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素养提升练(二)　波的图像与振动图像的综合问题　波的多解问题
1．图甲为一简谐横波在t＝2 s时的波形图，P是平衡位置在x1＝0.5 m处的质点，Q是平衡位置在x2＝4 m处的质点，图乙为质点Q的振动图像。下列说法正确的是(　　)
A．这列波沿x轴负方向传播
B．t＝2 s时，质点P的振动方向向上
C．质点Q做简谐运动的表达式为y＝0.4sin πt(m)
D．从t＝2 s到t＝3.5 s，质点Q通过的路程为 m
2．(多选)一质点沿y轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，在x轴方向形成机械波，t＝0时该质点的位移为－0.1 m，t＝1 s时该质点的位移为0.1 m，则(　　)
A．若振幅为0.1 m，机械波的周期可能为 s
B．若振幅为0.1 m，机械波的周期可能为 s
C．若振幅为0.2 m，机械波的周期可能为2 s
D．若振幅为0.2 m，机械波的周期可能为1.2 s
3．一列机械波在某一时刻的波形如实线所示，经过Δt时间的波形如虚线所示，已知波的传播速率为1 m/s，则下列四个数据中Δt的值不可能为(　　)
A．1 s　　B．8 s　　C．11 s　　D．15 s
4．(多选)一列简谐横波沿x轴传播，在t＝0.125 s时的波形如图甲所示，M、N、P、Q是介质中的四个质点，已知N、Q两质点平衡位置之间的距离为16 m，图乙为质点P的振动图像。下列说法正确的是(　　)
A．该波的波速为120 m/s
B．该波沿x轴负方向传播
C．质点P的平衡位置位于x＝3 m处
D．从t＝0.125 s开始，质点P比质点N早 s回到平衡位置
5．(多选)一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1 m和x2＝7 m处质点的振动图像分别如图1、图2所示，则此列波的传播速率可能是(　　)
A．7 m/s 　 B．2 m/s
C．1.2 m/s 　 D．1 m/s
6．(多选)如图所示，a、b是一列横波上的两个质点，它们在x轴上的距离s＝30 m，波沿x轴正方向传播。当a振动到最高点时，b恰好经过平衡位置向下振动，经过5 s波传播了30 m。下列判断正确的是(　　)
A．该波的波速一定是6 m/s
B．该波的周期一定是12 s
C．该波的波长可能是40 m
D．该波的波长可能为24 m
7．(多选)一列简谐横波在某介质中传播时经过a、b两点，a、b两点的平衡位置相距3 m。如图所示，实线表示a点的振动图像，虚线表示b点的振动图像。则(　　)
A．质点a的振动方程为y＝
B．质点b的振动方程为y＝2sin (5πt)cm
C．该波的传播速度可能为90 m/s
D．该波的传播速度可能为 m/s
8．一列沿x轴负方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形如图所示，质点振动的振幅为10 cm，P、Q两点的坐标分别为(－1 m，0)和(－9 m，0)，已知t＝0.7 s时，P点第二次出现波峰。
(1)这列波的传播速度为多大？
(2)从t＝0时刻起，经过多长时间Q点第一次出现波峰？
(3)当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程为多少？
9．如图所示为一列沿x轴传播的简谐横波，实线为t1＝0.5 s 时刻的波形图，虚线为t2＝1.5 s时刻的波形图，已知波的周期大于2 s。
(1)求简谐横波的波长和振动质点的振幅；
(2)判断波的传播方向，并求波的传播速度大小；
(3)写出x＝3 m处质点的振动方程。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)素养提升课(二)　波的图像与振动图像的综合问题波的多解问题
[学习目标]　1．理解波的图像与振动图像的意义及它们之间的关系。2．理解波的多解性，会分析波的综合问题。
　波的图像与振动图像的综合问题
1．振动图像与波的图像的比较
振动图像(y-t图像) 波的图像(y-x图像)
物理意义 某一质点的位移随时间变化的规律 某时刻所有质点振动的位移
图像
图像信息 直读 (1)周期T、振幅A (2)各时刻该质点的位移 (1)波长λ、振幅A (2)任意一质点在该时刻的位移
判断 各时刻速度、加速度方向 (1)任意一质点在该时刻加速度方向 (2)传播方向、振动方向的互判
图像 变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移
形象比喻 一个人在一段时间内活动的“录像” 一群人在某时刻动作的“拍照”
2．三步求解波的图像与振动图像的综合问题
【典例1】　(质点振动图像分析波的图像)(多选)一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点的振动图像如图所示。当t＝7 s时，简谐波的波形图可能正确的是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
[听课记录]　_________________________________________________________
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　分析波的图像与振动图像的综合问题，主要掌握两点：
(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速。
(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向。
注意：波的图像对应的时刻不一定是振动图像中t＝0时刻。
