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四川省成都市锦江区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·锦江期末）道路交通标志是用文字和图形符号对车辆、行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·锦江期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是(　　)
A． B．
C． D．
3．（2024八下·锦江期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·锦江期末）若，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·锦江期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为(　　)
A． B． C． D．
6．（2024八下·锦江期末）如图，在中，对角线，相交于点O．若，，，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
7．（2024八下·锦江期末）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰.2024年4月3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植80棵树，乙班共植60棵树．设乙班每小时植x棵树，依题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024八下·锦江期末）如图，在中，，，平分交于点，作于．若，则的长为(　　)
A． B． C． D．
9．（2024八下·锦江期末）分解因式：　 　.
10．（2024八下·锦江期末）若分式的值为零，那么x的值为　 　．
11．（2024八下·锦江期末）如图，在正五边形中，连接，则的度数是　 　度．
12．（2024八下·锦江期末）已知，一次函数的值随值的增大而减小，则常数的取值范围是　 　．
13．（2024八下·锦江期末）如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为　 　．
14．（2024八下·锦江期末）（1）解方程：；
（2）解不等式组
15．（2024八下·锦江期末）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形ABC，它的三个顶点都在格点上（网格线的交点）．
（1）以点为旋转中心，将旋转，得到，请画出；
（2）若点的坐标为，请直接写出点的坐标；
（3）过点作的平行线（点，在格点上，不与点重合）．
16．（2024八下·锦江期末）依法纳税是每个公民应尽的义务，自2018年10月1日起，个人所得税的起征点是5000元，具体税率如下表所示：
每月工资（元） 个人税率
不超过5000 免税
超过5000至不超过8000的部分
超过8000至不超过17000的部分
… …
（1）某电脑组装公司实行“基础工资计件工资”制，基础工资为每月3000元，每组装1台电脑10元．请直接写出纳税前月工资y（元）与组装电脑台数x之间的函数关系式；
（2）如果小王在6月份组装了电脑700台，那么小王6月份纳税后应领取工资多少元？
17．（2024八下·锦江期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，平分交于点，连接并延长交于．
（1）求证：；
（2）若，求的大小(用含的式子表示)：
（3）用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由．
18．（2024八下·锦江期末）如图1，在中，是对角线的中点，过点的直线分别与，交于点，，将四边形沿折叠得到四边形，点在上方，交线段于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，若，，，，求的长．
19．（2024八下·锦江期末）已知，，则代数式的值是　 　．
20．（2024八下·锦江期末）如图，是的对角线，延长至，使，点是的中点，连接，．与相交于点，若是等边三角形，，则的长为　 　．
21．（2024八下·锦江期末）已知关于x的不等式组有且仅有个整数解，关于的分式方程有增根，则不等式组的整数解是不等式的解的概率为　 　．
22．（2024八下·锦江期末）如图，在中，，，．将沿射线平移得到，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，．在的平移过程中，的周长的最小值为　 　．
23．（2024八下·锦江期末）定义：在平面直角坐标系中，如果直线上的点经过一次变换后得到点，那么称这次变换为“逆倍分变换”．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B．点P为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点与点P重合，则点P的坐标为　 　；点Q为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点，使得和的面积相等，则点Q的坐标为　 　．
24．（2024八下·锦江期末）军事演习，简称军演，是在想定情况诱导下进行的近似实战的综合性训练，是军事训练的高级阶段．在一次军事演习中，某军队接到上级指令执行登岛计划，接到指令时，该军队的舰艇距离该小岛千米，舰艇距离该小岛千米，于是舰艇加速前进，速度是舰艇的倍，结果舰艇提前分钟到达，顺利完成了登岛任务．
（1）求舰艇，的速度；
（2）根据情况，每天要派一艘舰艇在小岛周围巡航，巡航需持续一个月(天)，已知舰艇，的巡航费用分别为万元天，万元天．
①求巡航总费用与舰艇的巡航天数之间的函数关系式；
②若舰艇巡航天数不能超过舰艇的倍，要使巡航的费用最少，舰艇A应巡航多少天？
25．（2024八下·锦江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，，点的坐标为．点是线段上一点，连接并延长至，使，连接．
（1）求直线的表达式；
（2）若是直角三角形，求点的坐标；
（3）若直线与的边有两个交点，求的取值范围．
26．（2024八下·锦江期末）如图，在下方的直线．
（1）P为直线上一动点，连接，．若，．
①如图1，求证：四边形是平行四边形；
②如图2，，，作于点，连接，若，求的长；
（2）如图3，，，作于点，连接，，若的面积始终为，求长的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B、是中心对称图形，故选项B符合题意；
C、不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A.是单项式，不能分解因式，故选项A不符合题意；
B.，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故选项B不符合题意；
C.，符合因式分解的定义，故选项C符合题意；
D.，是正式的乘法运算，不是因式分解，故选项D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可．
3．【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是，即，
故答案为：B．
【分析】直角坐标系中点坐标的平移规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．据此进行解答即可.
