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2．简谐运动的描述
[学习目标]　1．理解简谐运动的振幅、周期、频率、相位和初相位的概念。2．知道周期和频率的关系。3．知道简谐运动的表达式，掌握表达式中各物理量的意义，体会数形结合思想的应用。4．通过实例观察探究测量物体振动周期的方法。
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1　弹簧振子位移与运动时间关系的函数表达式是怎样的？表达式中的各个物理量与简谐运动有什么关联？
问题2　怎样研究弹簧振子的周期与振幅的关系？
问题3　怎样描述振动物体在各个时刻所处的振动状态？
　简谐运动的振幅、周期和频率
【链接教材】　如人教版教材P36图所示。
M点和M′点表示水平弹簧振子在平衡位置O点右端及左端的最远位置。
问题1　小球离开平衡位置的最大距离是多少？小球的位移大小与A之间是什么关系？
提示：振幅A，|x|≤A。
问题2　从M′点开始，经历什么过程才算完成了一次周期性运动？小球从任意一点P0向左运动，再回到P0向右运动，算是一次全振动吗？
提示：M′→O →M→O→M′的一个全振动即完成了一次周期性运动；不是。
问题3　先后将振子拉到P0点和M点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？
提示：周期相同，振动的周期取决于振动系统本身，与振幅无关。位移相同，均为零。路程不相同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关。
【知识梳理】　
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅。用A表示，国际单位为米(m)。
(2)物理意义：振幅是描述振动幅度大小的物理量；振动物体的运动范围是振幅的两倍。
2．周期和频率
(1)全振动
类似于O→M→O→M′→O的一个完整的振动过程称为一次全振动。
提醒：不管以哪个位置作为研究的起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。
(2)周期(T)和频率( f )
①周期T：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期。单位：秒。
②频率f：物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率。单位：赫兹，简称赫，符号是Hz。
③周期T与频率f的关系式：f＝。
提醒：简谐运动的频率不是用来描述振动物体某时刻运动快慢的物理量，而是用来描述一次全振动快慢的物理量。
④ω：一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf。
【思考讨论】
问题1　做简谐运动的物体，一个周期内，路程和振幅有什么定量关系？半个周期呢？
提示：无论从什么位置开始计时，振动物体在一个周期内通过的路程均为4A。
无论从什么位置开始计时，振动物体在半个周期内通过的路程均为2A。
问题2　同一个振动系统，振动周期与振幅有关吗？
提示：一个振动系统的周期有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。
【知识归纳】
1．全振动的“四个特征”
(1)物理量特征：位移x、加速度a、速度v三者第一次同时与初始状态相同。
(2)时间特征：历时一个周期。
(3)路程特征：振幅的4倍。
(4)相位特征：增加2π。
2．简谐运动中振幅与位移、路程、周期的关系
振幅与位移 (1)振幅等于位移的最大值 (2)同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化
振幅与路程 振动中的路程是随时间不断增大的，不同时间内路程与振幅的对应关系： (1)t＝T时，s＝4A(t＝nT时，s＝n·4A) (2)t＝T时，s＝2A (3)t＝T时，可能有s＝A、s>A、s振幅与周期 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关
【典例1】　(简谐运动的位移、振幅和路程的关系)一质点做简谐运动，振幅为A、周期为T，O为平衡位置，B、C为两侧最大位移处。P为运动轨迹上的一点，P点与O、B、C三点均不重合，从质点经过P点时开始计时，下列说法正确的是(　　)
A．经过时，质点的速度与经过P点时的速度相同
B．经过，质点的路程等于2A
C．经过，质点的路程不可能大于A
D．经过，质点的瞬时速度不可能与经过P点时相等
思路点拨：求解本题的关键是明确简谐运动的振幅、周期的含义，知道一个周期内质点的路程等于振幅的4倍、半个周期内质点的路程等于振幅的2倍。内质点的路程可能等于一个振幅，也可能大于或小于一个振幅。
B　[根据振动的周期性可知，经过半个周期后，质点速度方向一定与开始时速度的方向相反，故A错误；根据振动的周期性可知，经过半个周期质点的路程等于2A，故B正确；质点在平衡位置附近的速度较大，而在最大位移附近的速度较小，所以若质点从P点开始运动时的方向指向平衡位置，则质点在内的路程要大于A；若质点从P点开始运动时的方向远离平衡位置，则质点在内的路程要小于A，故C错误；若质点开始时向平衡位置运动，经过，若质点到达与P对称的位置，则质点的瞬时速度与经过P时的瞬时速度是相等的，故D错误。故选B。]
【典例2】　(人教版P42T1改编)(简谐运动的周期性及多解性)(多选)一个小球在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s小球第一次经过M点，再继续运动，又经过2 s它第二次经过M点，则该小球做简谐运动的周期可能为(　　)
A． s　　B． s　　C．16 s　　D．14 s
AC　[设a、b为小球做简谐运动的两个端点，O为平衡位置。
①若小球开始运动的方向先向左，再向M点运动，运动图线如图甲所示。
甲