【典例2】　(波的图像与振动图像的综合问题)“重”情七运会，“合”你共精彩，2024年9月20日，重庆市第七届运动会开幕式在合川区体育中心如期举行，众多文体节目轮番呈现在观众面前；在现场的观众自发玩起了“人浪”游戏。人浪可简化为沿x轴方向传播的简谐横波，图甲为t＝1 s时的波形图，此时质点P在平衡位置，质点Q在波谷位置，图乙为质点P的振动图像，则(　　)
A．该波沿x轴负方向传播
B．该波传播速度为9 m/s
C．t＝0.7 s时，质点P的加速度正在增大
D．t＝2.4 s时，质点Q的振动方向沿y轴负方向
[听课记录]　_________________________________________________________
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　波的多解问题
1．造成波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形图完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。
②空间周期性：沿波的传播方向，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解。
(2)双向性
对给定的波形图，波的传播方向不同，质点的振动方向也不同，反之亦然。
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．解决波动的多解问题的方法
(1)解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上再加上时间nT，或找到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离nλ。
(2)解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯。
【典例3】　(人教版P69例题改编)(波传播的周期性带来多解)下图中的实线是一列正弦波在某一时刻的波形图。经过0.5 s后，其波形如图中虚线所示。
(1)如果波是向左传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？
(2)如果波是向右传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？
[听课记录]　_________________________________________________________
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【典例4】　(波传播的双向性带来多解)一列简谐横波沿x轴传播，如图所示，实线为t1＝2 s 时的波形图，虚线为t2＝5 s时的波形图。则关于x＝0处的质点的振动图像，下列说法中正确的是(　　)
A．若波沿x轴正方向传播，图像可能为
B．若波沿x轴正方向传播，图像可能为
C．若波沿x轴负方向传播，图像可能为
D．若波沿x轴负方向传播，图像可能为
[听课记录]　_________________________________________________________
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　解决波的多解问题的一般思路
(1)首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波的传播方向的可能性进行讨论。
(2)对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后在此基础上加nT(或nλ)。
(3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等，所以解题时应综合考虑。
【典例5】　(波形的隐含性造成的多解)如图所示，一列振幅为10 cm的简谐横波，其传播方向上有两个质点P和Q，两者的平衡位置相距3 m。某时刻两质点均在平衡位置且二者之间只有一个波谷，再经过0.3 s，Q第一次到达波峰。则下列说法不正确的是(　　)
A．波长可能为2 m
B．周期可能为0.24 s
C．波速可能为15 m/s
D．0.3 s内质点P的位移大小为10 cm
[听课记录]　_________________________________________________________
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)素养提升练(二)
1．D　[由题图乙可知，在t＝2 s时，质点Q沿着y轴负方向运动，根据“同侧法”可知，波沿x轴正方向传播，A错误；根据“同侧法”可知，t＝2 s时，质点P的振动方向向下，故B错误；由题图乙可知，质点Q做简谐运动的表达式为y＝A sin t＝0.4sin t(m)，C错误；t＝3.5 s时，质点Q的位移yQ＝0.4sin t(m)＝－ m，故从t＝2 s到t＝3.5 s，质点Q通过的路程为s＝2A－|yQ|＝ m，D正确。故选D。]
2．BCD　[若振幅为0.1 m，则有Δt＝T(n＝0，1，2，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝2时，机械波的周期为 s，不可能为 s，故A错误，B正确；若振幅为0.2 m，则有Δt＝＋nT或Δt＝T＋nT或Δt＝＋nT(n＝0，1，2，…)，得T＝ s或 s或 s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，机械波的周期可能为1.2 s或2 s，故C、D正确。故选BCD。]
3．B　[波的周期T＝ s＝4 s，若波向右传播，则Δt＝nT＋＝(4n＋1) s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，Δt＝1 s；若波向左传播，则Δt＝nT＋＝(4n＋3) s，当n＝2时，Δt＝11 s，当n＝3时，Δt＝15 s，则Δt的值不可能为8 s。故选B。]