4．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，原变式不成立，故选项A不符合题意；
B、∵，∴，原变式不成立，故选项B不符合题意；
C、∵，∴x=0时，；x≠0时， ；原变式不一定成立，故选项C不符合题意；
D、∵，∴，原变式一定成立，故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．不等式性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此进行判断作答即可．
5．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：直线交直线于点，
所以，不等式的解集为．
故答案为：A．
【分析】观察函数图象得到，当时，一次函数的图象都在正比例函数的图象的上方，由此得到不等式的解集．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，
，，
，，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，可得DO的长，再根据勾股定理即可求出，进而可得的长．
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，
由题意得：，
故答案为：A．
【分析】设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，根据题中的相等关系“甲班植80棵树所用时间=乙班植60棵树所用时间”即可列方程，结合各选项即可判断求解．
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过作于点，如图所示：
∵ CD平分∠ADB交AB于点D，于 ，
∴DE=DF.
在中，∠A=30°，，
AD=2DE，，
∴DF=DE=1.
再中，，∠B=45°，
∴BF=DF=1，
，
故答案为：C．
【分析】过作，垂足为，利用角平分线的性质可得DE=DF；利用角的直角三角形的性质可求得DE长，进而得DF长，再根据等腰直角三角形的性质求出BF长，再利用勾股定理即可求解．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】首先提取公因式x，然后利用完全平方公式进行分解.
10．【答案】3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得
解得x=3，
∴若分式的值为0，则的值为．
故答案为：3．
【分析】分式为零的条件“分子等于0，且分母不等于0”，据此列出混合组，求解即可．
11．【答案】36
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：36．
【分析】根据正多边形的各条边相等，各个内角都相等可得AB=BC=DE=AE，∠B=∠E=∠BAE==108°，然后根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠BAC=∠DAE=36°，最后根据角的构成，由∠CAD=∠BAE-∠BAC-∠DAE列式计算即可.
12．【答案】
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数中，值随值的增大而减少，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】由一次函数中，值随值的增大而减少，可得，求解即可得到答案．
13．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由作图可知是的垂直平分线，
，CE=BE，
，
∴∠ADC=∠DCB+∠B=50°.
，CE=BE，
∴，
∴∠EAB=∠B=25°，
∴∠APC=∠EAB+∠ADC=25°+50°=75°.
故答案为：．
【分析】由作图可知，可得，继而可利用外角性质得∠ADC的度数；再根据直角三角形斜边上中线的性质可得AE=CE=BE，可得∠EAB=∠B=25°，再利用外角的性质即可得到答案．
14．【答案】解：（1）去分母得：，
去括号得：，
移项得：
合并得：，
当时，分母，
故是原分式方程的解；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可，注意检验；
（2）分别求出每一个不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集即可．
15．【答案】（1）解：如图，即为所求：
（2）
（3）如图，即为所求．
【知识点】点的坐标；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）根据点A的坐标可建立平面直角坐标系，如图所示：
则点的坐标为．
故答案为：；
【分析】（1）根据旋转的性质，连接AO并延长至点A1，使OA1=OA，同样的方法得到点B1，C1，再顺次连接即可得到△A1B1C1．
（2）根据点的坐标确定坐标原点，建立平面直角坐标系，即可得出答案．
（3）根据平移的性质，画图即可．
16．【答案】（1）解：根据题意得：，
纳税前月工资（元与组装电脑台数之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
小王6月份纳税前的工资为10000元，
小王6月份应纳税（元，
小王6月份纳税后应领取工资为（元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据“总工资基础工资计件工资”，即可列出函数解析式；
（2）先求出时小王的工资，然后根据税率表将小王的工资分为5000，3000，2000三部分，求出小王应纳的税款，再用总工资税款实发工资计算即可．
17．【答案】（1）证明：点，分别是，的中点，
是△ABC的中位线，
，
，
平分∠ACG，
，
，
；
（2）解：是中点，
，
，
，，
∵∠EAF+∠EFA+∠EFC+∠ACF=∠EAF+∠AFC+∠ACF=180°，
，
，
∵∠FGC=α，
；
（3）解：由（2）可知，
∴.
由（1）可知DE是△ABC的中位线，
∴，
∴BC=2DE=2(DF+EF)=2DF+2EF=2DF+AC.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据中位线的判定定理，平行线的性质，以及角平分线的定义可得，
再根据等角对等边即可得到结论；
（2）由可推出，继而得∠FGC的度数，最后利用直角三角形两锐角互余即可得∠FCG的度数；
（3）由可得AC=2EF，由中位线定理可得BC=2DE=2(DF+EF)，等量代换即可得到结论.
18．【答案】（1）证明：是对角线的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，∠AEO=∠CFO，
在和中，
，
，
，
将四边形沿折叠得到四边形，
，
；
（2）证明：连接HE，HF，记MN与AD相较于点P，NF与CD相交于点Q，如图所示：
四边形是平行四边形，
∴∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，AD=BC.
