： 点N的坐标为：或或
【知识点】坐标与图形性质；两一次函数图象相交或平行问题；菱形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）解：设点的坐标为，
∵，
∴，
当，是边时，
当点在点的上方时，则，即，
解得，
则点的坐标为或；
点在点的正下方个单位，
则点或；
当为对角线时，则的中点坐标为，
∴点纵坐标为，即：，
∴，
∴，
∵的中点也为，
∴；
综上，点的坐标为或或．
【分析】（1）将点M(4，a)代入即可求得的值，从而确定点M的坐标为(4，1)，再将点M(4，1)的坐标代入即可求得值；
（2）首先根据（1）的计算得出直线CD的解析式，然后根据直线与y轴交点的坐标特点，分别令直线CD、AB解析式中的x=0算出对应的y的值，可得点D、B的坐标；根据S△PBM，结合三角形面积计算公式建立方程，求得或，代入直线CD的解析式算出对应的函数值，即可求得答案；
（3）根据点的坐标与图形性质，设点F的坐标为，根据两点间的距离公式得出BD=5，然后分①当BD是边时和②当BD是对角线时，则BD的中点，即为NF的中点，且FN∥x轴，进而求解．
1 / 1四川省绵阳市三台县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·三台期末）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·三台期末）下列二次根式中，是最简二次根式的为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·三台期末）小明与小华本学期都参加了5次数学考试（总分均为100分），数学老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，在作统计分析时，老师需比较这两人5次数学成绩的（　　）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
4．（2024八下·三台期末）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当∠ABC=90°时，它是矩形 B．当AB=BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形 D．当AC=BD时，它是正方形
5．（2024八下·三台期末）如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（　　）
A．AB＝5 B．∠C＝90° C．AC＝2 D．∠A＝30°
6．（2024八下·三台期末）如图，直线和交于点，根据图象可知的解集为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·三台期末）直线是y关于x的一次函数，则下列说法正确的是（　　）
A． B．直线不经过第四象限
C．直线与y轴交于点 D．y随x的增大而增大
8．（2024八下·三台期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，，．若，则四边形的周长是（　　）
A．5 B．10 C．20 D．40
9．（2024八下·三台期末）在下列方案中，能够得到是的平分线的是（　　）
方案Ⅰ： 作菱形，连接． 方案Ⅱ： 取，以为顶点作矩形，连接交于点，连接．
A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ、Ⅱ都可行
C．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行
10．（2024八下·三台期末）如图，在中，，，P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为（　　）
A．3 B． C．5 D．
11．（2024八下·三台期末）甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．端午节期间两家商场都让利酬宾，两家商场的购物金额、（单位：元）与商品原价（单位：元）之间的关系如图所示，张阿姨计划在其中一家商场购原价为620元的商品，从省钱的角度你建议选择（　　）
A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．不确定
12．（2024八下·三台期末）如图，在菱形中，M、N分别是和的中点，于点P，连接，若，则（　　）
A． B． C． D．
13．（2024八下·三台期末）如图， ABCD中，∠DCE=70°，则∠A=　 　．
14．（2024八下·三台期末）已知，，则　 　．
15．（2024八下·三台期末）如图，在边长为的正方形中，，，则的长是　 　．
16．（2024八下·三台期末）点、是一次函数图象上的两点，如果，则与大小关系是：　 　．
17．（2024八下·三台期末）如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点.连接，，，且，，则的长是　 　.
