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3．简谐运动的回复力和能量
[学习目标]　1．会分析弹簧振子的受力情况，理解回复力的概念。2．认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。3．会用能量观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动中机械能守恒。
　简谐运动的回复力
【链接教材】　如人教版教材P43图所示，为水平方向的弹簧振子的振动过程示意图。
问题1　当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？
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问题2　使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
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【知识梳理】　
1．回复力
(1)定义：振动质点受到的总能使其回到__________的力。
(2)方向：指向__________。
(3)表达式：F＝________。
提醒：回复力是按照力的作用效果来命名的，分析物体的受力时，不分析回复力。
2．简谐运动
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成______，并且总是指向__________，物体的运动就是简谐运动。
【思考讨论】
问题1　下列均为简谐运动，小球受到的回复力的来源是什么？
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问题2　在F＝－kx中，对于k值，一定是弹簧的劲度系数吗？
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问题3　如图所示，倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面向下拉一段距离，然后松开。假设空气阻力可忽略不计，试证明小球的运动是简谐运动。
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【知识归纳】
1．对回复力的理解
(1)作用效果：使振动物体回到平衡位置。
(2)来源：回复力可能由某一个力提供，也可能由几个力的合力提供，还可能由某一个力的分力提供。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
(3)回复力是效果力：受力分析时只能分析物体所受的性质力，不能再“额外添加”回复力。
2．简谐运动的回复力的特点
(1)表达式：F＝－kx。
①大小：与振子的位移大小成正比。
②方向：“－”表示与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。
(2)表达式F＝－kx中的k指的是由振动系统本身决定的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数。
提醒：因x＝A sin (ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kA sin (ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
3．简谐运动的加速度的特点
根据牛顿第二定律得a＝＝－x。
(1)大小：与位移大小成正比。
(2)方向：与位移方向相反。
【典例1】　(回复力的理解和分析)(多选)如图所示，小球在光滑水平杆上的A、B两点之间做往复运动，O点是平衡位置，下列说法正确的是(　　)
A．小球在运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．小球在运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C．小球由A向O运动的过程中，回复力逐渐增大
D．小球由O向B运动的过程中，回复力的方向指向平衡位置
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【典例2】　(简谐运动的证明)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法不正确的是(　　)
A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供
B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供
C．物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k
D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则A、B间无相对滑动的最大振幅为
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　判断一个振动是否为简谐运动的方法
(1)运动学方法：对物体的位移分析，如果位移时间表达式满足x＝A sin (ωt＋φ)或x-t图像满足正(余)弦规律，即可判断为简谐运动。
(2)动力学方法：对物体进行受力分析，物体所受到的回复力满足F＝－kx，即可判断为简谐运动。
(3)加速度方法：根据牛顿第二定律或运动学知识，求解物体的加速度，如果满足a＝－k′x，即可判断为简谐运动。
　简谐运动的能量
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是______和______互相转化的过程。
(1)在最大位移处，______最大，______为零。
(2)在平衡位置处，______最大，______为零。
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能______，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种________的模型。
3．对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统，______越大，机械能越大。
【思考讨论】
问题　弹簧振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、速度、动能各物理量的关系如何？
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【知识归纳】
1．对简谐运动的能量的理解
决定因素 简谐运动的能量由振幅决定：对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，系统的机械能越大；振幅越小，振动越弱，系统的机械能越小
能量的获得 最初的能量来自外部，通过外力做功获得
能量的转化 系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒
理想化条件 (1)力的角度：简谐运动不考虑阻力 (2)能量转化角度：简谐运动不考虑因克服阻力做功引起的能量损耗
注意：(1)在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。
(2)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。
2．简谐运动中各物理量的变化规律
如图所示，振子以O点为平衡位置在A、B之间做简谐运动，各物理量的变化规律为：
物理量 运动过程
A →O O →B B →O O →A
位移 大小 减小 增大 减小 增大
方向 O →A O →B O →B O →A
回复力、加速度 大小 减小 增大 减小 增大
方向 A→O B→O B→O A→O
速度 大小 增大 减小 增大 减小
方向 A→O O →B B→O O →A
动能 增大 减小 增大 减小
势能 减小 增大 减小 增大
(1)通过上表可以看出：位移、回复力、加速度三者的大小同步变化，与速度大小的变化相反。