由（1）得：，
∴AE=CF，OE=OF.
∴AD－AE＝BC－CF，即ED=BF.
∵将四边形沿折叠得到四边形，
∴∠B=∠N，BF=NF，∠BAD=∠M，
∴∠D=∠N，ED=NF，∠M=∠BCD，
∵∠DHP=∠NHQ，
∴180°－∠D－∠DHP=180°－∠N－∠NHQ，即∠MPE=∠DPH=∠NQH=∠CQF.
由（1）得ME=FC，
∴△MEP≌△CFQ (AAS).
∴EP=FQ.
∴ED－EP=NF－FQ，即PD=QN.
∵∠D=∠N，∠DPH=∠NQH，
∴△DPH≌△NQH (ASA).
∴DH=NH，
∵∠D=∠N，ED=NF，
∴△DEH≌△NFH (SAS).
∴EH=FH.
∵OE=OF，
∴OH⊥EF.
（3）解：过点作HG⊥FG，交的延长线于G，如图所示：
，四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠N=∠HCG=∠B=60°，
，
，
，
，
，
，，
∴QC=FC=2，，
，
，
∴.
，
，
∵，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
由（2）得OH⊥EF，
，，
，
，
的长为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用AAS证明，可得AE=FC，根据折叠得EM=AE，等量代换即可证得结论；
（2）连接HE，HF，记MN与AD相较于点P，NF与CD相交于点Q，先利用平行四边形的性质和折叠的性质可证得∠D=∠N，ED=NF，∠M=∠BCD.于是可利用AAS证明EP=FQ，继而可得PD=QN.再利用ASA证明△DPH≌△NQH，可得DH=NH，最后利用SAS证明△DEH≌△NFH可得EH=FH，最后利用等腰三角形的性质即可得到结论；
（3）过点作HG⊥FG，交的延长线于G，先求得，可得∠BFN=150°，再利用折叠和平角的性质可得利用等腰三角形的判定和性质可得，，运用含角直角三角形的性质得NH的长，再由勾股定理可得QH长，继而可得HG的长；证明△HFG是等腰直角三角形，得出∠HFG=45°，继而可得∠HFO=60°，最后利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求得答案．
19．【答案】3
【知识点】分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，，，
.
故答案为：3．
【分析】先计算出，再整体代入，，即可得到答案．
20．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，，∠B=∠D=60°.
∴，
∴△BCE为等边三角形，
∵AE=AB=2，
∴AC⊥BE，BC=BE=AB+AE=4，
.
点是的中点，
，
，
故答案为：．
【分析】由等边三角形的性质可得，，由平行四边形的性质，，∠B=∠D=60°.于是可证△BCE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得AC⊥BE，BC=BE=4，由勾股定理求得AC的长，继而可得的长．
21．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；概率公式；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得：
解不等式②得：，
该不等式组有且仅有个整数解，
不等式组的解集为：，且整数解为，，，，
解得：.
关于的分式方程有增根，
，
解得，
不等式即为，
解得，
和是不等式的解，
不等式组的整数解是不等式的解的概率为．
故答案为：．
【分析】解一元一次不等式组的整数解，根据不等式组有且仅有个整数解，可得整数解为，，，；求解分式方程，根据分式方程有增根，可得；故为，解得，再根据概率公式计算即可.
22．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；轴对称的性质；平移的性质；旋转的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E，过点A'作A'F⊥ED于点F，如图所示：
∴∠E=∠C=90°，
∵AB饶点A逆时针旋转90°得到线段AD，
∴∠DAB=90°，，
∴∠EAD+∠EDA=90°=∠CAB+∠EAD，
∴∠EDA=∠CAB，
∴△EAD≌△CBA(AAS)，
∴EA=BC=3，ED=AC=2.
∵△ABC沿CB方向平移到△A'B'C'，
∴AA'//CC'，
∴∠EFA'=∠E=∠C=∠EAA'=90°，
∴四边形AA'FE是矩形，
∴A'F=AE=3，EF=AA'.
∵，
∴找到DA'+DB'的最小值，即可得到△A'B'D的周长.
∵点A'和点B'到直线ED的距离相等，点D为定点，
∴作点A'关于直线ED的对称点A''，连接DA''，B'A''，A'A''，如图所示：
则DA'+DB'=DA''+DB'，故点A''，D，B'三点共线时，有最小值，最小值为A''B'长.
∵A''F=A'F=3，
∴A''C'=A''F+FA'+F'C'=3+3+2=8，B'C'=BC=3，
∴.
∴.
故答案为：．
【分析】过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E，过点A'作A'F⊥ED于点F，证明△EAD≌△CBA，可得EA=BC=3，ED=AC=2.证明四边形AA'FE是矩形，可得A'F=AE=3，EF=AA'.由于可知找到AD'+DB'的最小值即可.再根据点D为顶点，点A'和点B'到直线ED的距离相等，作点A'关于直线ED的对称点A''，连接DA''，B'A''，A'A''，可知点A''，D，B'三点共线时，有最小值，最小值为A''B'长.利用勾股定理求出A''B'的长，即可得到结论.