18．（2024八下·三台期末）如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，　 　．
19．（2024八下·三台期末）（1）计算：；
（2）在平面直角坐标系中有，，三点．
①求过A，B两点的直线的函数解析式；
②点C在直线上吗？并说明理由．
20．（2024八下·三台期末）如图，在中，点E，F分别在，上，，．求证：四边形是矩形．
21．（2024八下·三台期末）甲、乙两名同学进入八年级后，数学科6次考试成绩如图：
甲：实线 乙：虚线
（1）请根据上图填写如下表格：
平均数 方差 中位数 众数
甲 75 ________ 75 ________
乙 75 33.3 ________ ________
（2）请你分别从以下两个不同的方面对甲、乙两名同学6次考试成绩进行分析：
①从平均数和方差相结合看；
②从折线图上两名同学分数的走势上看，你认为反映出什么问题？
22．（2024八下·三台期末）春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动．现要购买、两种树苗共100棵，已知、两种树苗的单价分别为30元/棵和20元/棵．若购买树苗的数量为棵，所需的总费用为（元）．
（1）求所需总费用与之间的函数关系式；
（2）若要求购买树苗的棵数不多于树苗的3倍，则购买这些树苗至少需要多少元？
23．（2024八下·三台期末）如图，在中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
24．（2024八下·三台期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，分别交坐标轴于点A，B，C，D．
（1）求a和k的值；
（2）如图，点P是直线上的一个动点，设点P的横坐标为m，当成立时，求点P的坐标；
（3）直线上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使 在实数范围内有意义， 只需.
故答案为：B.
【分析】要使二次根式在实数范围内有意义，只需二次根式内是非负数，转化为不等式求解.
2．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】最简二次根式被开方式不含有能够开出来的因式和因数。A、，还可以进一步化简；B、，不符合题意；C、已经无法化简，故符合题意；D、，故不符合题意。故选C.
【点评】二次根式的化简需要对平方根，开平方等基本知识熟练把握。
3．【答案】B
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：要判断小明的数学成绩是否稳定，老师需要知道小明和小华这5次数学成绩的方差．方差能反映数据的波动大小，故判断小明和小华的数学成绩是否稳定，应知道方差．
故答案为：B.
【分析】利用众数、平均数、方差和中位数的定义及性质判断即可。
4．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据矩形、菱形和正方形的判定方法逐项判断即可。
5．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵每个小正方形的边长为1，
根据勾股定理可得：AB＝5，AC＝2，BC＝，故A、C选项都正确，不符合题意；
∵2＋(2)2＝52，
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，故B选项正确，不符合题意；
∵∠C＝90°，AC＝2BC，而非AB＝2BC，
∴∠A≠30°，故D选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用方格纸的特点及勾股定理分别计算出AB、AC、BC的长，即可判断A、C选项；然后根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，即可判断B选项；进而 判断BC与AB是否存在二倍关系，进而即可判断D选项.
6．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象知，当时，函数的图象位于函数的图象下方，即，
∴不等式的解集为：.
故答案为：B．
【分析】不等式的解集就是直线y=kx-3低于直线y=-x+b的图象，观察图象即可求解．
7．【答案】A
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线是y关于x的一次函数，
∴，且m≠0，
∴，故选项A正确，此选，符合题意；
∴一次函数的解析式为．
∴，
∴直线经过第一、二、四象限，故选项B错误，不符合题意；
当时，，
∴直线与y轴交于点，故选项C错误，不符合题意；
∵，
∴y随x的增大而减小，故选项D错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】形如“y=kx+b（k、b为常量，且k≠0）”的函数就是一次函数，据此列出关于字母m的混合组，求解可判断A选项；一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此可判断B选项；令一次函数解析式中的x=0算出对应的函数值，可得其与y轴交点的坐标，据此可判断C选项；一次函数y=kx+b（k、b为常量，且k≠0）中，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，当k＜0时，函数值y随x的增大而减小，据此可判断D选项.
8．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵矩形的对角线，相交于点O，
∴，，，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴菱形的周长.
故答案为：C．
【分析】先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形OCED是平行四边形，由矩形的对角线相等且互相平分得OC=OD=5，进而根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出平行四边形OCED是菱形，然后根据菱形的性质得出答案．
9．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】方案Ⅰ，
证明：菱形，
（菱形的性质），
是的平分线；
方案Ⅱ，
证明：矩形，
（矩形的性质），
又∵OA=OB，
，
是的平分线；
故答案为：B．
【分析】根据菱形的每一条对角线平分一组对角可判断方案Ⅰ；根据矩形的对角线互相平分得AC=BC，然后根据等腰三角形底边上的三线合一可得∠AOC=∠BOC，据此可判断方案Ⅱ.