(2)通过上表可以看出两个转折点：
①平衡位置O点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点。
②最大位移处是速度方向变化的转折点。
如图所示为弹簧振子在振动过程中各个位置的动能、弹性势能随位置变化的图像。
如果没有能量损失，物体将永远振动下去。实际上任何物体的振动过程都不可避免有能量的损失，简谐运动只是一种理想情况。
【典例3】　(简谐运动的动力学分析)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A．该弹簧振子的周期为1.6 s，振幅为30 cm
B．该弹簧振子在t＝0.6 s时和t＝1.0 s时的速度不同
C．在t＝4 s时，该弹簧振子的加速度大小为零
D．在t＝0.6 s到t＝1.0 s的时间内，该弹簧振子的加速度和速度都逐渐减小
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【典例4】　(简谐运动中能量分析)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．小球在O位置时，动能最小，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功
D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断减小
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【典例5】　(简谐运动的综合问题分析)如图所示，与地面夹角为θ的光滑斜面顶端固定一垂直于斜面的挡板，劲度系数为k的轻弹簧一端固定一个质量为m的小物体，另一端固定在挡板上。物体在平行于斜面方向上的A、B两点间做简谐运动，当物体振动到最高点A时，弹簧正好为原长，则物体在向下振动过程中(　　)
A．物体的动能不断增大
B．物体在B点时受的弹力大小为2mg sin θ
C．物体在A、B两点的加速度相同
D．平衡位置处，弹簧的弹性势能和物体的重力势能总和最大
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．如图所示，能正确反映做简谐运动的物体所受回复力与位移关系的图像是(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　　D
2．(人教版P45T4改编)如图所示为某物体做简谐运动的图像，在0～1.5 s范围内下列说法正确的是(　　)
A．物体的周期为0.9 s，振幅是0.04 m
B．t＝0.6 s时，物体的速度方向沿＋x方向
C．t＝0.3 s到t＝0.5 s的时间内，物体的势能逐渐减小
D．t＝0.9 s到t＝1.1 s的时间内，物体的动能逐渐增大
3．如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，以向右为正方向，由图可知下列说法中正确的是(　　)
A．在t＝0.2 s时刻，弹簧振子运动到O位置
B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同
C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地减小
D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同
回归本节知识，完成以下问题：
1．简谐运动的回复力有什么特点？
2．对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由什么决定？
3．简谐运动的弹簧振子系统机械能是否守恒？
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第二章 机械振动
3．简谐运动的回复力和能量
[学习目标]　1．会分析弹簧振子的受力情况，理解回复力的概念。2．认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。3．会用能量观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动中机械能守恒。
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1　弹簧振子的小球从离开平衡位置向一侧运动时，速度如何变化？
问题2　是什么原因引起了小球速度的变化？
问题3　小球从最大位移处向平衡位置运动时，小球所受的力是如何变化的？这个力起了什么作用？
探究重构·关键能力达成
【链接教材】　如人教版教材P43图所示，为水平方向的弹簧振子的振动过程示意图。
知识点一　简谐运动的回复力
问题1　当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？
提示：弹簧的弹力使振子回到平衡位置。
问题2　使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
提示：弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
【知识梳理】　
1．回复力
(1)定义：振动质点受到的总能使其回到__________的力。
(2)方向：指向__________。
(3)表达式：F＝______。
提醒：回复力是按照力的作用效果来命名的，分析物体的受力时，不分析回复力。
平衡位置
平衡位置
－kx
2．简谐运动
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成______，并且总是指向__________，物体的运动就是简谐运动。
正比
平衡位置
【思考讨论】
问题1　下列均为简谐运动，小球受到的回复力的来源是什么？
提示：(1)竖直方向的弹簧振子弹力和重力的合力提供回复力。
(2)两个弹簧的弹力之和提供回复力。
(3)重力沿切线方向的分力提供回复力。
综上所述，回复力的来源可能是某一个力，可能是几个力的合力，也可能是某一个力的分力。
问题2　在F＝－kx中，对于k值，一定是弹簧的劲度系数吗？
提示：不一定。
问题3　如图所示，倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面向下拉一段距离，然后松开。假设空气阻力可忽略不计，试证明小球的运动是简谐运动。
提示：平衡位置：mg sin θ＝kx0
设向下拉的位移为x，则F回＝k(x0＋x)－mg sin θ
得F回＝kx且F回与x方向相反，即小球的运动为简谐运动。
【知识归纳】
1．对回复力的理解
(1)作用效果：使振动物体回到平衡位置。
(2)来源：回复力可能由某一个力提供，也可能由几个力的合力提供，还可能由某一个力的分力提供。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
(3)回复力是效果力：受力分析时只能分析物体所受的性质力，不能再“额外添加”回复力。
2．简谐运动的回复力的特点
(1)表达式：F＝－kx。
①大小：与振子的位移大小成正比。
②方向：“－”表示与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。
(2)表达式F＝－kx中的k指的是由振动系统本身决定的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数。
提醒：因x＝A sin (ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kA sin (ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
【典例1】　(回复力的理解和分析)(多选)如图所示，小球在光滑水平杆上的A、B两点之间做往复运动，O点是平衡位置，下列说法正确的是(　　)
√
A．小球在运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．小球在运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C．小球由A向O运动的过程中，回复力逐渐增大
D．小球由O向B运动的过程中，回复力的方向指向平衡位置