23．【答案】；或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点P为直线 上一点，可设为，
为．
∵与重合，
．
．
．
∵直线与x轴、y轴分别相交于点A，B．
∴-A(2，0)，B(0，4).
∵和的面积相等，
∴点Q'与点O到直线AB的距离相等，故分别过原点O和点（4，0）过直线AB的平行线，如图所示：
所在直线为或直线上．
可设Q为(t，-2t+4)，则．
若点在上，
则，解得：，
.
若点在上，
则，解得：，
．
综上：或．
故答案为：；或．
【分析】依据题意，设为，可得为，根据与重合，建立关于t的方程并求解即可得到答案；根据和的面积相等，可得点Q'所在直线为或直线上．设Q为(t，-2t+4)，则．再分别把Q'的坐标代入和，求出点t的值，即可得到答案.
24．【答案】（1）解：设舰艇的速度的速度为千米小时，则舰艇的速度的速度为千米小时，
根据题意得：，
解得，
经检验，x=60是分式方程的解，且符合题意；
∴，
答：舰艇的速度的速度为千米小时，则舰艇的速度的速度为千米小时；
（2）解：①根据题意得：舰艇巡航a天，则舰艇B巡航(30－a)天，
∴，
总费用与舰艇的巡航天数之间的函数关系式为；
②由题意得：
解得，
∵的一次项系数k=10>0，
随a的增大而增大，
当时，有最小值为，
答：舰艇应巡航天，巡航的费用最少．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设舰艇的速度的速度为千米小时，则舰艇的速度的速度为千米小时，根据题意得等量关系“航舰A的到达时间－航舰B的达到时间=10分钟”，据此列出方程，解方程即可，注意单位统一；
（2）①根据总费用和两种舰艇的费用之和列出函数解析式；
②根据舰艇巡航天数不能超过舰艇的倍，求出的取值范围，再根据函数的性质求最值即可．
25．【答案】（1）解：∵，点的坐标为．∠BOA=90°，∴，
∴，
将，，代入
得，
解得：
∴直线的表达式为；
（2）解：过点D作DE⊥y轴于点E，如图所示：
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OBA=∠OAB=45°.
∵点是线段上一点，
∴，即C(m，-m+4).
∵ 连接并延长至，使，故点C为线段OD的中点，
∴点D(2m，﹣2m+8).
∵△BCD是直角三角形，
∴①∠DBC=90°，则∠DBE=180°－∠DBC－OBA=45°，
∴∠EDB=∠DBE，
∴ED=EB.
∵B(0，4)，
∴2m=﹣2m+8－4，解得：m=1，
∴C(1，3).
②∠DCB=90°，即OC⊥AB，
∴OC=BC=AC，
∵，，
∴；
综上所述，或；
（3）解：∵点是线段上一点，又直线的表达式为∴，，
∴
∴直线过定点，
由（2）得：点D(2m，﹣2m+8)，
当直线与的边有两个交点，
∴直线经过点时，则，
整理得：2m2=18，
解得：（舍去）或
又∵，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形；三角形的中位线定理；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据题意得出，将，，代入，即可求解．
（2）过点D作DE⊥y轴于点E，证得∠OBA=45°，根据题意可得C(m，-m+4)，D(2m，﹣2m+8).再分两种情况讨论，①当时，可得△BED是等腰直角三角形，利用ED=EB可得2m=﹣2m+8－4，可得m的值；②当，则则，根据中点坐标公式，即可求解；
（3）点是线段上一点，又直线的表达式为得出，，由（2）得，直线经过点时，得出，结合图象，即可求解．
26．【答案】（1）①证明：，
∴，，
，，
，，
，
四边形是平行四边形．
②解：过作于点，交于点，如图所示：
∵BD⊥MN于点D，AB//MN，
∴∠BDH=∠GHD=∠HGB=90°，
∴四边形是矩形，
∴GH=BD，GB=HD.
∵AC=2BC，设BC=x，则AC=2x，
，
根据等面积可得：，，
，
，
，
∵，即，
解得（舍负），
，，
．
（2）解：过作交于点，过A作交于点，如图所示：
∵∠ACB=90°，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
，
取中点，连接、，则，
在中，，
是直角三角形，是中点，
，
根据三角形三边关系可得，，．
最大值为.
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）①利用平行线的性质和等角转化可证出两组对边平行，即可得到结论；
②过作于点，交于点，可证明四边形是矩形，于是有GH=BD，GB=HD.设BC=x，根据题意和勾股定理可得AC，AB的长，根据等面积法和勾股定理得CG和GB的长，
根据平行四边形的性质可求得CH的长，最后利用勾股定理得，代入得关于x的方程并求解，即可解得PB的长.