4．ABD　[设该波的波长为λ，根据三角函数知识可知，N、Q两质点平衡位置间的距离为x＝·λ＝16 m，解得λ＝24 m，由题图乙可知该波的周期为T＝0.2 s，所以该波的波速为v＝＝120 m/s，故A正确；由题图乙可知，t＝0.125 s时刻，质点P沿y轴负方向运动，此时P应位于波传播方向波形的上坡，所以该波沿x轴负方向传播，故B正确；由题图乙可知，在t＝0.125 s之后，质点P第一次位于波峰的时刻为t＝0.25 s，易知此波峰是t＝0.125 s时刻质点Q所在处的波峰传播过来的，所以有＝0.25 s－0.125 s，解得xP＝1 m，故C错误；根据以上分析可知，N、P两质点间距为x′＝1 m，又因为波向左传播，所以质点P比质点N早回到平衡位置，时间间隔为Δt＝ s，故D正确。 故选ABD。]
5．BC　[由题图可知该波的传播周期T＝4 s，当该列波向右传播时，根据题干可知两质点之间的距离满足的关系为6 m＝nλ＋λ(n＝0，1，2，…)，则由v＝可得波速为v＝ m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝1时，可得v＝1.2 m/s；当波向左传播时，两质点之间的距离关系满足6 m＝nλ＋λ(n＝0，1，2，…)，则v＝ m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，可得v＝2 m/s；将A和D选项代入两个波速表达式，n均不是整数，因此A、D错误，B、C正确。]
6．AC　[该波经过5 s，传播了30 m，则波速v＝＝6 m/s，选项A正确；由题意可知nλ＋λ＝30 m(n＝0，1，2，…)，可得波长λ＝ m(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，λ＝40 m，当λ＝24 m时，n不是整数，选项C正确，D错误；周期T＝ m/s(n＝0，1，2，…)，则该波的周期不可能是12 s，选项B错误。]
7．BCD　[由题图知该波的周期为T＝0.4 s，振幅A＝2 cm，则圆频率ω＝＝5π rad/s，可得质点b的振动方程为y＝2sin (5πt)cm，质点a的振动方程为y＝选项A错误，B正确；分析质点a的振动方程，当t＝ s＝时，y＝2 cm，而对质点b，当t＝0.1 s＝时，y＝2 cm，结合波的周期性可知，若波由质点a向质点b传播，则xab＝＋nλ(n＝0，1，2，…)，可得波速为v＝ m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，v＝90 m/s；若波由质点b向质点a传播，则xab＝＋nλ(n＝0，1，2，…)，可得波速为v＝ m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝1时，v＝ m/s，选项C、D正确。]
8．解析：(1)由题意可知该波的波长为λ＝4 m
P点与最近波峰的水平距离为3 m，距离下一个波峰的水平距离为s＝7 m，所以v＝＝10 m/s。
(2)Q点与最近波峰的水平距离为s1＝11 m
故Q点第一次出现波峰的时间为t1＝＝1.1 s。
(3)该波中各质点振动的周期为T＝＝0.4 s
Q点第一次出现波峰时P点振动了
t2＝0.9 s＝2T＋
质点P从平衡位置开始每振动经过的路程为 10 cm，当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程s′＝9A＝90 cm＝0.9 m。
答案：(1)10 m/s　(2)1.1 s　(3)0.9 m
9．解析：(1)根据题图可知简谐横波的波长为12 m，振幅为2 cm。
(2)若波向左传播，则传播的距离为x＝(12n＋8)m(n＝0，1，2，…)
又因为nT＋T＝t2－t1(n＝0，1，2，…)
即T＝ s(n＝0，1，2，…)
因周期T>2 s，可知周期无解，故波向右传播，且传播的距离为
x＝(12n＋4) m(n＝0，1，2，…)
又因为nT＋T＝t2－t1(n＝0，1，2，…)
即T＝ s(n＝0，1，2，…)
因周期T>2 s，可知T＝3 s
则波速v＝＝4 m/s。
(3)设x＝3 m处质点的振动方程为y＝A sin ，其中
当t＝0.5 s时，y＝0且向上振动，代入数据可知φ＝－
故该质点的振动方程为y＝2sin cm。
答案：(1)12 m　2 cm　(2)波向右传播　4 m/s
(3)y＝2sin cm(共51张PPT)
第三章 机械波
素养提升课(二)　波的图像与振动图像的综合问题　波的多解问题
[学习目标]　1．理解波的图像与振动图像的意义及它们之间的关系。2．理解波的多解性，会分析波的综合问题。
探究重构·关键能力达成
探究1　波的图像与振动图像的综合问题
1．振动图像与波的图像的比较
振动图像(y-t图像) 波的图像(y-x图像)
物理意义 某一质点的位移随时间变化的规律 某时刻所有质点振动的位移
图像
振动图像(y-t图像) 波的图像(y-x图像)
图像信息 直读 (1)周期T、振幅A
(2)各时刻该质点的位移 (1)波长λ、振幅A
(2)任意一质点在该时刻的位移
判断 各时刻速度、加速度方向 (1)任意一质点在该时刻加速度方向
(2)传播方向、振动方向的互判
振动图像(y-t图像) 波的图像(y-x图像)
图像变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移
形象比喻 一个人在一段时间内活动的“录像” 一群人在某时刻动作的“拍照”
2．三步求解波的图像与振动图像的综合问题
【典例1】　(质点振动图像分析波的图像)(多选)一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点的振动图像如图所示。当t＝7 s时，简谐波的波形图可能正确的是(　　)
√
√
规律方法　分析波的图像与振动图像的综合问题，主要掌握两点：