√
AD　[回复力不是做简谐运动的物体受到的具体的力，小球受重力、支持力和弹簧弹力，弹簧弹力提供回复力，故A正确，B错误；回复力的大小与位移的大小成正比，小球由A向O运动的过程中位移在减小，则回复力逐渐减小，故C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，故D正确。]
【典例2】　(简谐运动的证明)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法不正确的是(　　)
√
方法技巧　判断一个振动是否为简谐运动的方法
(1)运动学方法：对物体的位移分析，如果位移时间表达式满足x＝
A sin (ωt＋φ)或x-t图像满足正(余)弦规律，即可判断为简谐运动。
(2)动力学方法：对物体进行受力分析，物体所受到的回复力满足F＝－kx，即可判断为简谐运动。
(3)加速度方法：根据牛顿第二定律或运动学知识，求解物体的加速度，如果满足a＝－k′x，即可判断为简谐运动。
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是______和______互相转化的过程。
(1)在最大位移处，______最大，______为零。
(2)在平衡位置处，______最大，______为零。
知识点二　简谐运动的能量
动能
势能
势能
动能
动能
势能
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能______，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种________的模型。
3．对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统，______越大，机械能越大。
守恒
理想化
振幅
【思考讨论】
问题　弹簧振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、速度、动能各物理量的关系如何？
提示：振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、动能一定均相同，但速度不一定相同，方向可能相反。
【知识归纳】
1．对简谐运动的能量的理解
决定因素 简谐运动的能量由振幅决定：对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，系统的机械能越大；振幅越小，振动越弱，系统的机械能越小
能量的获得 最初的能量来自外部，通过外力做功获得
能量的转化 系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒
注意：(1)在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。
(2)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。
理想化条件 (1)力的角度：简谐运动不考虑阻力
(2)能量转化角度：简谐运动不考虑因克服阻力做功引起的能量损耗
2．简谐运动中各物理量的变化规律
如图所示，振子以O点为平衡位置在A、B之间做简谐运动，各物理量的变化规律为：
物理量 运动过程
A →O O →B B →O O →A
位移 大小 减小 增大 减小 增大
方向 O →A O →B O →B O →A
回复力、加速度 大小 减小 增大 减小 增大
方向 A→O B→O B→O A→O
速度 大小 增大 减小 增大 减小
方向 A→O O →B B→O O →A
动能 增大 减小 增大 减小
势能 减小 增大 减小 增大
(1)通过上表可以看出：位移、回复力、加速度三者的大小同步变化，与速度大小的变化相反。
(2)通过上表可以看出两个转折点：
①平衡位置O点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点。
②最大位移处是速度方向变化的转折点。
如图所示为弹簧振子在振动过程中各个位置的动能、弹性势能随位置变化的图像。
如果没有能量损失，物体将永远振动下去。实际上任何物体的振动过程都不可避免有能量的损失，简谐运动只是一种理想情况。
【教用·备选例题】　(简谐运动中的能量转化)如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2 s，从最低点向上运动时开始计时，振动图像如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．t＝1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正
B．t＝1 s时，系统的弹性势能最大，重力势能最小
C．t＝0.5 s时，系统的弹性势能为零，重力势能最小
D．t＝2 s时，系统的弹性势能最大，重力势能最小
√
D　[从题图乙中可知在t＝1.25 s时振子在平衡位置上方，向下振动，故加速度向下，速度向下，两者都为负，A错误；t＝1 s时，振子在正向最大位移处，即最高点，故振子的重力势能最大，B错误；t＝0.5 s时，振子在平衡位置，位移为零，但不在最低点，所以重力势能不是最小，C错误；t＝2 s时，振子在最低点，重力势能最小，处于负向最大位移处，弹簧伸长量最大，且大于振子在正向最大位移处的弹簧的形变量，故弹性势能最大，D正确。]
【典例3】　(简谐运动的动力学分析)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A．该弹簧振子的周期为1.6 s，振幅为30 cm
B．该弹簧振子在t＝0.6 s时和t＝1.0 s时的速度不同
C．在t＝4 s时，该弹簧振子的加速度大小为零
D．在t＝0.6 s到t＝1.0 s的时间内，该弹簧振子的加速度和速度都逐渐减小
√
C　[由题图乙可知，该振动的振幅、周期为A＝15 cm、T＝1.6 s，故A错误；由振动图像可知，斜率代表速度，弹簧振子在t＝0.6 s时和t＝1.0 s时的速度相同，故B错误；因为周期为1.6 s，根据简谐运动的周期性可知在t＝4 s时，该弹簧振子处于平衡位置，合力为零，加速度大小为零，故C正确；在t＝0.6 s到t＝1.0 s的时间内，该弹簧振子从平衡位置右侧运动到平衡位置左侧，所以加速度先减小后增大，速度先增大后减小，故D错误。故选C。]
【典例4】　(简谐运动中能量分析)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列说法正确的是(　　)
√
A．小球在O位置时，动能最小，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功
D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断减小
C　[振子经过平衡位置时，速度最大，位移为零，所以在O位置时动能最大，回复力为零，加速度为零，故A错误；在A、B位置时，速度为零，动能为零，位移最大，回复力最大，加速度最大，故B错误；由于回复力指向平衡位置，所以小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功，故C正确；振子的动能和弹簧的势能相互转化，且总量保持不变，即振动的能量保持不变，故D错误。]
【典例5】　(简谐运动的综合问题分析)如图所示，与地面夹角为θ的光滑斜面顶端固定一垂直于斜面的挡板，劲度系数为k的轻弹簧一端固定一个质量为m的小物体，另一端固定在挡板上。物体在平行于斜面方向上的A、B两点间做简谐运动，当物体振动到最高点A时，弹簧正好为原长，则物体在向下振动过程中(　　)
A．物体的动能不断增大
B．物体在B点时受的弹力大小为2mg sin θ
C．物体在A、B两点的加速度相同
D．平衡位置处，弹簧的弹性势能和物体的重力势能总和最大
√
B　[物体运动到平衡位置时，动能最大，运动到位置B时，速度为0，动能为0，所以物体在向下振动过程中，物体的动能先增大后减小，故A错误；物体在最高点，有F回＝mg sin θ，在最低点时，受力分析可得F－mg sin θ＝F回，联立可得F＝2mg sin θ，故B正确；物体在A、B两点的加速度等大、反向，故C错误；平衡位置处，动能最大，根据能量守恒，弹簧的弹性势能和物体的重力势能总和最小，故D错误。]