（2）由前述思路可以构造一个矩形和一个直角三角形，再利用斜边中点构造三角形，最后用三边关系求最值即可．
1 / 1四川省成都市锦江区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·锦江期末）道路交通标志是用文字和图形符号对车辆、行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B、是中心对称图形，故选项B符合题意；
C、不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此进行判断即可.
2．（2024八下·锦江期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A.是单项式，不能分解因式，故选项A不符合题意；
B.，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故选项B不符合题意；
C.，符合因式分解的定义，故选项C符合题意；
D.，是正式的乘法运算，不是因式分解，故选项D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可．
3．（2024八下·锦江期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是，即，
故答案为：B．
【分析】直角坐标系中点坐标的平移规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．据此进行解答即可.
4．（2024八下·锦江期末）若，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，原变式不成立，故选项A不符合题意；
B、∵，∴，原变式不成立，故选项B不符合题意；
C、∵，∴x=0时，；x≠0时， ；原变式不一定成立，故选项C不符合题意；
D、∵，∴，原变式一定成立，故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．不等式性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此进行判断作答即可．
5．（2024八下·锦江期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：直线交直线于点，
所以，不等式的解集为．
故答案为：A．
【分析】观察函数图象得到，当时，一次函数的图象都在正比例函数的图象的上方，由此得到不等式的解集．
6．（2024八下·锦江期末）如图，在中，对角线，相交于点O．若，，，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，
，，
，，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，可得DO的长，再根据勾股定理即可求出，进而可得的长．
7．（2024八下·锦江期末）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰.2024年4月3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植80棵树，乙班共植60棵树．设乙班每小时植x棵树，依题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，
由题意得：，
故答案为：A．
【分析】设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，根据题中的相等关系“甲班植80棵树所用时间=乙班植60棵树所用时间”即可列方程，结合各选项即可判断求解．
8．（2024八下·锦江期末）如图，在中，，，平分交于点，作于．若，则的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过作于点，如图所示：
∵ CD平分∠ADB交AB于点D，于 ，
∴DE=DF.
在中，∠A=30°，，
AD=2DE，，
∴DF=DE=1.
再中，，∠B=45°，
∴BF=DF=1，
，
故答案为：C．
【分析】过作，垂足为，利用角平分线的性质可得DE=DF；利用角的直角三角形的性质可求得DE长，进而得DF长，再根据等腰直角三角形的性质求出BF长，再利用勾股定理即可求解．
9．（2024八下·锦江期末）分解因式：　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】首先提取公因式x，然后利用完全平方公式进行分解.
10．（2024八下·锦江期末）若分式的值为零，那么x的值为　 　．
【答案】3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得
解得x=3，
∴若分式的值为0，则的值为．
故答案为：3．
【分析】分式为零的条件“分子等于0，且分母不等于0”，据此列出混合组，求解即可．
11．（2024八下·锦江期末）如图，在正五边形中，连接，则的度数是　 　度．
【答案】36
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：36．
【分析】根据正多边形的各条边相等，各个内角都相等可得AB=BC=DE=AE，∠B=∠E=∠BAE==108°，然后根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠BAC=∠DAE=36°，最后根据角的构成，由∠CAD=∠BAE-∠BAC-∠DAE列式计算即可.
12．（2024八下·锦江期末）已知，一次函数的值随值的增大而减小，则常数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数中，值随值的增大而减少，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】由一次函数中，值随值的增大而减少，可得，求解即可得到答案．
13．（2024八下·锦江期末）如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由作图可知是的垂直平分线，
，CE=BE，
，
∴∠ADC=∠DCB+∠B=50°.
，CE=BE，
∴，
∴∠EAB=∠B=25°，
∴∠APC=∠EAB+∠ADC=25°+50°=75°.