则运动过程中，O→a→M用时3 s，M→b→M用时2 s，故M→b用时1 s，O→a→M→b用时4 s，即＝4 s，所以T＝ s。
②若小球开始运动的方向向右，经过M点继续向右运动，运动图线如图乙所示。
乙
则运动过程中，O→M用时3 s，M→b→M用时2 s，故M→b用时1 s，O→b用时4 s，即＝4 s，所以T＝16 s。
由①②分析可得，小球做简谐运动的可能周期是 s或16 s。选项A、C正确。]
　对简谐运动的周期性和对称性的理解
(1)简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可做如下判断：
①若t2－t1＝nT(n＝0，1，2，…)，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同。
②若t2－t1＝nT＋T(n＝0，1，2，…)，则t1、t2两时刻，描述振动物体运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等、方向相反。
(2)简谐运动的对称性可分为空间对称性和时间对称性。
①空间对称性：经过平衡位置两侧的对称点时，加速度的大小相等，方向相反；速度的大小相等，方向可能相同，可能相反；动能相同。
②时间对称性：不论是从对称点回到平衡位置，还是从平衡位置运动到对称点，所用时间相等。
【教用·备选例题】
1．(简谐运动的周期性及多解性)(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从经过O点开始计时，振子第一次到达P点时用了0.3 s，又经过0.2 s第二次经过P点，则振子第三次经过P点还要经过的时间可能是(　　)
A．1.6 s　　B．1.4 s　　C． s　　D．0.8 s
BC　[假设弹簧振子在B、C之间振动，如图甲所示，若振子开始先向左振动，振子的振动周期T＝×4 s＝ s，则振子第三次通过P点还要经过时间t＝ s－0.2 s＝ s；如图乙所示，若振子开始先向右振动，振子的振动周期T′＝4× s＝1.6 s，则振子第三次通过P点还要经过时间t′＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s, 故B、C正确，A、D错误。
]
2．(简谐运动的周期性和对称性)一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则(　　)
A．若t时刻和t＋Δt时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B．若t时刻和t＋Δt时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍
C．若Δt＝T，则在t时刻和t＋Δt时刻振子运动的加速度一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和t＋Δt时刻弹簧的长度一定相等
C　[弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，图中A点与B、E、F、I等点的振动位移大小相等，方向相同。由图可知，A点与E、I等点对应的时间差为T或T的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为T或T的整数倍，选项A错误；图中A点跟B、C、F、G等点的振动速度大小相等，方向相反，由图可知A点与C、G等点对应的时间差为或的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为或的整数倍，选项B错误；如果t时刻和t＋Δt时刻相差一个周期T，则振子在这两个时刻的振动情况完全相同，加速度一定相等，选项C正确；除在平衡位置时，如果t时刻和t＋Δt时刻相差半个周期，则这两个时刻振子的位移大小相等，方向相反，弹簧的长度显然是不相等的，选项D错误。
]
3．(简谐运动的周期、振幅)(多选)如图所示，沿水平方向做简谐运动的质点，依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点位移大小是A点的倍，质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，该振动的振幅和周期可能是(　　)
A．，3t　　 B．，4t
C．t D．t
BC　[作出质点的振动图像，如图所示，若平衡位置在A点的右侧，则有＝L，解得振幅A＝，质点从A点到第二次经过B点的时间为t，则有＝t，解得周期T＝；若平衡位置在A点的左侧，则有＝L，解得振幅A＝，质点从A点到第二次经过B点的时间为t，则有＝t，解得周期T＝4t，B、C正确，A、D错误。]
　相位
【链接教材】　如人教版教材P38图为两个完全相同的弹簧振子。
问题1　将两个小球向下拉相同的距离后同时放开，可以看到什么现象？
提示：两个小球在相同位置同时释放，同时经过平衡位置、同时到达最高点、同时回到平衡位置、同时回到最低点……两个小球的振动步调完全一致。
问题2　若当第一个小球到达平衡位置时再释放第二个，可以看到什么现象？
提示：当第一个小球到达最高点时，第二个刚刚到达平衡位置，而当第二个小球到达最高点时，第一个已经返回平衡位置了。与第一个小球相比，第二个小球总是滞后个周期。
问题3　如何描述上述现象的不同？
提示：问题(1)中两个弹簧振子的相位相同、相位差为零；问题(2)中两个弹簧振子的相位不同、相位差为。
【知识梳理】　
1．相位
物理学中把ωt＋φ叫作相位。φ是t＝0时的相位，称作初相位，或初相。
2．相位差
(1)定义：两个具有相同频率的简谐运动的相位之差。
(2)表示：两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝φ1－φ2。
(3)意义：表示1的相位比2超前Δφ，或者说2的相位比1落后Δφ。
提醒：比较相位或计算相位差时，要用同种函数来表示振动方程。
3．简谐运动的位移表达式
简谐运动的表达式可以写成x＝A sin (ωt＋φ)或x＝A sin 。振幅、周期、初相位是描述简谐运动特征的物理量。