(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速。
(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向。
注意：波的图像对应的时刻不一定是振动图像中t＝0时刻。
【教用·备选例题】　(源自鲁科版教材)图(a)是一列简谐横波在t＝2 s时的图像，图(b)是这列波中质点P的振动图像，求该波的传播速度和传播方向。
[答案]　50 cm/s　x轴负方向
【典例2】　(波的图像与振动图像的综合问题)“重”情七运会，“合”你共精彩，2024年9月20日，重庆市第七届运动会开幕式在合川区体育中心如期举行，众多文体节目轮番呈现在观众面前；在现场的观众自发玩起了“人浪”游戏。人浪可简化为沿x轴方向传播的简谐横波，图甲为t＝1 s时的波形图，此时质点P在平衡位置，质点Q在波谷位置，图乙为质点P的振动图像，则(　　)
A．该波沿x轴负方向传播
B．该波传播速度为9 m/s
C．t＝0.7 s时，质点P的加速度正在增大
D．t＝2.4 s时，质点Q的振动方向沿y轴负方向
√
探究2　波的多解问题
1．造成波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形图完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。
②空间周期性：沿波的传播方向，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解。
(2)双向性
对给定的波形图，波的传播方向不同，质点的振动方向也不同，反之亦然。
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．解决波动的多解问题的方法
(1)解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上再加上时间nT，或找到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离nλ。
(2)解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯。
【典例3】　(人教版P69例题改编)(波传播的周期性带来多解)下图中的实线是一列正弦波在某一时刻的波形图。经过0.5 s后，其波形如图中虚线所示。
(1)如果波是向左传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？
(2)如果波是向右传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？
[答案]　见解析
【教用·备选例题】　(多选)一列简谐横波沿x轴传播，如图所示，实线为t1＝2 s时的波形图，虚线为t2＝5 s时的波形图。以下关于平衡位置在O处的质点的振动图像，可能正确的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
√
√
【典例4】　(波传播的双向性带来多解)一列简谐横波沿x轴传播，如图所示，实线为t1＝2 s 时的波形图，虚线为t2＝5 s时的波形图。则关于x＝0处的质点的振动图像，下列说法中正确的是(　　)
A．若波沿x轴正方向传播，图像可能为
B．若波沿x轴正方向传播，图像可能为
√
C．若波沿x轴负方向传播，图像可能为
D．若波沿x轴负方向传播，图像可能为
规律方法　解决波的多解问题的一般思路
(1)首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波的传播方向的可能性进行讨论。
(2)对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后在此基础上加nT(或nλ)。
(3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等，所以解题时应综合考虑。
【典例5】　(波形的隐含性造成的多解)如图所示，一列振幅为10 cm的简谐横波，其传播方向上有两个质点P和Q，两者的平衡位置相距
3 m。某时刻两质点均在平衡位置且二者之间只有一个波谷，再经过0.3 s，Q第一次到达波峰。则下列说法不正确的是(　　)
A．波长可能为2 m
B．周期可能为0.24 s
C．波速可能为15 m/s
D．0.3 s内质点P的位移大小为10 cm
√
B　[根据题意，P、Q之间的波形图可能有如图所示的几种情况。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
素养提升练(二)　波的图像与振动图像的综合问题　
波的多解问题
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
题号
1
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6
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√
√
√
题号
1
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题号
1
3
5
2
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9
3．一列机械波在某一时刻的波形如实线所示，经过Δt时间的波形如虚线所示，已知波的传播速率为1 m/s，则下列四个数据中Δt的值不可能为(　　)

A．1 s　　B．8 s　　C．11 s　　D．15 s
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
题号
1
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√
√