10．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接CP，
，，
，
，，
，
∴四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得，当时，线段的值最小，则线段的值最小，
此时，，
，
的最小值为，
故答案为：D．
【分析】连接CP，由等腰直角三角形的性质可算出AB的长，由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形CDPE是矩形，由矩形的对角线相等得DE=CP，由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，线段CP的值最小，则线段DE的值最小，从而根据等腰直角三角形的性质可得CP的最小值为AB，从而可得答案.
11．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意可设，
将(1200，960)代入，得：，
解得：，
∴；
当时，设，
将(200，200)代入，得：，
解得：，
∴此时．
当时，设，
将(200，200)，(1200，900)代入，
得：，
解得：
∴此时，．
∴．
当时，；
．
∵496>494，
∴从省钱的角度建议选择乙商场．
故答案为：B．
【分析】根据图象提供的信息，利用待定系数法求出y甲关于x的函数关系式，分0＜x＜200及x＞200两种情况求出求出y乙关于x的函数关系式，再将x=620分别代入y甲关于x的函数关系式与y乙关于x的函数关系式算出对应的函数值，最后比较即可．
12．【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接DB、NM， 延长NM交AB于H，
菱形ABCD，
∴
分别为的中点，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】如图，连接DB、NM， 延长NM交AB于H，由菱形性质得AB=AD，AB∥CD，从而由等边对等角及三角形的内角和定理求得，由三角形中位线定理得MN∥DB，由二直线平行，同位角相等得∠NHA=∠DBA=70°，用AAS判断出△CNM≌△BHM，由全等三角形的对应边相等得NM=HM，再利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半证明MP=MH，由等边对等角得∠MPH=70°，最后由邻补角可求出∠MPB的度数.
13．【答案】110°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：110°．
【分析】先由邻补角算出∠BCD=110°，进而根据平行四边形的对角相等可得出∠A的度数.
14．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，
∴
，
=2-1
=1，
把ab=1代入所求代数式得：
.
故答案为：．
【分析】根据平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2和二次根式的性质“可求得ab的值，然后整体代入计算即可求解．
15．【答案】1
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，
设，则；
由勾股定理得到；
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】由正方形性质得BC=CD，∠B=∠DCE=90°，由直角三角形的两锐角互余、角的构成及同角的余角相等得∠CDE=∠BCF，从而由ASA判断出△DCE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等得BF=CE，在Rt△CDE中，根据含直角三角形边的关系与勾股定理可得，即可得到答案．
16．【答案】
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵在一次函数中，，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，当k＜0时，函数值y随x的增大而减小，据此求解即可.
17．【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC=14，
∴DE=BC=7，
∵∠AFB=90°，AB=8，
∴DF=AB=4，
∴EF=DE-DF=7-4=3，
故答案为：3．
【分析】根据三角形中位线等于第三边的一半得DE=BC=7，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DF=AB=4，最后根据EF=DE-DF可算出答案.
18．【答案】或2或4
【知识点】平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意得，，，
则，PD=(6-t)cm，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴，
解得，
即秒时四边形是平行四边形；
当四边形是平行四边形，
则，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴，
解得，
当四边形DPBQ是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴当时，四边形DPBQ是平行四边形，
∴，
解得，
∴或2或4秒时， 点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形 .
故答案为：或2或4．
【分析】由题意得AP=tcm，CQ=2tcm，则BQ=(10-2t)cm，PD=(6-t)cm，由于AD∥BC，故分当AP=BQ，PD=CQ，PD=BQ三种情况时点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形，从而分别列出方程，求解可得答案.