【思考讨论】　如图所示，质点M沿半径A＝10 cm的圆周逆时针匀速转动，角速度ω＝2π，初始时刻(t＝0)M点在x轴上的投影P点坐标xP＝5 cm。
问题1　写出该简谐运动的位移表达式。
提示：x＝10sin 。
问题2　物体的初相位是多少？0.5 s末的相位是多少？
提示：φ0＝；0.5 s末的相位φ＝2π×0.5＋＝。
【知识归纳】
1．相位差的取值范围、同相和反相、超前和滞后
(1)相位差的取值范围：－π≤Δφ≤π。
(2)同相和反相：Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相；Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相。
(3)超前和滞后：Δφ＞0，表示振动1比振动2超前；Δφ<0，表示振动1比振动2滞后。
2．对简谐运动的表达式x＝A sin 的理解
(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。
(2)根据表达式结合ω＝＝2πf可确定ω、T、f。
(3)根据表达式可求解某时刻的位移。
(4)表达式反映了简谐运动的周期性：
当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝n·2π(n＝0，1，2，…)时，即Δt＝t2－t1＝＝nT(n＝0，1，2，…)时，振子位移相同，每经过一个周期T完成一次全振动。
【典例3】　[链接教材P39例题](简谐运动的描述)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动。在t＝0时刻，振动物体从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振动物体的速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振动物体的速度第二次变为－v。
(1)求弹簧振子的振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振动物体在4.0 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm，从振动物体经过平衡位置向B运动开始计时，写出弹簧振子的位移表达式。
[解析]　(1)根据简谐运动的对称性和题意可知，振动物体完成半次全振动所用时间为0.5 s，则T＝0.5×2 s＝1.0 s。
(2)若B、C之间的距离为25 cm，则振幅A＝×25 cm＝12.5 cm，振动物体4.0 s内通过的路程s＝×4×12.5 cm＝200 cm。
(3)根据物体做简谐运动的表达式x＝A sin ωt，A＝12.5 cm，ω＝＝2π rad/s，得x＝12.5sin 2πt(cm)。
[答案]　(1)1.0 s　(2)200 cm　(3)x＝12.5sin 2πt(cm)
【教材原题P39例题】　如图2.2-5，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距20 cm。小球经过B点时开始计时，经过0.5 s首次到达C点。
(1)画出小球在第一个周期内的x-t图像。
(2)求5 s内小球通过的路程及5 s末小球的位移。
分析　根据简谐运动的位移与时间的函数关系，可以画出简谐运动的x-t图像。
要得到简谐运动的位移与时间的函数关系，就需要首先确定计时的起点，进而确定初相位。根据振幅、周期及初相位写出位移与时间的函数关系，画出图像。
我们也可以采用描点法来画出位移—时间图像。根据题意，可以确定计时起点的位移、通过平衡位置及最大位移处的时刻，在x-t图上描出这些特殊坐标点，根据正弦图像规律画出图像。
根据简谐运动的周期性，经过一个周期，小球回到起始位置，通过的路程为振幅的4倍。据此，可以求出5 s内小球通过的路程及5 s末小球的位移。
[解析]　(1)以O点作为坐标原点，沿OB建立坐标轴，如图2.2-5所示。以小球从B点开始运动的时刻作为计时起点，用正弦函数来表示小球的位移—时间关系，则函数的初相位为。
由于小球从最右端的B点运动到最左端的C点所用时间为0.5 s，所以振动的周期T＝1.0 s；由于B点和C点之间的距离为0.2 m，所以，振动的振幅A＝0.1 m。
根据x＝A sin ，可得小球的位移—时间关系为
x＝0.1sin m
据此，可以画出小球在第一个周期内的位移—时间图像，如图2.2-6所示。
(2)由于振动的周期T＝1 s，所以在时间t＝5 s内，小球一共做了n＝＝5次全振动。小球在一次全振动中通过的路程为4 A＝0.4 m，所以小球运动的路程为s＝5×0.4 m＝2 m；经过5次全振动后，小球正好回到B点，所以小球的位移为0.1 m。
[答案]　见解析
【典例4】　(简谐运动的函数表达式)如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为(　　)
A．x＝R sin 　 B．x＝R sin
C．x＝2R sin D．x＝2R sin
B　[由题图可知，影子P做简谐运动的振幅为R，以向上为正方向，设P的振动方程为x＝R sin (ωt＋φ)。由题图可知，当t＝0时，P的位移为R，代入振动方程解得φ＝，则P做简谐运动的表达式为x＝R sin ，故B正确，A、C、D错误。]
1．(多选)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间振动，不考虑摩擦，则(　　)
A．从B→O→C→O→B为一次全振动
B．从O→B→O→C→B为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．B、C两点关于O点对称
ACD　[O点为平衡位置，B、C为两侧最远点，则从B起经O、C、O、B的路程为振幅的4倍，为一次全振动，A正确；从O起经B、O、C、B的路程为振幅的5倍，超过一次全振动，B错误；从C起经O、B、O、C的路程为振幅的4倍，为一次全振动，C正确；因不考虑弹簧振子的系统的摩擦，所以它的振幅一定，故B、C两点关于O点对称，D正确。]