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题号
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题号
1
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题号
1
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5．(多选)一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1 m和x2＝7 m处质点的振动图像分别如图1、图2所示，则此列波的传播速率可能是(　　)
A．7 m/s 　 B．2 m/s
C．1.2 m/s 　 D．1 m/s
√
√
题号
1
3
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8
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9
题号
1
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6．(多选)如图所示，a、b是一列横波上的两个质点，它们在x轴上的距离s＝30 m，波沿x轴正方向传播。当a振动到最高点时，b恰好经过平衡位置向下振动，经过5 s波传播了30 m。下列判断正确的是(　　)
A．该波的波速一定是6 m/s
B．该波的周期一定是12 s
C．该波的波长可能是40 m
D．该波的波长可能为24 m
√
√
题号
1
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2
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题号
1
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5
2
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√
√
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题号
1
3
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2
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题号
1
3
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8．一列沿x轴负方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形如图所示，质点振动的振幅为10 cm，P、Q两点的坐标分别为(－1 m，0)和(－9 m，0)，已知t＝0.7 s时，P点第二次出现波峰。
(1)这列波的传播速度为多大？
(2)从t＝0时刻起，经过多长时间Q点第一次出现波峰？
(3)当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程为多少？
题号
1
3
5
2
4
6
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9
题号
1
3
5
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4
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8
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9
[答案]　(1)10 m/s　(2)1.1 s　(3)0.9 m
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
9．如图所示为一列沿x轴传播的简谐横波，实线为t1＝0.5 s 时刻的波形图，虚线为t2＝1.5 s时刻的波形图，已知波的周期大于2 s。
(1)求简谐横波的波长和振动质点的振幅；
(2)判断波的传播方向，并求波的传播速度大小；
(3)写出x＝3 m处质点的振动方程。
题号
1
3
5
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4
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题号
1
3
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4
6
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9素养提升课(二)　波的图像与振动图像的综合问题波的多解问题
[学习目标]　1．理解波的图像与振动图像的意义及它们之间的关系。2．理解波的多解性，会分析波的综合问题。
　波的图像与振动图像的综合问题
1．振动图像与波的图像的比较
振动图像(y-t图像) 波的图像(y-x图像)
物理意义 某一质点的位移随时间变化的规律 某时刻所有质点振动的位移
图像
图像信息 直读 (1)周期T、振幅A (2)各时刻该质点的位移 (1)波长λ、振幅A (2)任意一质点在该时刻的位移
判断 各时刻速度、加速度方向 (1)任意一质点在该时刻加速度方向 (2)传播方向、振动方向的互判
图像 变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移
形象比喻 一个人在一段时间内活动的“录像” 一群人在某时刻动作的“拍照”
2．三步求解波的图像与振动图像的综合问题