应用迁移·随堂评估自测
1．如图所示，能正确反映做简谐运动的物体所受回复力与位移关系的图像是(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　　D
B　[由F＝－kx知B正确。]
√
2．(人教版P45T4改编)如图所示为某物体做简谐运动的图像，在0～1.5 s范围内下列说法正确的是(　　)
A．物体的周期为0.9 s，振幅是0.04 m
B．t＝0.6 s时，物体的速度方向沿＋x方向
C．t＝0.3 s到t＝0.5 s的时间内，物体的势能逐渐减小
D．t＝0.9 s到t＝1.1 s的时间内，物体的动能逐渐增大
√
D　[由题图可知，物体的周期为0.8 s，振幅是0.04 m，故A错误；t＝0.6 s时，物体在x轴正半轴且速度方向沿－x方向，故B错误；t＝0.3 s到t＝0.5 s的时间内，物体由平衡位置运动到正向最大位移处，物体的势能逐渐增大，故C错误；t＝0.9 s到t＝1.1 s的时间内，物体由负向最大位移处运动到平衡位置，物体的动能逐渐增大，故D正确。故选D。]
3．如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，以向右为正方向，由图可知下列说法中正确的是(　　)
A．在t＝0.2 s时刻，弹簧振子运动到O位置
B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同
C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地减小
D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同
√
C　[由题图知，t＝0时，弹簧振子位于平衡位置，在t＝0.2 s时刻，弹簧振子运动到B位置，故A错误；在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度大小相等，方向相反，故B错误；从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的位移越来越大，弹簧的弹性势能越来越大，弹簧振子的动能越来越小，故C正确；在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度大小相等，方向相反，故D错误。]
回归本节知识，完成以下问题：
1．简谐运动的回复力有什么特点？
提示：回复力是效果力，效果是使物体回到平衡位置，大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
2．对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由什么决定？
提示：振幅，振幅越大，能量越大。
3．简谐运动的弹簧振子系统机械能是否守恒？
提示：守恒。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
?题组一　简谐运动的回复力
1．(多选)关于简谐运动的理解，下列说法正确的是(　　)
A．周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量
B．位移减小时，回复力减小，加速度减小，速度增大
C．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同
D．物体运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反，背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同
课时分层作业(八)　简谐运动的回复力和能量
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
ABD　[周期是做一次完整运动过程所用的时间，频率是单位时间内完成全振动的次数，都反映了振动的快慢，都是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量，故A正确；根据F＝－kx可知位移减小时，回复力减小，加速度减小，速度增大，故B正确；根据F＝－kx可知位移的方向总跟加速度方向相反，物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反，背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，所以位移和速度的方向可能相同也可能相反，故C错误，D正确。]
√
2．简谐运动的图像如图所示，在t1和t2时刻，运动质点相同的物理量为(　　)
A．加速度 B．位移
C．速度 D．回复力
题号
1
3
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6
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12
题号
1
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12
√
3．如图所示，质量为m的物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于原长状态。规定向右为正方向，现向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动(弹簧始终在弹性限度内)，O为平衡位置(不计阻力)，物体位移为x，则下列判断正确的是(　　)
A．物体做简谐运动，OC＝OB
B．物体做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx
D．回复力F＝－2kx
题号
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A　[物体离开O点时所受的指向O点的力F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，符合简谐运动的回复力特点，因此物体以O点为平衡位置做简谐运动，所以OC＝OB，故A正确，B、C、D错误。]
题号
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√
?题组二　简谐运动的能量
4．有一水平弹簧振子，某段时间内振动小球的速度一直在增加，则在这段时间内(　　)
A．系统机械能一直增加
B．小球振动位移一直增加
C．小球加速度一直增加
D．系统弹性势能一直减小
题号
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题号
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5．(人教版P45T2改编)如图所示，光滑圆弧面上有一小球做简谐运动，B点为运动中的最低位置，A、C点均为运动过程中的最高位置。下列说法正确的是(　　)
题号
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A．B点是平衡位置，此处小球受到的回复力就是重力
B．小球在B点时，重力势能最小，机械能最小
C．小球在A点、C点时，速度最小，对圆弧面的压力最小，回复力最大
D．若增大小球做简谐运动的幅度，则其运动周期变大
题号
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√
C　[B点是平衡位置，此处小球受到的回复力是重力在切线方向的分力，此时回复力为零，故A错误；小球在B点时，重力势能最小，整个运动过程机械能守恒，故B错误；小球在A点、C点时，速度最小，对圆弧面的压力最小，回复力最大，故C正确；简谐运动的周期与振幅无关，若增大小球做简谐运动的幅度，则其运动周期不变，故D错误。故选C。]
题号
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√
6．轻弹簧上端固定，下端悬挂小钢球，让钢球在竖直方向做简谐运动，取向上为正方向，振动图像如图所示。下列说法正确的是
(　　)
A．振子的周期为4 s，振幅为10 cm
B．3 s末振子的机械能变化最大
C．1.3 s末和2.7 s末振子的速度相同