故答案为：．
【分析】由作图可知，可得，继而可利用外角性质得∠ADC的度数；再根据直角三角形斜边上中线的性质可得AE=CE=BE，可得∠EAB=∠B=25°，再利用外角的性质即可得到答案．
14．（2024八下·锦江期末）（1）解方程：；
（2）解不等式组
【答案】解：（1）去分母得：，
去括号得：，
移项得：
合并得：，
当时，分母，
故是原分式方程的解；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可，注意检验；
（2）分别求出每一个不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集即可．
15．（2024八下·锦江期末）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形ABC，它的三个顶点都在格点上（网格线的交点）．
（1）以点为旋转中心，将旋转，得到，请画出；
（2）若点的坐标为，请直接写出点的坐标；
（3）过点作的平行线（点，在格点上，不与点重合）．
【答案】（1）解：如图，即为所求：
（2）
（3）如图，即为所求．
【知识点】点的坐标；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）根据点A的坐标可建立平面直角坐标系，如图所示：
则点的坐标为．
故答案为：；
【分析】（1）根据旋转的性质，连接AO并延长至点A1，使OA1=OA，同样的方法得到点B1，C1，再顺次连接即可得到△A1B1C1．
（2）根据点的坐标确定坐标原点，建立平面直角坐标系，即可得出答案．
（3）根据平移的性质，画图即可．
16．（2024八下·锦江期末）依法纳税是每个公民应尽的义务，自2018年10月1日起，个人所得税的起征点是5000元，具体税率如下表所示：
每月工资（元） 个人税率
不超过5000 免税
超过5000至不超过8000的部分
超过8000至不超过17000的部分
… …
（1）某电脑组装公司实行“基础工资计件工资”制，基础工资为每月3000元，每组装1台电脑10元．请直接写出纳税前月工资y（元）与组装电脑台数x之间的函数关系式；
（2）如果小王在6月份组装了电脑700台，那么小王6月份纳税后应领取工资多少元？
【答案】（1）解：根据题意得：，
纳税前月工资（元与组装电脑台数之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
小王6月份纳税前的工资为10000元，
小王6月份应纳税（元，
小王6月份纳税后应领取工资为（元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据“总工资基础工资计件工资”，即可列出函数解析式；
（2）先求出时小王的工资，然后根据税率表将小王的工资分为5000，3000，2000三部分，求出小王应纳的税款，再用总工资税款实发工资计算即可．
17．（2024八下·锦江期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，平分交于点，连接并延长交于．
（1）求证：；
（2）若，求的大小(用含的式子表示)：
（3）用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：点，分别是，的中点，
是△ABC的中位线，
，
，
平分∠ACG，
，
，
；
（2）解：是中点，
，
，
，，
∵∠EAF+∠EFA+∠EFC+∠ACF=∠EAF+∠AFC+∠ACF=180°，
，
，
∵∠FGC=α，
；
（3）解：由（2）可知，
∴.
由（1）可知DE是△ABC的中位线，
∴，
∴BC=2DE=2(DF+EF)=2DF+2EF=2DF+AC.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据中位线的判定定理，平行线的性质，以及角平分线的定义可得，
再根据等角对等边即可得到结论；
（2）由可推出，继而得∠FGC的度数，最后利用直角三角形两锐角互余即可得∠FCG的度数；
（3）由可得AC=2EF，由中位线定理可得BC=2DE=2(DF+EF)，等量代换即可得到结论.
18．（2024八下·锦江期末）如图1，在中，是对角线的中点，过点的直线分别与，交于点，，将四边形沿折叠得到四边形，点在上方，交线段于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，若，，，，求的长．
【答案】（1）证明：是对角线的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，∠AEO=∠CFO，
在和中，
，
，
，
将四边形沿折叠得到四边形，
，
；
（2）证明：连接HE，HF，记MN与AD相较于点P，NF与CD相交于点Q，如图所示：
四边形是平行四边形，
∴∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，AD=BC.
由（1）得：，
∴AE=CF，OE=OF.
∴AD－AE＝BC－CF，即ED=BF.
∵将四边形沿折叠得到四边形，
∴∠B=∠N，BF=NF，∠BAD=∠M，
∴∠D=∠N，ED=NF，∠M=∠BCD，
∵∠DHP=∠NHQ，
∴180°－∠D－∠DHP=180°－∠N－∠NHQ，即∠MPE=∠DPH=∠NQH=∠CQF.
由（1）得ME=FC，
∴△MEP≌△CFQ (AAS).
∴EP=FQ.
∴ED－EP=NF－FQ，即PD=QN.
∵∠D=∠N，∠DPH=∠NQH，
∴△DPH≌△NQH (ASA).
∴DH=NH，
∵∠D=∠N，ED=NF，
∴△DEH≌△NFH (SAS).
∴EH=FH.
∵OE=OF，
∴OH⊥EF.
（3）解：过点作HG⊥FG，交的延长线于G，如图所示：
，四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠N=∠HCG=∠B=60°，
，
，
，
，
，
，，
∴QC=FC=2，，
，
，
∴.
，
，
∵，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
由（2）得OH⊥EF，
，，
，
，
的长为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用AAS证明，可得AE=FC，根据折叠得EM=AE，等量代换即可证得结论；
（2）连接HE，HF，记MN与AD相较于点P，NF与CD相交于点Q，先利用平行四边形的性质和折叠的性质可证得∠D=∠N，ED=NF，∠M=∠BCD.于是可利用AAS证明EP=FQ，继而可得PD=QN.再利用ASA证明△DPH≌△NQH，可得DH=NH，最后利用SAS证明△DEH≌△NFH可得EH=FH，最后利用等腰三角形的性质即可得到结论；
（3）过点作HG⊥FG，交的延长线于G，先求得，可得∠BFN=150°，再利用折叠和平角的性质可得利用等腰三角形的判定和性质可得，，运用含角直角三角形的性质得NH的长，再由勾股定理可得QH长，继而可得HG的长；证明△HFG是等腰直角三角形，得出∠HFG=45°，继而可得∠HFO=60°，最后利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求得答案．
19．（2024八下·锦江期末）已知，，则代数式的值是　 　．
【答案】3
【知识点】分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，，，
.