【典例1】　(质点振动图像分析波的图像)(多选)一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点的振动图像如图所示。当t＝7 s时，简谐波的波形图可能正确的是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
AC　[由O点的振动图像可知，周期为T＝12 s，设原点处的质点的振动方程为y＝A sin ，则10＝20sin φ，解得φ＝。当t＝7 s时，y7＝ cm≈－17.3 cm。因7 s＝T，则在t＝7 s时，质点在y轴负方向向下振动，根据“同侧法”可判断若波向右传播，则波形如选项C所示；若波向左传播，则波形如选项A所示。故选AC。]
　分析波的图像与振动图像的综合问题，主要掌握两点：
(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速。
(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向。
注意：波的图像对应的时刻不一定是振动图像中t＝0时刻。
【教用·备选例题】　(源自鲁科版教材)图(a)是一列简谐横波在t＝2 s时的图像，图(b)是这列波中质点P的振动图像，求该波的传播速度和传播方向。
[解析]　由题图(a)可知，这列波的波长λ＝100 cm；由题图(b)可知，这列波的周期T＝2 s
根据公式v＝
可得波速v＝50 cm/s
由题图(b)可知，质点P在t＝2 s时向上运动，故这列波沿x轴负方向传播。
[答案]　50 cm/s　x轴负方向
【典例2】　(波的图像与振动图像的综合问题)“重”情七运会，“合”你共精彩，2024年9月20日，重庆市第七届运动会开幕式在合川区体育中心如期举行，众多文体节目轮番呈现在观众面前；在现场的观众自发玩起了“人浪”游戏。人浪可简化为沿x轴方向传播的简谐横波，图甲为t＝1 s时的波形图，此时质点P在平衡位置，质点Q在波谷位置，图乙为质点P的振动图像，则(　　)
A．该波沿x轴负方向传播
B．该波传播速度为9 m/s
C．t＝0.7 s时，质点P的加速度正在增大
D．t＝2.4 s时，质点Q的振动方向沿y轴负方向
D　[由题图乙可知t＝1 s时，质点P向y轴正方向运动，结合题图甲可知该波沿x轴正方向传播，故A错误；由题图甲可知，波长为λ＝6 m，由题图乙可知，周期为T＝2.0 s，则该波传播速度v＝＝3 m/s，故B错误；由题图乙可知t＝0.7 s时，质点P从负向位移向平衡位置靠近，加速度正在减小，故C错误；由Δt＝2.4 s－1 s＝1.4 s，则T<Δt　波的多解问题
1．造成波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形图完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。
②空间周期性：沿波的传播方向，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解。
(2)双向性
对给定的波形图，波的传播方向不同，质点的振动方向也不同，反之亦然。
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．解决波动的多解问题的方法
(1)解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上再加上时间nT，或找到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离nλ。
(2)解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯。
【典例3】　(人教版P69例题改编)(波传播的周期性带来多解)下图中的实线是一列正弦波在某一时刻的波形图。经过0.5 s后，其波形如图中虚线所示。
(1)如果波是向左传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？
(2)如果波是向右传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？
[解析]　(1)若波向左传播，则
0.5 s＝T(n＝0，1，2，…)
即T＝ s(n＝0，1，2，…)
由v＝得v＝ m/s＝ m/s(n＝0，1，2，…)。
(2)若波向右传播，则0.5 s＝T(n＝0，1，2，…)
即T＝ s(n＝0，1，2，…)
由v＝得v＝ m/s＝ m/s(n＝0，1，2，…)。
[答案]　见解析
【教用·备选例题】　(多选)一列简谐横波沿x轴传播，如图所示，实线为t1＝2 s时的波形图，虚线为t2＝5 s时的波形图。以下关于平衡位置在O处的质点的振动图像，可能正确的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
AC　[机械波的传播方向不确定，所以需要考虑机械波传播方向的不确定性。若机械波沿x轴正方向传播，则在t1＝2 s时，O点振动方向竖直向上，则传播时间Δt＝t2－t1＝3 s满足Δt＝＋nT(n＝0，1，2，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，解得周期T＝4 s，A正确，B错误；若机械波沿x轴负方向传播，在t2＝5 s时，O点处于波谷，则Δt＝T＋nT(n＝0，1，2，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，解得周期T＝12 s，C正确，D错误。故选AC。]
【典例4】　(波传播的双向性带来多解)一列简谐横波沿x轴传播，如图所示，实线为t1＝2 s 时的波形图，虚线为t2＝5 s时的波形图。则关于x＝0处的质点的振动图像，下列说法中正确的是(　　)
A．若波沿x轴正方向传播，图像可能为
B．若波沿x轴正方向传播，图像可能为
C．若波沿x轴负方向传播，图像可能为
D．若波沿x轴负方向传播，图像可能为