D．0.5 s末和3.5 s末振子受到的回复力相同
题号
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D　[由题图可知，振子的周期为4 s，但振幅为 5 cm, A错误；简谐运动中机械能守恒，B错误；根据运动的对称性，可知1.3 s末和2.7 s末振子的位移相同，速度大小相等，但方向相反，C错误；0.5 s末和3.5 s末振子的位移相同，由F＝－kx可知回复力相同，D正确。]
题号
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√
7．(多选)如图所示是质点做简谐运动的图像，由此可知(　　)
A．t＝0时，质点位移、速度均为0
B．t＝1 s时，质点位移最大，速度为0
C．t＝2 s时，质点位移为0，速度为负向最大值
D．t＝4 s时，质点停止运动
题号
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√
BC　[t＝0时，速度最大，位移为0，A错误；t＝1 s时，质点在正向位移最大处，速度为0，B正确；t＝2 s时，质点经过平衡位置，位移为0，速度为沿负方向最大值，C正确；t＝4 s时，质点位移为0，速度最大，D错误。]
题号
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8．(2024·北京卷)如图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确
的是(　　)
题号
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A．t＝0时，弹簧弹力为0
B．t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C．从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大
D．a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt)m/s2
题号
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9．装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压4 cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向上的简谐运动，测得振动周期为0.5 s。以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是(　　)
题号
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10．(多选)如图所示，水平光滑桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物体P，P和Q通过细绳绕过定滑轮连接。开始时，系统处于静止状态，滑块P处于位置O。将滑块P向左推至弹簧原长的位置A点后由静止释放，P物体将在A点和右侧的某位置(图中未画出)之间来回运动，滑块未与定滑轮相碰，弹簧未超出弹性限度，已知P和Q的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，重力加速
度为g，不计一切摩擦，则(　　)
题号
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12．(多选)下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做频率为1 Hz的简谐运动；与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图(a)所示。以木棒所受浮力F为纵轴，木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图(b)所示。已知河水密度为ρ，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
题号
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123．简谐运动的回复力和能量
[学习目标]　1．会分析弹簧振子的受力情况，理解回复力的概念。2．认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。3．会用能量观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动中机械能守恒。
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1　弹簧振子的小球从离开平衡位置向一侧运动时，速度如何变化？
问题2　是什么原因引起了小球速度的变化？
问题3　小球从最大位移处向平衡位置运动时，小球所受的力是如何变化的？这个力起了什么作用？
　简谐运动的回复力
【链接教材】　如人教版教材P43图所示，为水平方向的弹簧振子的振动过程示意图。
问题1　当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？
提示：弹簧的弹力使振子回到平衡位置。
问题2　使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
提示：弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
【知识梳理】　
1．回复力
(1)定义：振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力。
(2)方向：指向平衡位置。
(3)表达式：F＝－kx。
提醒：回复力是按照力的作用效果来命名的，分析物体的受力时，不分析回复力。
2．简谐运动
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。
【思考讨论】
问题1　下列均为简谐运动，小球受到的回复力的来源是什么？
提示：(1)竖直方向的弹簧振子弹力和重力的合力提供回复力。
(2)两个弹簧的弹力之和提供回复力。
(3)重力沿切线方向的分力提供回复力。
综上所述，回复力的来源可能是某一个力，可能是几个力的合力，也可能是某一个力的分力。
问题2　在F＝－kx中，对于k值，一定是弹簧的劲度系数吗？
提示：不一定。
问题3　如图所示，倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面向下拉一段距离，然后松开。假设空气阻力可忽略不计，试证明小球的运动是简谐运动。
提示：平衡位置：mg sin θ＝kx0
设向下拉的位移为x，则F回＝k(x0＋x)－mg sin θ
得F回＝kx且F回与x方向相反，即小球的运动为简谐运动。
【知识归纳】
1．对回复力的理解
(1)作用效果：使振动物体回到平衡位置。
(2)来源：回复力可能由某一个力提供，也可能由几个力的合力提供，还可能由某一个力的分力提供。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
(3)回复力是效果力：受力分析时只能分析物体所受的性质力，不能再“额外添加”回复力。
2．简谐运动的回复力的特点
(1)表达式：F＝－kx。
①大小：与振子的位移大小成正比。
②方向：“－”表示与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。
(2)表达式F＝－kx中的k指的是由振动系统本身决定的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数。
提醒：因x＝A sin (ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kA sin (ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
3．简谐运动的加速度的特点
根据牛顿第二定律得a＝＝－x。
(1)大小：与位移大小成正比。
(2)方向：与位移方向相反。