故答案为：3．
【分析】先计算出，再整体代入，，即可得到答案．
20．（2024八下·锦江期末）如图，是的对角线，延长至，使，点是的中点，连接，．与相交于点，若是等边三角形，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，，∠B=∠D=60°.
∴，
∴△BCE为等边三角形，
∵AE=AB=2，
∴AC⊥BE，BC=BE=AB+AE=4，
.
点是的中点，
，
，
故答案为：．
【分析】由等边三角形的性质可得，，由平行四边形的性质，，∠B=∠D=60°.于是可证△BCE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得AC⊥BE，BC=BE=4，由勾股定理求得AC的长，继而可得的长．
21．（2024八下·锦江期末）已知关于x的不等式组有且仅有个整数解，关于的分式方程有增根，则不等式组的整数解是不等式的解的概率为　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；概率公式；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得：
解不等式②得：，
该不等式组有且仅有个整数解，
不等式组的解集为：，且整数解为，，，，
解得：.
关于的分式方程有增根，
，
解得，
不等式即为，
解得，
和是不等式的解，
不等式组的整数解是不等式的解的概率为．
故答案为：．
【分析】解一元一次不等式组的整数解，根据不等式组有且仅有个整数解，可得整数解为，，，；求解分式方程，根据分式方程有增根，可得；故为，解得，再根据概率公式计算即可.
22．（2024八下·锦江期末）如图，在中，，，．将沿射线平移得到，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，．在的平移过程中，的周长的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；轴对称的性质；平移的性质；旋转的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E，过点A'作A'F⊥ED于点F，如图所示：
∴∠E=∠C=90°，
∵AB饶点A逆时针旋转90°得到线段AD，
∴∠DAB=90°，，
∴∠EAD+∠EDA=90°=∠CAB+∠EAD，
∴∠EDA=∠CAB，
∴△EAD≌△CBA(AAS)，
∴EA=BC=3，ED=AC=2.
∵△ABC沿CB方向平移到△A'B'C'，
∴AA'//CC'，
∴∠EFA'=∠E=∠C=∠EAA'=90°，
∴四边形AA'FE是矩形，
∴A'F=AE=3，EF=AA'.
∵，
∴找到DA'+DB'的最小值，即可得到△A'B'D的周长.
∵点A'和点B'到直线ED的距离相等，点D为定点，
∴作点A'关于直线ED的对称点A''，连接DA''，B'A''，A'A''，如图所示：
则DA'+DB'=DA''+DB'，故点A''，D，B'三点共线时，有最小值，最小值为A''B'长.
∵A''F=A'F=3，
∴A''C'=A''F+FA'+F'C'=3+3+2=8，B'C'=BC=3，
∴.
∴.
故答案为：．
【分析】过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E，过点A'作A'F⊥ED于点F，证明△EAD≌△CBA，可得EA=BC=3，ED=AC=2.证明四边形AA'FE是矩形，可得A'F=AE=3，EF=AA'.由于可知找到AD'+DB'的最小值即可.再根据点D为顶点，点A'和点B'到直线ED的距离相等，作点A'关于直线ED的对称点A''，连接DA''，B'A''，A'A''，可知点A''，D，B'三点共线时，有最小值，最小值为A''B'长.利用勾股定理求出A''B'的长，即可得到结论.
23．（2024八下·锦江期末）定义：在平面直角坐标系中，如果直线上的点经过一次变换后得到点，那么称这次变换为“逆倍分变换”．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B．点P为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点与点P重合，则点P的坐标为　 　；点Q为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点，使得和的面积相等，则点Q的坐标为　 　．
【答案】；或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点P为直线 上一点，可设为，
为．
∵与重合，
．
．
．
∵直线与x轴、y轴分别相交于点A，B．
∴-A(2，0)，B(0，4).
∵和的面积相等，
∴点Q'与点O到直线AB的距离相等，故分别过原点O和点（4，0）过直线AB的平行线，如图所示：
所在直线为或直线上．
可设Q为(t，-2t+4)，则．
若点在上，
则，解得：，
.
若点在上，
则，解得：，
．
综上：或．
故答案为：；或．
【分析】依据题意，设为，可得为，根据与重合，建立关于t的方程并求解即可得到答案；根据和的面积相等，可得点Q'所在直线为或直线上．设Q为(t，-2t+4)，则．再分别把Q'的坐标代入和，求出点t的值，即可得到答案.