A　[若波沿x轴正方向传播，则T＋nT(n＝0，1，2，…)＝t2－t1＝3 s，可得周期为T＝ s(n＝0，1，2，3，…)，根据“同侧法”可知，x＝0处的质点在t1＝2 s时从平衡位置向y轴正方向振动，故A正确，B错误；若波沿x轴负方向传播，则T＋nT(n＝0，1，2，…)＝t2－t1＝3 s，可得周期为T＝ s(n＝0，1，2，…)，根据“同侧法”可知，x＝0处的质点在t1＝2 s时从平衡位置向y轴负方向振动，故C、D错误。故选A。]
　解决波的多解问题的一般思路
(1)首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波的传播方向的可能性进行讨论。
(2)对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后在此基础上加nT(或nλ)。
(3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等，所以解题时应综合考虑。
【典例5】　(波形的隐含性造成的多解)如图所示，一列振幅为10 cm的简谐横波，其传播方向上有两个质点P和Q，两者的平衡位置相距3 m。某时刻两质点均在平衡位置且二者之间只有一个波谷，再经过0.3 s，Q第一次到达波峰。则下列说法不正确的是(　　)
A．波长可能为2 m
B．周期可能为0.24 s
C．波速可能为15 m/s
D．0.3 s内质点P的位移大小为10 cm
B　[根据题意，P、Q之间的波形图可能有如图所示的几种情况。
当P、Q之间有一个波谷两个波峰时，如图3，则有＝3 m，解得λ＝2 m，故A正确，不符合题意；根据波形图，由于波的传播方向的不同，质点Q第一次到达波峰经历的时间可能为T＝0.3 s或T＝0.3 s，解得T＝1.2 s或T＝0.4 s，故B错误，符合题意；图1、2、3、4的波长分别为λ1＝λ2＝3 m、λ3＝2 m、λ4＝6 m，当周期为1.2 s时，根据周期与波速之间的关系v＝，可得v1＝v2＝2.5 m/s，v3＝ m/s，v4＝5 m/s，当周期为0.4 s时，可得波速为 v1′＝v2′＝7.5 m/s，v3′＝5 m/s，v4′＝15 m/s, 故C正确，不符合题意；经过0.3 s，当质点Q到达波峰时，图1、2中质点P到达波峰，图3中质点P到达波谷，图4中质点P到达波谷，因此0.3 s内质点P的位移大小为10 cm，故D正确，不符合题意。故选B。]
素养提升练(二)　波的图像与振动图像的综合问题　波的多解问题
1．图甲为一简谐横波在t＝2 s时的波形图，P是平衡位置在x1＝0.5 m处的质点，Q是平衡位置在x2＝4 m处的质点，图乙为质点Q的振动图像。下列说法正确的是(　　)
A．这列波沿x轴负方向传播
B．t＝2 s时，质点P的振动方向向上
C．质点Q做简谐运动的表达式为y＝0.4sin πt(m)
D．从t＝2 s到t＝3.5 s，质点Q通过的路程为 m
D　[由题图乙可知，在t＝2 s时，质点Q沿着y轴负方向运动，根据“同侧法”可知，波沿x轴正方向传播，A错误；根据“同侧法”可知，t＝2 s时，质点P的振动方向向下，故B错误；由题图乙可知，质点Q做简谐运动的表达式为y＝A sin t＝0.4sin t(m)，C错误；t＝3.5 s时，质点Q的位移yQ＝0.4sin t(m)＝－ m，故从t＝2 s到t＝3.5 s，质点Q通过的路程为s＝2A－|yQ|＝D正确。故选D。]
2．(多选)一质点沿y轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，在x轴方向形成机械波，t＝0时该质点的位移为－0.1 m，t＝1 s时该质点的位移为0.1 m，则(　　)
A．若振幅为0.1 m，机械波的周期可能为 s
B．若振幅为0.1 m，机械波的周期可能为 s
C．若振幅为0.2 m，机械波的周期可能为2 s
D．若振幅为0.2 m，机械波的周期可能为1.2 s
BCD　[若振幅为0.1 m，则有Δt＝T(n＝0，1，2，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝2时，机械波的周期为 s，不可能为 s，故A错误，B正确；若振幅为0.2 m，则有Δt＝＋nT或Δt＝T＋nT或Δt＝＋nT(n＝0，1，2，…)，得T＝ s或 s或 s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，机械波的周期可能为1.2 s或2 s，故C、D正确。故选BCD。]
3．一列机械波在某一时刻的波形如实线所示，经过Δt时间的波形如虚线所示，已知波的传播速率为1 m/s，则下列四个数据中Δt的值不可能为(　　)
A．1 s　　B．8 s　　C．11 s　　D．15 s
B　[波的周期T＝ s＝4 s，若波向右传播，则Δt＝nT＋＝(4n＋1) s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，Δt＝1 s；若波向左传播，则Δt＝nT＋＝(4n＋3) s，当n＝2时，Δt＝11 s，当n＝3时，Δt＝15 s，则Δt的值不可能为8 s。故选B。]
4．(多选)一列简谐横波沿x轴传播，在t＝0.125 s时的波形如图甲所示，M、N、P、Q是介质中的四个质点，已知N、Q两质点平衡位置之间的距离为16 m，图乙为质点P的振动图像。下列说法正确的是(　　)
A．该波的波速为120 m/s
B．该波沿x轴负方向传播
C．质点P的平衡位置位于x＝3 m处
D．从t＝0.125 s开始，质点P比质点N早 s回到平衡位置
ABD　[设该波的波长为λ，根据三角函数知识可知，N、Q两质点平衡位置间的距离为x＝·λ＝16 m，解得λ＝24 m，由题图乙可知该波的周期为T＝0.2 s，所以该波的波速为v＝＝120 m/s，故A正确；由题图乙可知，t＝0.125 s时刻，质点P沿y轴负方向运动，此时P应位于波传播方向波形的上坡，所以该波沿x轴负方向传播，故B正确；由题图乙可知，在t＝0.125 s之后，质点P第一次位于波峰的时刻为t＝0.25 s，易知此波峰是t＝0.125 s时刻质点Q所在处的波峰传播过来的，所以有＝0.25 s－0.125 s，解得xP＝1 m，故C错误；根据以上分析可知，N、P两质点间距为x′＝1 m，又因为波向左传播，所以质点P比质点N早回到平衡位置，时间间隔为Δt＝ s，故D正确。故选ABD。]