【典例1】　(回复力的理解和分析)(多选)如图所示，小球在光滑水平杆上的A、B两点之间做往复运动，O点是平衡位置，下列说法正确的是(　　)
A．小球在运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．小球在运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C．小球由A向O运动的过程中，回复力逐渐增大
D．小球由O向B运动的过程中，回复力的方向指向平衡位置
AD　[回复力不是做简谐运动的物体受到的具体的力，小球受重力、支持力和弹簧弹力，弹簧弹力提供回复力，故A正确，B错误；回复力的大小与位移的大小成正比，小球由A向O运动的过程中位移在减小，则回复力逐渐减小，故C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，故D正确。]
【典例2】　(简谐运动的证明)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法不正确的是(　　)
A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供
B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供
C．物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k
D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则A、B间无相对滑动的最大振幅为
B　[物体A做简谐运动时，在水平方向受到滑块B对它的静摩擦力，所以物体A做简谐运动的回复力是由滑块B对物体A的静摩擦力提供，A正确；滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和物体A对滑块B的静摩擦力的合力提供，B错误；物体A与滑块B(看成一个振子)的回复力大小满足F＝－kx，则回复力大小跟位移大小之比为k，C正确；物体间的静摩擦力最大时，其振幅最大，设为A′，以整体为研究对象有kA′＝(M＋m)a，以A为研究对象，由牛顿第二定律得μmg＝ma，联立解得A、B间无相对滑动的最大振幅为A′＝，D正确。]
　判断一个振动是否为简谐运动的方法
(1)运动学方法：对物体的位移分析，如果位移时间表达式满足x＝A sin (ωt＋φ)或x-t图像满足正(余)弦规律，即可判断为简谐运动。
(2)动力学方法：对物体进行受力分析，物体所受到的回复力满足F＝－kx，即可判断为简谐运动。
(3)加速度方法：根据牛顿第二定律或运动学知识，求解物体的加速度，如果满足a＝－k′x，即可判断为简谐运动。
　简谐运动的能量
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。
(2)在平衡位置处，动能最大，势能为零。
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
3．对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。
【思考讨论】
问题　弹簧振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、速度、动能各物理量的关系如何？
提示：振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、动能一定均相同，但速度不一定相同，方向可能相反。
【知识归纳】
1．对简谐运动的能量的理解
决定因素 简谐运动的能量由振幅决定：对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，系统的机械能越大；振幅越小，振动越弱，系统的机械能越小
能量的获得 最初的能量来自外部，通过外力做功获得
能量的转化 系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒
理想化条件 (1)力的角度：简谐运动不考虑阻力 (2)能量转化角度：简谐运动不考虑因克服阻力做功引起的能量损耗
注意：(1)在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。
(2)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。
2．简谐运动中各物理量的变化规律
如图所示，振子以O点为平衡位置在A、B之间做简谐运动，各物理量的变化规律为：
物理量 运动过程
A →O O →B B →O O →A
位移 大小 减小 增大 减小 增大
方向 O →A O →B O →B O →A
回复力、加速度 大小 减小 增大 减小 增大
方向 A→O B→O B→O A→O
速度 大小 增大 减小 增大 减小
方向 A→O O →B B→O O →A
动能 增大 减小 增大 减小
势能 减小 增大 减小 增大
(1)通过上表可以看出：位移、回复力、加速度三者的大小同步变化，与速度大小的变化相反。
(2)通过上表可以看出两个转折点：
①平衡位置O点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点。
②最大位移处是速度方向变化的转折点。
如图所示为弹簧振子在振动过程中各个位置的动能、弹性势能随位置变化的图像。
如果没有能量损失，物体将永远振动下去。实际上任何物体的振动过程都不可避免有能量的损失，简谐运动只是一种理想情况。
【教用·备选例题】　(简谐运动中的能量转化)如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2 s，从最低点向上运动时开始计时，振动图像如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．t＝1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正
B．t＝1 s时，系统的弹性势能最大，重力势能最小
C．t＝0.5 s时，系统的弹性势能为零，重力势能最小
D．t＝2 s时，系统的弹性势能最大，重力势能最小
D　[从题图乙中可知在t＝1.25 s时振子在平衡位置上方，向下振动，故加速度向下，速度向下，两者都为负，A错误；t＝1 s时，振子在正向最大位移处，即最高点，故振子的重力势能最大，B错误；t＝0.5 s时，振子在平衡位置，位移为零，但不在最低点，所以重力势能不是最小，C错误；t＝2 s时，振子在最低点，重力势能最小，处于负向最大位移处，弹簧伸长量最大，且大于振子在正向最大位移处的弹簧的形变量，故弹性势能最大，D正确。]
【典例3】　(简谐运动的动力学分析)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A．该弹簧振子的周期为1.6 s，振幅为30 cm
B．该弹簧振子在t＝0.6 s时和t＝1.0 s时的速度不同
C．在t＝4 s时，该弹簧振子的加速度大小为零
D．在t＝0.6 s到t＝1.0 s的时间内，该弹簧振子的加速度和速度都逐渐减小
C　[由题图乙可知，该振动的振幅、周期为A＝15 cm、T＝1.6 s，故A错误；由振动图像可知，斜率代表速度，弹簧振子在t＝0.6 s时和t＝1.0 s时的速度相同，故B错误；因为周期为1.6 s，根据简谐运动的周期性可知在t＝4 s时，该弹簧振子处于平衡位置，合力为零，加速度大小为零，故C正确；在t＝0.6 s到t＝1.0 s的时间内，该弹簧振子从平衡位置右侧运动到平衡位置左侧，所以加速度先减小后增大，速度先增大后减小，故D错误。故选C。]
【典例4】　(简谐运动中能量分析)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．小球在O位置时，动能最小，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功
D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断减小