24．（2024八下·锦江期末）军事演习，简称军演，是在想定情况诱导下进行的近似实战的综合性训练，是军事训练的高级阶段．在一次军事演习中，某军队接到上级指令执行登岛计划，接到指令时，该军队的舰艇距离该小岛千米，舰艇距离该小岛千米，于是舰艇加速前进，速度是舰艇的倍，结果舰艇提前分钟到达，顺利完成了登岛任务．
（1）求舰艇，的速度；
（2）根据情况，每天要派一艘舰艇在小岛周围巡航，巡航需持续一个月(天)，已知舰艇，的巡航费用分别为万元天，万元天．
①求巡航总费用与舰艇的巡航天数之间的函数关系式；
②若舰艇巡航天数不能超过舰艇的倍，要使巡航的费用最少，舰艇A应巡航多少天？
【答案】（1）解：设舰艇的速度的速度为千米小时，则舰艇的速度的速度为千米小时，
根据题意得：，
解得，
经检验，x=60是分式方程的解，且符合题意；
∴，
答：舰艇的速度的速度为千米小时，则舰艇的速度的速度为千米小时；
（2）解：①根据题意得：舰艇巡航a天，则舰艇B巡航(30－a)天，
∴，
总费用与舰艇的巡航天数之间的函数关系式为；
②由题意得：
解得，
∵的一次项系数k=10>0，
随a的增大而增大，
当时，有最小值为，
答：舰艇应巡航天，巡航的费用最少．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设舰艇的速度的速度为千米小时，则舰艇的速度的速度为千米小时，根据题意得等量关系“航舰A的到达时间－航舰B的达到时间=10分钟”，据此列出方程，解方程即可，注意单位统一；
（2）①根据总费用和两种舰艇的费用之和列出函数解析式；
②根据舰艇巡航天数不能超过舰艇的倍，求出的取值范围，再根据函数的性质求最值即可．
25．（2024八下·锦江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，，点的坐标为．点是线段上一点，连接并延长至，使，连接．
（1）求直线的表达式；
（2）若是直角三角形，求点的坐标；
（3）若直线与的边有两个交点，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵，点的坐标为．∠BOA=90°，∴，
∴，
将，，代入
得，
解得：
∴直线的表达式为；
（2）解：过点D作DE⊥y轴于点E，如图所示：
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OBA=∠OAB=45°.
∵点是线段上一点，
∴，即C(m，-m+4).
∵ 连接并延长至，使，故点C为线段OD的中点，
∴点D(2m，﹣2m+8).
∵△BCD是直角三角形，
∴①∠DBC=90°，则∠DBE=180°－∠DBC－OBA=45°，
∴∠EDB=∠DBE，
∴ED=EB.
∵B(0，4)，
∴2m=﹣2m+8－4，解得：m=1，
∴C(1，3).
②∠DCB=90°，即OC⊥AB，
∴OC=BC=AC，
∵，，
∴；
综上所述，或；
（3）解：∵点是线段上一点，又直线的表达式为∴，，
∴
∴直线过定点，
由（2）得：点D(2m，﹣2m+8)，
当直线与的边有两个交点，
∴直线经过点时，则，
整理得：2m2=18，
解得：（舍去）或
又∵，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形；三角形的中位线定理；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据题意得出，将，，代入，即可求解．
（2）过点D作DE⊥y轴于点E，证得∠OBA=45°，根据题意可得C(m，-m+4)，D(2m，﹣2m+8).再分两种情况讨论，①当时，可得△BED是等腰直角三角形，利用ED=EB可得2m=﹣2m+8－4，可得m的值；②当，则则，根据中点坐标公式，即可求解；
（3）点是线段上一点，又直线的表达式为得出，，由（2）得，直线经过点时，得出，结合图象，即可求解．
26．（2024八下·锦江期末）如图，在下方的直线．
（1）P为直线上一动点，连接，．若，．
①如图1，求证：四边形是平行四边形；
②如图2，，，作于点，连接，若，求的长；
（2）如图3，，，作于点，连接，，若的面积始终为，求长的最大值．
【答案】（1）①证明：，
∴，，
，，
，，
，
四边形是平行四边形．
②解：过作于点，交于点，如图所示：
∵BD⊥MN于点D，AB//MN，
∴∠BDH=∠GHD=∠HGB=90°，
∴四边形是矩形，
∴GH=BD，GB=HD.
∵AC=2BC，设BC=x，则AC=2x，
，
根据等面积可得：，，
，
，
，
∵，即，
解得（舍负），
，，
．
（2）解：过作交于点，过A作交于点，如图所示：
∵∠ACB=90°，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
，
取中点，连接、，则，
在中，，
是直角三角形，是中点，
，
根据三角形三边关系可得，，．
最大值为.
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）①利用平行线的性质和等角转化可证出两组对边平行，即可得到结论；
②过作于点，交于点，可证明四边形是矩形，于是有GH=BD，GB=HD.设BC=x，根据题意和勾股定理可得AC，AB的长，根据等面积法和勾股定理得CG和GB的长，
根据平行四边形的性质可求得CH的长，最后利用勾股定理得，代入得关于x的方程并求解，即可解得PB的长.
（2）由前述思路可以构造一个矩形和一个直角三角形，再利用斜边中点构造三角形，最后用三边关系求最值即可．
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