2．一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为(　　)
A．4 cm　10 cm　 B．4 cm　100 cm
C．0　24 cm D．0　100 cm
B　[质点的振动周期T＝＝0.4 s，故时间t＝T＝6T，所以2.5 s末质点在最大位移处，位移大小为4 cm，质点通过的路程为4×4×6 cm＝100 cm，选项B正确。]
3．如图所示，滑块在M、N之间做简谐运动。以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴正方向。若滑块位于N点时开始计时，则其振动图像为(　　)
A　　　　 　　　　B
C　　　 　　　　　D
A　[向右为x轴正方向，滑块运动到N点时，具有正方向最大位移，所以滑块位于N点时开始计时，振动图像应是余弦曲线，如图所示，故选A。
]
回归本节知识，完成以下问题：
1．描述简谐运动的物理量有哪些？
提示：振幅、周期、频率、相位。
2．如何判断一个振动过程是否为一个全振动？
提示：在判断物体的振动过程是否为一次全振动时不仅要看物体是否回到原位置，而且要判断物体到达该位置的振动状态(速度、加速度、位移)是否与原位置相同。
3．简谐运动的表达式中含有哪些物理信息？
提示：振幅、圆频率、初相位。
课时分层作业(七)　简谐运动的描述
?题组一　简谐运动的振幅、周期和频率
1．如图所示，弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B第一次运动到O的时间是0.5 s，则下列说法正确的是(　　)
A．振幅是10 cm
B．振动周期是1 s
C．经过一次全振动，振子通过的路程是10 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
D　[弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，则振幅为A＝OB＝OC＝5 cm，故A错误；振子从B第一次运动到O的时间是0.5 s，则＝0.5 s，解得T＝2 s，故B错误；经过一次全振动，振子通过的路程是s1＝4A＝20 cm，故C错误；从B开始经过3 s，即Δt＝3 s＝，振子通过的路程是s2＝×4A＝30 cm，故D正确。故选D。]
2．如图所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA＝1 cm，然后释放振子，经过0.2 s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A′点，OA′＝2 cm，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为(　　)
A．0.2 s B．0.4 s
C．0.1 s D．0.3 s
A　[弹簧振子的周期与弹簧的劲度系数、振子的质量有关，与振幅无关，故A正确。]
3．弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.4 s，第一次到达点M，再经过0.2 s，第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为(　　)
A． s B．1 s
C． s D．2.4 s
A　[如图甲所示，从O点开始向右，振子按甲路线运动，则振子的振动周期为T1＝4×s＝2 s；如图乙所示，从O点开始向左，振子按乙路线运动，则振子的振动周期为T2＝×4 s＝ s。 故选A。
]
?题组二　相位和简谐运动的表达式
4．如图所示是某质点沿x轴做简谐运动的振动图像，简谐运动的频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，则简谐运动的振动方程为(　　)
A．x＝8sin cm
B．x＝8sin cm
C．x＝8cos cm
D．x＝8cos cm
A　[简谐运动的表达式为x＝A sin (ωt＋φ)，根据题目所给条件得A＝8 cm，ω＝2πf＝π rad/s，则x＝8sin (πt＋φ) cm，在t＝0时，位移是4 cm，代入得4＝8sin φ，解得初相φ＝或φ＝，因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝，则所求的振动方程为x＝8sin cm。]
5．如图(a)所示水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图(b)是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动
B．弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin m
C．弹簧振子在2.5 s内的路程为1 m
D．图(b)中的t1时刻振子的速度方向与加速度方向都为负方向
C　[弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为次全振动，故A错误；根据题图(b)可知，弹簧振子的振幅是A＝0.1 m，周期为T＝1 s，则圆频率为ω＝＝2π rad/s，规定向右为正方向，t＝0时刻位移为0.1 m，表示振子从B点开始运动，初相为φ0＝，则振子的振动方程为x＝A sin (ωt＋φ0)＝0.1sin m，故B错误；因周期T＝1 s，则2.5 s＝2T＋，则振子在前2.5 s内的路程为s＝2×4A＋2A＝10×0.1 m＝1 m，故C正确；题图(b)中的t1时刻振子的速度方向为负方向，此时刻振子正在沿负方向做减速运动，即从O向C运动，但加速度方向为正，故D错误。]
6．(人教版P42T3改编)如图所示是甲、乙两个简谐运动的振动图像，则下列说法正确的是(　　)
A．两个简谐运动的振动周期不相同
B．甲振动比乙振动相位超前
C．乙振动比甲振动相位超前