C　[振子经过平衡位置时，速度最大，位移为零，所以在O位置时动能最大，回复力为零，加速度为零，故A错误；在A、B位置时，速度为零，动能为零，位移最大，回复力最大，加速度最大，故B错误；由于回复力指向平衡位置，所以小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功，故C正确；振子的动能和弹簧的势能相互转化，且总量保持不变，即振动的能量保持不变，故D错误。]
【典例5】　(简谐运动的综合问题分析)如图所示，与地面夹角为θ的光滑斜面顶端固定一垂直于斜面的挡板，劲度系数为k的轻弹簧一端固定一个质量为m的小物体，另一端固定在挡板上。物体在平行于斜面方向上的A、B两点间做简谐运动，当物体振动到最高点A时，弹簧正好为原长，则物体在向下振动过程中(　　)
A．物体的动能不断增大
B．物体在B点时受的弹力大小为2mg sin θ
C．物体在A、B两点的加速度相同
D．平衡位置处，弹簧的弹性势能和物体的重力势能总和最大
B　[物体运动到平衡位置时，动能最大，运动到位置B时，速度为0，动能为0，所以物体在向下振动过程中，物体的动能先增大后减小，故A错误；物体在最高点，有F回＝mg sin θ，在最低点时，受力分析可得F－mg sin θ＝F回，联立可得F＝2mg sin θ，故B正确；物体在A、B两点的加速度等大、反向，故C错误；平衡位置处，动能最大，根据能量守恒，弹簧的弹性势能和物体的重力势能总和最小，故D错误。]
1．如图所示，能正确反映做简谐运动的物体所受回复力与位移关系的图像是(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　　D
B　[由F＝－kx知B正确。]
2．(人教版P45T4改编)如图所示为某物体做简谐运动的图像，在0～1.5 s范围内下列说法正确的是(　　)
A．物体的周期为0.9 s，振幅是0.04 m
B．t＝0.6 s时，物体的速度方向沿＋x方向
C．t＝0.3 s到t＝0.5 s的时间内，物体的势能逐渐减小
D．t＝0.9 s到t＝1.1 s的时间内，物体的动能逐渐增大
D　[由题图可知，物体的周期为0.8 s，振幅是0.04 m，故A错误；t＝0.6 s时，物体在x轴正半轴且速度方向沿－x方向，故B错误；t＝0.3 s到t＝0.5 s的时间内，物体由平衡位置运动到正向最大位移处，物体的势能逐渐增大，故C错误；t＝0.9 s到t＝1.1 s的时间内，物体由负向最大位移处运动到平衡位置，物体的动能逐渐增大，故D正确。故选D。]
3．如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，以向右为正方向，由图可知下列说法中正确的是(　　)
A．在t＝0.2 s时刻，弹簧振子运动到O位置
B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同
C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地减小
D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同
C　[由题图知，t＝0时，弹簧振子位于平衡位置，在t＝0.2 s时刻，弹簧振子运动到B位置，故A错误；在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度大小相等，方向相反，故B错误；从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的位移越来越大，弹簧的弹性势能越来越大，弹簧振子的动能越来越小，故C正确；在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度大小相等，方向相反，故D错误。]
回归本节知识，完成以下问题：
1．简谐运动的回复力有什么特点？
提示：回复力是效果力，效果是使物体回到平衡位置，大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
2．对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由什么决定？
提示：振幅，振幅越大，能量越大。
3．简谐运动的弹簧振子系统机械能是否守恒？
提示：守恒。
课时分层作业(八)　简谐运动的回复力和能量
?题组一　简谐运动的回复力
1．(多选)关于简谐运动的理解，下列说法正确的是(　　)
A．周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量
B．位移减小时，回复力减小，加速度减小，速度增大
C．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同
D．物体运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反，背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同
ABD　[周期是做一次完整运动过程所用的时间，频率是单位时间内完成全振动的次数，都反映了振动的快慢，都是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量，故A正确；根据F＝－kx可知位移减小时，回复力减小，加速度减小，速度增大，故B正确；根据F＝－kx可知位移的方向总跟加速度方向相反，物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反，背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，所以位移和速度的方向可能相同也可能相反，故C错误，D正确。]
2．简谐运动的图像如图所示，在t1和t2时刻，运动质点相同的物理量为(　　)
A．加速度 B．位移
C．速度 D．回复力
C　[由题图读出，t1和t2时刻，质点运动的位移大小相等，方向相反，根据简谐运动的加速度a＝－知，加速度大小相等，方向相反，故A、B错误；x-t图像上点的切线的斜率表示速度，故在t1和t2时刻速度相同，故C正确；根据F＝－kx可知，t1和t2时刻质点的回复力大小相等，方向相反，故D错误。]
3．如图所示，质量为m的物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于原长状态。规定向右为正方向，现向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动(弹簧始终在弹性限度内)，O为平衡位置(不计阻力)，物体位移为x，则下列判断正确的是(　　)
A．物体做简谐运动，OC＝OB
B．物体做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx
D．回复力F＝－2kx
A　[物体离开O点时所受的指向O点的力F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，符合简谐运动的回复力特点，因此物体以O点为平衡位置做简谐运动，所以OC＝OB，故A正确，B、C、D错误。]
?题组二　简谐运动的能量
4．有一水平弹簧振子，某段时间内振动小球的速度一直在增加，则在这段时间内(　　)
A．系统机械能一直增加
B．小球振动位移一直增加
C．小球加速度一直增加
D．系统弹性势能一直减小
D　[简谐运动过程中，振子的动能和弹簧的势能相互转化，机械能保持不变，A错误；某段时间内速度在增加，则这段时间内质点向平衡位置运动，位移减小，B错误；由回复力公式F＝－kx可知回复力减小，根据a＝可知小球加速度一直减小，C错误；振子速度增大，动能增大，结合A选项分析可知系统弹性势能减小，D正确。]
5．(人教版P45T2改编)如图所示，光滑圆弧面上有一小球做简谐运动，B点为运动中的最低位置，A、C点均为运动过程中的最高位置。下列说法正确的是(　　)
A．B点是平衡位置，此处小球受到的回复力就是重力
B．小球在B点时，重力势能最小，机械能最小
C．小球在A点、C点时，速度最小，对圆弧面的压力最小，回复力最大
D．若增大小球做简谐运动的幅度，则其运动周期变大
C　[B点是平衡位置，此处小球受到的回复力是重力在切线方向的分力，此时回复力为零，故A错误；小球在B点时，重力势能最小，整个运动过程机械能守恒，故B错误；小球在A点、C点时，速度最小，对圆弧面的压力最小，回复力最大，故C正确；简谐运动的周期与振幅无关，若增大小球做简谐运动的幅度，则其运动周期不变，故D错误。故选C。]