19．【答案】解：（1）
；
（2）①设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：；
②在，理由如下：
把代入得：，
∴点在直线上．
【知识点】二次根式的混合运算；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由二次根式乘法法则“”、二次根式除法法则“”及绝对值的代数意义分别计算，再根据二次根式的性质“”化简，最后合并同类二次根式即可；
（2）①根据待定系数法求出函数解析式即可；
②把代入①所求的函数解析式，求出y的值，即可判定点C是否在直线上．
20．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的对边相等且平行得AD=BC，AD∥BC，结合已知，由等式性质推出AF=EC，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AECF是平行四边形，再由对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论．
21．【答案】（1）125，75，72.5，70
（2）解：①从平均数看，甲乙同学一样，但是从方差看，乙同学的方差小，乙同学成绩稳定，综合平均数和方差分析，乙同学总体成绩比甲同学好；
②从折线图上两名同学分数的走势，甲同学的成绩在稳步直线上升，属于进步比较快，乙同学的成绩忽上忽下，较第一次没有进步．
【知识点】折线统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：由图可知甲的成绩依次是60，65，75，75，80，95，平均数是75，
∴甲的方差：，
∵乙的成绩按从小到大排列得：70，70，70，75，80，85，第3和第4个数是70和75，
∴乙的中位数：，
甲的众数为75，乙的众数为70；
填表得：
平均数 方差 中位数 众数
甲 75 125 75 75
乙 75 33.3 72.5 70
故答案为：125，75，72.5，70；
【分析】（1）根据折线统计图提供的信息，结合众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，分别计算后即可判断得出答案；
（2）①根据平均数相等和方差越小越稳定回答即可；
②根据折线图得出变化趋势，可得甲同学的成绩在稳步直线上升，属于进步比较快，乙同学的成绩忽上忽下，较第一次没有进步.
22．【答案】（1）解：由题意可得，
所需总费用与之间的函数关系式为．
（2）解：由题意可得，
解得．
，，
随的增大而增大，
当时，，
购买这些树苗至少需要2250元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）若购买A树苗的数量为x棵，则购买B树苗的数量为(100-x)棵，根据总费用=购买x棵A中树苗的费用+购买(100-x)棵B种树苗的费用，可列出y关于x的函数关系式；
（2）根据购买B树苗的棵数不多于A树苗的3倍列出不等式，求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解．
23．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，AD∥BC
∴，
又∵，，
∴，
在和中
∴；
（2）解：四边形AFCE是菱形，理由如下：
如图，连接AF，CE，
由（1）得
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形
当平分时，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴△ABD为等腰三角形
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形AFCE是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等得AD=BC，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠ADB=∠CBD，由邻补角及等角的补角相等得∠ADE=∠CBF，从而用SAS判断出△ADE≌△CBF；
（2）由全等三角形的对应边相等（对应角相等）得CF=AE，∠E=∠F，由内错角相等，两直线平行得AE∥CF，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形AFCE是平行四边形，由叫配电箱的定义及平行线的性质可推出∠ABD=∠ADB，由等角对等边得AD=AB，由怕是不行的对角线互相平分得OB=OD，从而由等腰三角形的三线合一得出AC⊥BD，最后根据“对角线互相垂直得平行四边形是菱形”得出四边形AFCE是菱形.
24．【答案】（1）解：将点M(4，a)代入，得，
解得：，
故点，
将点的坐标代入，得，
解得：，
，；
（2）解：由（1）得直线的表达式为：，
将x=0代入得y=-2，
∴点，
将x=0代入得y=3，
∴B（0，3）
∴S△PBM，
解得：或，
将x=-4代入得y=-5，
将x=12代入得y=7，
∴点的坐标为或；
（3）解： 点N的坐标为：或或
【知识点】坐标与图形性质；两一次函数图象相交或平行问题；菱形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）解：设点的坐标为，
∵，
∴，
当，是边时，
当点在点的上方时，则，即，
解得，
则点的坐标为或；
点在点的正下方个单位，
则点或；
当为对角线时，则的中点坐标为，
∴点纵坐标为，即：，
∴，
∴，
∵的中点也为，
∴；
综上，点的坐标为或或．
【分析】（1）将点M(4，a)代入即可求得的值，从而确定点M的坐标为(4，1)，再将点M(4，1)的坐标代入即可求得值；
（2）首先根据（1）的计算得出直线CD的解析式，然后根据直线与y轴交点的坐标特点，分别令直线CD、AB解析式中的x=0算出对应的y的值，可得点D、B的坐标；根据S△PBM，结合三角形面积计算公式建立方程，求得或，代入直线CD的解析式算出对应的函数值，即可求得答案；
（3）根据点的坐标与图形性质，设点F的坐标为，根据两点间的距离公式得出BD=5，然后分①当BD是边时和②当BD是对角线时，则BD的中点，即为NF的中点，且FN∥x轴，进而求解．
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