D．两个简谐运动的振动步调相同
B　[由x-t图像知，甲、乙两个简谐运动的振动周期一样，A项错误；t＝0时，对甲振动x甲＝0，对乙振动x乙＝－A，t＝时，对甲振动x甲′＝A，对乙振动x乙′＝0，据振动方程x＝A sin (ωt＋φ)知，φ甲＝0，φ乙＝－，所以两简谐运动的相位差Δφ＝φ甲－φ乙＝0－＝，即甲振动比乙振动相位超前，B项正确，C项错误；因Δφ≠0，故两振动步调不一致，故D项错误。]
7．(多选)P、Q两个质点做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法中正确的是(　　)
A．P、Q的振幅之比是2∶1
B．P、Q的振动周期之比是2∶1
C．P、Q在0～1.2 s内经过的路程之比是1∶1
D．t＝0.45 s时刻，P、Q的位移大小之比是1∶1
ABC　[由振动图像可知P的振幅为10 cm，Q的振幅为5 cm，则P、Q的振幅之比是2∶1，故A正确；由振动图像可知P的周期为1.2 s，Q的周期为0.6 s，则P、Q的周期之比是2∶1，故B正确；在0～1.2 s内P完成一个周期的振动，则路程为40 cm，Q完成两个周期的振动，则路程也为40 cm，故路程之比是1∶1，故C正确；P和Q离开平衡位置的位移方程为xP＝0.1 sin m，xQ＝0.05sin m，则t＝0.45 s时刻，P、Q的位移分别为xP＝ m，xQ＝－0.05 m，则P、Q的位移大小之比是∶1，故D错误。故选ABC。]
8．一水平弹簧振子做简谐运动，其位移与时间的关系如图所示。
(1)由图中信息写出此简谐运动的振幅、圆频率及这个简谐运动的位移随时间变化的关系式(用正弦函数表示)。
(2)从t＝0到t＝6.5×10-2 s的时间内，振子通过的路程为多大？
[解析]　(1)由题图可知T＝2×10-2 s，A＝2 cm，圆频率为ω＝＝ rad/s＝100π rad/s，t＝0时，x＝－A，则位移随时间变化的关系式为x＝2sin cm。
(2)从t＝0到t＝6.5×10-2 s，t＝6.5×10-2 s，即t＝T，一个周期内振子通过的路程为4A，从t＝0到t＝6.5×10-2 s的时间内，振子通过的路程s＝×4A＝26 cm。
[答案]　(1)2 cm　100π rad/s　x＝2sin cm　 (2) 26 cm
9．如图甲是演示简谐运动图像的装置。当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速地拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系，板上的直线OO′代表时间轴。图乙是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线，若板N1和板N2的速度v1和v2的关系为v2＝2v1，且OO′1＝OO′2，则板N1、N2上曲线所代表的振动周期T1和T2的关系正确的是(　　)
A．T2＝　　　　　　 B．T2＝
C．T2＝T1 D．T2＝2T1
A　[设OO′1＝OO′2＝L，则T1＝，2T2＝，根据题意有v2＝2v1，故T1＝4T2，即T2＝，故A正确，B、C、D错误。]
10．(多选)一个质点做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．在任意1 s内质点经过的路程都是2 cm
B．在5 s末，质点的速度为零
C．t＝1.5 s和t＝2.5 s两个时刻，质点的位移和速度方向都相反
D．从t＝1.5 s时刻到t＝4.5 s时刻，质点通过的路程为(4＋2)cm
BD　[由题图可知质点做简谐运动的周期T＝4 s，则1 s＝T，1 s内质点通过的路程不一定是一个振幅的大小，即不一定是2 cm，A错误；在5 s末，质点运动至最大位移处，速度为零，B正确；t＝1.5 s和t＝2.5 s两个时刻，质点的位移方向相反，但速度方向相同，C错误；根据题图可知质点做简谐运动的位移表达式为x＝2sin t(cm)，从t＝1.5 s时刻到t＝4.5 s时刻，质点运动了3 s，从位移 cm处到达位移－2 cm处，后再次回到位移 cm处，通过的路程为(4＋2)cm，D正确。]
11．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t′＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t′＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t′＝0.6 s时，振子速度第二次变为v。B、C之间的距离为20 cm。
(1)求弹簧振子振动周期T；
(2)求振子在4.0 s内通过的路程；
(3)取从O向B为正方向，振子从平衡位置向C运动开始计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像。
[解析]　(1)根据已知条件分析得振子的运动情况如图：
结合运动的对称性可知周期T＝0.6 s＋(0.6 s－0.2 s×2)＝0.8 s。
(2)B、C之间的距离为20 cm，则A＝10 cm
在4.0 s＝5T的时间内，振子的路程s＝5×4A＝200 cm＝2.0 m。
(3)已知振幅为10 cm，规定从O到B为正方向，t＝0时刻振子从平衡位置向C运动，振子的位移为0，运动的方向为负，则弹簧振子位移表达式为
x＝－A sin t＝－10sin 2.5πt cm
振动图像如图所示。
[答案]　(1)0.8 s　(2)2.0 m　(3)见解析
12．如图所示，倾角为θ、光滑的斜面体固定在水平面上，底端有垂直斜面的挡板，劲度系数为k的轻质弹簧，下端拴接着质量为M的物体B，上端放着质量为m的物体P(P与弹簧不拴接)。现沿斜面将P向下压一段距离后释放，物体P就沿斜面上下做简谐运动，振动过程中，P始终没有离开弹簧，已知重力加速度为g。试求：
(1)P振动的振幅的最大值；
(2)当P以最大振幅振动时，B对挡板的最大压力的大小。