5．(多选)一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1 m和x2＝7 m处质点的振动图像分别如图1、图2所示，则此列波的传播速率可能是(　　)
A．7 m/s 　 B．2 m/s
C．1.2 m/s 　 D．1 m/s
BC　[由题图可知该波的传播周期T＝4 s，当该列波向右传播时，根据题干可知两质点之间的距离满足的关系为6 m＝nλ＋λ(n＝0，1，2，…)，则由v＝可得波速为v＝ m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝1时，可得v＝1.2 m/s；当波向左传播时，两质点之间的距离关系满足6 m＝nλ＋λ(n＝0，1，2，…)，则v＝ m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，可得v＝2 m/s；将A和D选项代入两个波速表达式，n均不是整数，因此A、D错误，B、C正确。]
6．(多选)如图所示，a、b是一列横波上的两个质点，它们在x轴上的距离s＝30 m，波沿x轴正方向传播。当a振动到最高点时，b恰好经过平衡位置向下振动，经过5 s波传播了30 m。下列判断正确的是(　　)
A．该波的波速一定是6 m/s
B．该波的周期一定是12 s
C．该波的波长可能是40 m
D．该波的波长可能为24 m
AC　[该波经过5 s，传播了30 m，则波速v＝＝6 m/s，选项A正确；由题意可知nλ＋λ＝30 m(n＝0，1，2，…)，可得波长λ＝ m(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，λ＝40 m，当λ＝24 m时，n不是整数，选项C正确，D错误；周期T＝ m/s(n＝0，1，2，…)，则该波的周期不可能是12 s，选项B错误。]
7．(多选)一列简谐横波在某介质中传播时经过a、b两点，a、b两点的平衡位置相距3 m。如图所示，实线表示a点的振动图像，虚线表示b点的振动图像。则(　　)
A．质点a的振动方程为y＝
B．质点b的振动方程为y＝2sin (5πt)cm
C．该波的传播速度可能为90 m/s
D．该波的传播速度可能为 m/s
BCD　[由题图知该波的周期为T＝0.4 s，振幅A＝2 cm，则圆频率ω＝＝5π rad/s，可得质点b的振动方程为y＝2sin (5πt)cm，质点a的振动方程为y＝选项A错误，B正确；分析质点a的振动方程，当t＝ s＝时，y＝2 cm，而对质点b，当t＝0.1 s＝时，y＝2 cm，结合波的周期性可知，若波由质点a向质点b传播，则xab＝＋nλ(n＝0，1，2，…)，可得波速为v＝ m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，v＝90 m/s；若波由质点b向质点a传播，则xab＝＋nλ(n＝0，1，2，…)，可得波速为v＝ m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝1时，v＝ m/s，选项C、D正确。]
8．一列沿x轴负方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形如图所示，质点振动的振幅为10 cm，P、Q两点的坐标分别为(－1 m，0)和(－9 m，0)，已知t＝0.7 s时，P点第二次出现波峰。
(1)这列波的传播速度为多大？
(2)从t＝0时刻起，经过多长时间Q点第一次出现波峰？
(3)当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程为多少？
[解析]　(1)由题意可知该波的波长为λ＝4 m
P点与最近波峰的水平距离为3 m，距离下一个波峰的水平距离为s＝7 m，所以v＝＝10 m/s。
(2)Q点与最近波峰的水平距离为s1＝11 m
故Q点第一次出现波峰的时间为t1＝＝1.1 s。
(3)该波中各质点振动的周期为T＝＝0.4 s
Q点第一次出现波峰时P点振动了
t2＝0.9 s＝2T＋
质点P从平衡位置开始每振动经过的路程为
10 cm, 当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程s′＝9A＝90 cm＝0.9 m。
[答案]　(1)10 m/s　(2)1.1 s　(3)0.9 m
9．如图所示为一列沿x轴传播的简谐横波，实线为t1＝0.5 s 时刻的波形图，虚线为t2＝1.5 s时刻的波形图，已知波的周期大于2 s。
(1)求简谐横波的波长和振动质点的振幅；
(2)判断波的传播方向，并求波的传播速度大小；
(3)写出x＝3 m处质点的振动方程。
[解析]　(1)根据题图可知简谐横波的波长为12 m，振幅为2 cm。
(2)若波向左传播，则传播的距离为x＝(12n＋8)m(n＝0，1，2，…)
又因为nT＋T＝t2－t1(n＝0，1，2，…)
即T＝ s(n＝0，1，2，…)
因周期T >2 s，可知周期无解，故波向右传播，且传播的距离为
x＝(12n＋4) m(n＝0，1，2，…)
又因为nT＋T＝t2－t1(n＝0，1，2，…)
即T＝ s(n＝0，1，2，…)
因周期T>2 s，可知T＝3 s
则波速v＝＝4 m/s。
(3)设x＝3 m处质点的振动方程为y＝A sin ，其中
当t＝0.5 s时，y＝0且向上振动，代入数据可知φ＝－
故该质点的振动方程为y＝2sin cm。
[答案]　(1)12 m　2 cm　(2)波向右传播　4 m/s
(3)y＝2sin cm
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