6．轻弹簧上端固定，下端悬挂小钢球，让钢球在竖直方向做简谐运动，取向上为正方向，振动图像如图所示。下列说法正确的是(　　)
A．振子的周期为4 s，振幅为10 cm
B．3 s末振子的机械能变化最大
C．1.3 s末和2.7 s末振子的速度相同
D．0.5 s末和3.5 s末振子受到的回复力相同
D　[由题图可知，振子的周期为4 s，但振幅为 5 cm, A错误；简谐运动中机械能守恒，B错误；根据运动的对称性，可知1.3 s末和2.7 s末振子的位移相同，速度大小相等，但方向相反，C错误；0.5 s末和3.5 s末振子的位移相同，由F＝－kx可知回复力相同，D正确。]
7．(多选)如图所示是质点做简谐运动的图像，由此可知(　　)
A．t＝0时，质点位移、速度均为0
B．t＝1 s时，质点位移最大，速度为0
C．t＝2 s时，质点位移为0，速度为负向最大值
D．t＝4 s时，质点停止运动
BC　[t＝0时，速度最大，位移为0，A错误；t＝1 s时，质点在正向位移最大处，速度为0，B正确；t＝2 s时，质点经过平衡位置，位移为0，速度为沿负方向最大值，C正确；t＝4 s时，质点位移为0，速度最大，D错误。]
8．(2024·北京卷)如图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A．t＝0时，弹簧弹力为0
B．t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C．从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大
D．a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt)m/s2
D　[由题图乙知，t＝0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为F＝mg，A错误；由题图乙知，t＝0.2 s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误；由题图乙知，从t＝0至t＝0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；由题图乙知T＝0.8 s，则角频率ω＝＝2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt)m/s2，D正确。故选D。]
9．装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压4 cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向上的简谐运动，测得振动周期为0.5 s。以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是(　　)
A．位移满足函数式x＝4sin cm
B．回复力是浮力
C．在t1～t2时间内，位移减小，速度减小，加速度增大
D．振动过程中玻璃管的机械能守恒
A　[振动周期为0.5 s，则圆频率为ω＝＝4π rad/s，依题意，A＝4 cm，t＝0时，x0＝－A＝A sin φ0，结合t＝0时刻玻璃管振动的方向向下，可知φ0＝－π，则玻璃管的振动方程为x＝4sin cm，故A正确；回复力由浮力和重力的合力提供，故B错误；由题图乙可知，在t1～t2时间内，位移减小，根据a＝－易知加速度减小，该段时间内玻璃管向平衡位置做加速运动，所以速度增大，故C错误；玻璃管在做简谐运动过程中，水的浮力对玻璃管做功，所以玻璃管的机械能不守恒，故D错误。]
10．(多选)如图所示，水平光滑桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物体P，P和Q通过细绳绕过定滑轮连接。开始时，系统处于静止状态，滑块P处于位置O。将滑块P向左推至弹簧原长的位置A点后由静止释放，P物体将在A点和右侧的某位置(图中未画出)之间来回运动，滑块未与定滑轮相碰，弹簧未超出弹性限度，已知P和Q的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计一切摩擦，则(　　)
A．刚释放瞬间，P的加速度为g
B．P做简谐运动的振幅为
C．绳上最大拉力为2mg
D．弹簧的最大弹性势能为
BD　[开始时将滑块P向左推至弹簧原长的位置A点后由静止释放，则在释放瞬间，由牛顿第二定律，对P、Q整体分析可得mg＝2ma，解得a＝，故A错误；根据题意可知，P、Q以及弹簧组成的连接体静态平衡时，物块P位于位置O，则可知物块P做简谐运动时的平衡位置位于O点，根据平衡条件可得mg＝kx，解得平衡时弹簧的伸长量为x＝，而释放时弹簧处于原长，则可知AO间的距离为x，即可得P做简谐运动的振幅为，故B正确；做简谐运动的物体，加速度在振幅最大处最大，即加速度的最大值为a＝，而绳的拉力在P运动至最右端时最大，将Q隔离分析，由牛顿第二定律有Tmax－mg＝ma，解得Tmax＝mg，故C错误；当物块P运动至最右端时弹簧的弹性势能最大，此时弹簧的伸长量为2x，根据弹簧弹性势能的表达式Ep＝k(Δx)2，代入可得Ep＝，故D正确。故选BD。]
11．如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的水平轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m、带电荷量为＋q的小球相连，静止在光滑、绝缘的水平面上。在施加一个电场强度为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动。那么(　　)
A．小球到达最右端时，弹簧的形变量为
B．小球做简谐运动的振幅为
C．运动过程中小球的机械能守恒
D．运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变
A　[小球做简谐运动的平衡位置是弹簧弹力和静电力平衡的位置，此时弹簧形变量为，即振幅为，小球到达最右端时，弹簧形变量为，A对，B错。静电力对小球做功，故小球的机械能不守恒，C错。运动过程中，小球的动能、电势能和弹簧的弹性势能的总量不变，D错。]
12．(多选)下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做频率为1 Hz的简谐运动；与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图(a)所示。以木棒所受浮力F为纵轴，木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图(b)所示。已知河水密度为ρ，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A．x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒的动能先增大后减小
B．x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变小
C．x＝0.35 m和x＝0.45 m时，木棒的速度大小相等，方向相反
D．木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为
ABD　[x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒从平衡位置下方向上移动，经平衡位置后到达平衡位置上方，速度先增大后减小，动能先增大后减小，A正确；x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒从平衡位置上方靠近最大位移处向下运动(未到达平衡位置)，加速度竖直向下，逐渐减小，B正确；x＝0.35 m和x＝0.45 m处木棒所受浮力大小相等，木棒在竖直方向上位移相同，水平方向速度相同，竖直方向速度大小相等，方向相反，合速度大小相等，方向不是相反，C错误；木棒重心在平衡位置下方最大位移处时，F1＝ρgSh1，木棒重心在平衡位置上方最大位移处时，F2＝ρgSh2，振幅A＝＝，D正确。]
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