[解析]　(1)P若做简谐运动，则P位于平衡位置时，沿斜面方向受到的合外力等于零，而P在沿斜面方向上的受力有重力的分力和弹簧的弹力，可知二者大小相等，方向相反，即kΔx＝mg sin θ，所以Δx＝，由题意知，P向上到达最高点的位置时，弹簧的长度恰好等于原长，即A＝Δx＝。
(2)P以最大振幅振动时，由简谐运动的特点可知，P到达最低点时，弹簧的压缩量Δx′＝2Δx，以B为研究对象，则B受到重力、斜面的支持力、挡板的支持力和弹簧沿斜面向下的压力，沿斜面的方向有FNmax＝Mg sin θ＋k·Δx′，得FNmax＝Mg sin θ＋2mg sin θ。根据牛顿第三定律知，B对挡板的最大压力F′Nmax＝FNmax＝Mg sin θ＋2mg sin θ。
[答案]　(1)　(2)Mg sin θ＋2mg sin θ
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第二章 机械振动
2．简谐运动的描述
[学习目标]　1．知道什么是弹簧振子，理解振动的平衡位置和简谐运动的概念。2．通过观察和分析，理解简谐运动的位移—时间图像是一条正弦函数图线。3．通过对简谐运动图像的描绘，认识简谐运动的特点。4．通过对生活中振动实例的观察，体会振动对生活的影响。
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1　弹簧振子位移与运动时间关系的函数表达式是怎样的？表达式中的各个物理量与简谐运动有什么关联？
问题2　怎样研究弹簧振子的周期与振幅的关系？
问题3　怎样描述振动物体在各个时刻所处的振动状态？
探究重构·关键能力达成
【链接教材】　如人教版教材P36图所示。
知识点一　简谐运动的振幅、周期和频率
M点和M′点表示水平弹簧振子在平衡位置O点右端及左端的最远位置。
问题1　小球离开平衡位置的最大距离是多少？小球的位移大小与A之间是什么关系？
提示：振幅A，|x|≤A。
问题2　从M′点开始，经历什么过程才算完成了一次周期性运动？小球从任意一点P0向左运动，再回到P0向右运动，算是一次全振动吗？
提示：M′→O →M→O→M′的一个全振动即完成了一次周期性运动；不是。
问题3　先后将振子拉到P0点和M点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？
提示：周期相同，振动的周期取决于振动系统本身，与振幅无关。位移相同，均为零。路程不相同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关。
【知识梳理】　
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的__________，叫作振动的振幅。用A表示，国际单位为米(m)。
(2)物理意义：振幅是描述振动______大小的物理量；振动物体的运动范围是振幅的______。
最大距离
幅度
两倍
2．周期和频率
(1)全振动
类似于O→M→O→M′→O的一个________振动过程称为一次全振动。
完整的
提醒：不管以哪个位置作为研究的起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。
全振动
秒
全振动
赫兹
Hz
2πf
【思考讨论】
问题1　做简谐运动的物体，一个周期内，路程和振幅有什么定量关系？半个周期呢？
提示：无论从什么位置开始计时，振动物体在一个周期内通过的路程均为4A。
无论从什么位置开始计时，振动物体在半个周期内通过的路程均为2A。
问题2　同一个振动系统，振动周期与振幅有关吗？
提示：一个振动系统的周期有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。
【知识归纳】
1．全振动的“四个特征”
(1)物理量特征：位移x、加速度a、速度v三者第一次同时与初始状态相同。
(2)时间特征：历时一个周期。
(3)路程特征：振幅的4倍。
(4)相位特征：增加2π。
2．简谐运动中振幅与位移、路程、周期的关系
振幅与位移 (1)振幅等于位移的最大值
(2)同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化
振幅与路程
振幅与周期 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关
√
√
√
AC　[设a、b为小球做简谐运动的两个端点，O为平衡位置。
①若小球开始运动的方向先向左，再向M点运动，运动图线如图甲所示。
甲
②若小球开始运动的方向向右，经过M点继续向右运动，运动图线如图乙所示。
乙
(2)简谐运动的对称性可分为空间对称性和时间对称性。
①空间对称性：经过平衡位置两侧的对称点时，加速度的大小相等，方向相反；速度的大小相等，方向可能相同，可能相反；动能相同。
②时间对称性：不论是从对称点回到平衡位置，还是从平衡位置运动到对称点，所用时间相等。
√
√
√
这两个时刻的振动情况完全相同，加速度一定相等，选项C正确；除在平衡位置时，如果t时刻和t＋Δt时刻相差半个周期，则这两个时刻振子的位移大小相等，方向相反，弹簧的长度显然是不相等的，选项D错误。 ]
√
√
【链接教材】　如人教版教材P38图为两个完全相同的弹簧振子。
知识点二　相位
问题1　将两个小球向下拉相同的距离后同时放开，可以看到什么现象？
提示：两个小球在相同位置同时释放，同时经过平衡位置、同时到达最高点、同时回到平衡位置、同时回到最低点……两个小球的振动步调完全一致。
问题2　若当第一个小球到达平衡位置时再释放第二个，可以看到什么现象？
问题3　如何描述上述现象的不同？
【知识梳理】　
1．相位
物理学中把_______叫作相位。φ是t＝0时的相位，称作________，或初相。
2．相位差
(1)定义：两个具有相同______的简谐运动的相位之差。
(2)表示：两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝________。
ωt＋φ
初相位
频率
φ1－φ2
(3)意义：表示1的相位比2______Δφ，或者说2的相位比1______Δφ。
提醒：比较相位或计算相位差时，要用同种函数来表示振动方程。
3．简谐运动的位移表达式
简谐运动的表达式可以写成x＝___________________或x＝______________。振幅、周期、初相位是描述简谐运动特征的物理量。
超前
落后
A sin (ωt＋φ)
问题1　写出该简谐运动的位移表达式。
问题2　物体的初相位是多少？0.5 s末的相位是多少？
【知识归纳】
1．相位差的取值范围、同相和反相、超前和滞后
(1)相位差的取值范围：－π≤Δφ≤π。
(2)同相和反相：Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相；Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相。
(3)超前和滞后：Δφ＞0，表示振动1比振动2超前；Δφ<0，表示振动1比振动2滞后。
【典例3】　[链接教材P39例题](简谐运动的描述)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动。在t＝0时刻，振动物体从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振动物体的速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振动物体的速度第二次变为－v。
(1)求弹簧振子的振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振动物体在4.0 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm，从振动物体经过平衡位置向B运动开始计时，写出弹簧振子的位移表达式。
[答案]　(1)1.0 s　(2)200 cm　(3)x＝12.5sin 2πt(cm)
【教材原题P39例题】　如图2.2-5，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距20 cm。小球经过B点时开始计时，经过0.5 s首次到达C点。
(1)画出小球在第一个周期内的x-t图像。
(2)求5 s内小球通过的路程及5 s末小球的位移。
分析　根据简谐运动的位移与时间的函数关系，可以画出简谐运动的x-t图像。
要得到简谐运动的位移与时间的函数关系，就需要首先确定计时的起点，进而确定初相位。根据振幅、周期及初相位写出位移与时间的函数关系，画出图像。
我们也可以采用描点法来画出位移—时间图像。根据题意，可以确定计时起点的位移、通过平衡位置及最大位移处的时刻，在x-t图上描出这些特殊坐标点，根据正弦图像规律画出图像。
根据简谐运动的周期性，经过一个周期，小球回到起始位置，通过的路程为振幅的4倍。据此，可以求出5 s内小球通过的路程及5 s末小球的位移。
据此，可以画出小球在第一个周期内的位移—时间图像，如图2.2-6所示。
[答案]　见解析
【典例4】　(简谐运动的函数表达式)如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为(　　)
√
应用迁移·随堂评估自测
1．(多选)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间振动，不考虑摩擦，则(　　)
A．从B→O→C→O→B为一次全振动
B．从O→B→O→C→B为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．B、C两点关于O点对称
√
√
√
ACD　[O点为平衡位置，B、C为两侧最远点，则从B起经O、C、O、B的路程为振幅的4倍，为一次全振动，A正确；从O起经B、O、C、B的路程为振幅的5倍，超过一次全振动，B错误；从C起经O、B、O、C的路程为振幅的4倍，为一次全振动，C正确；因不考虑弹簧振子的系统的摩擦，所以它的振幅一定，故B、C两点关于O点对称，D正确。]
2．一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为(　　)
A．4 cm　10 cm　 B．4 cm　100 cm
C．0　24 cm D．0　100 cm
√
3．如图所示，滑块在M、N之间做简谐运动。以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴正方向。若滑块位于N点时开始计时，则其振动图像为(　　)
√
A　　　　 　　　　B
C　　　 　　　　　D
A　[向右为x轴正方向，滑块运动到N点时，具有正方向最大位移，所以滑块位于N点时开始计时，振动图像应是余弦曲线，如图所示，故选A。]
回归本节知识，完成以下问题：
1．描述简谐运动的物理量有哪些？
提示：振幅、周期、频率、相位。
2．如何判断一个振动过程是否为一个全振动？
提示：在判断物体的振动过程是否为一次全振动时不仅要看物体是否回到原位置，而且要判断物体到达该位置的振动状态(速度、加速度、位移)是否与原位置相同。
3．简谐运动的表达式中含有哪些物理信息？
提示：振幅、圆频率、初相位。
题号
1
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2
4
6
8
7
9
10
11
12
?题组一　简谐运动的振幅、周期和频率
1．如图所示，弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B第一次运动到O的时间是0.5 s，则下列说法正确的是(　　)
课时分层作业(七)　简谐运动的描述
题号
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A．振幅是10 cm
B．振动周期是1 s
C．经过一次全振动，振子通过的路程是10 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
√
题号
1
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√
2．如图所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA＝1 cm，然后释放振子，经过0.2 s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A′点，OA′＝2 cm，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为(　　)
A．0.2 s B．0.4 s
C．0.1 s D．0.3 s
题号
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A　[弹簧振子的周期与弹簧的劲度系数、振子的质量有关，与振幅无关，故A正确。]
√
题号
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5．如图(a)所示水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图(b)是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，下列说法正确的是(　　)
题号
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√
7．(多选)P、Q两个质点做简谐运动
的振动图像如图所示，下列说法中正
确的是(　　)
A．P、Q的振幅之比是2∶1
B．P、Q的振动周期之比是2∶1
C．P、Q在0～1.2 s内经过的路程之比是1∶1
D．t＝0.45 s时刻，P、Q的位移大小之比是1∶1
题号
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√
√
题号
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8．一水平弹簧振子做简谐运动，其位移与时间的关系如图所示。
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(1)由图中信息写出此简谐运动的振幅、圆频率及这个简谐运动的位移随时间变化的关系式(用正弦函数表示)。
(2)从t＝0到t＝6.5×10-2 s的时间内，振子通过的路程为多大？
题号
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9．如图甲是演示简谐运动图像的装置。当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速地拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系，板上的直线OO′代表时间轴。图乙是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线，若板N1和板N2的速度v1和v2的关系为v2＝2v1，且OO′1＝OO′2，则板N1、N2上曲线所代表的振动周期T1和T2的关系正确的是(　　)
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11．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t′＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t′＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t′＝0.6 s时，振子速度第二次变为v。B、C之间的距离为20 cm。
(1)求弹簧振子振动周期T；
(2)求振子在4.0 s内通过的路程；
(3)取从O向B为正方向，振子从平衡位置向C运动开始计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像。
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[解析]　(1)根据已知条件分析得振子的运动情况如图：
结合运动的对称性可知周期T＝0.6 s＋(0.6 s－0.2 s×2)＝0.8 s。
(2)B、C之间的距离为20 cm，则A＝10 cm
在4.0 s＝5T的时间内，振子的路程s＝5×4A＝200 cm＝2.0 m。
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[答案]　(1)0.8 s　(2)2.0 m　(3)见解析
12．如图所示，倾角为θ、光滑的斜面体固定在水平面上，底端有垂直斜面的挡板，劲度系数为k的轻质弹簧，下端拴接着质量为M的物体B，上端放着质量为m的物体P(P与弹簧不拴接)。现沿斜面将P向下压一段距离后释放，物体P就沿斜面上下做简谐运动，振动过程中，P始终没有离开弹簧，已知重力加速度为g。试求：
(1)P振动的振幅的最大值；
(2)当P以最大振幅振动时，B对挡板的最大压力的大小。
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(2)P以最大振幅振动时，由简谐运动的特点可知，P到达最低点时，弹簧的压缩量Δx′＝2Δx，以B为研究对象，则B受到重力、斜面的支持力、挡板的支持力和弹簧沿斜面向下的压力，沿斜面的方向有FNmax＝Mg sin θ＋k·Δx′，得FNmax＝Mg sin θ＋2mg sin θ。根据牛顿第三定律知，B对挡板的最大压力F′Nmax＝FNmax＝Mg sin θ＋
2mg sin θ。
题号
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122．简谐运动的描述
[学习目标]　1．理解简谐运动的振幅、周期、频率、相位和初相位的概念。2．知道周期和频率的关系。3．知道简谐运动的表达式，掌握表达式中各物理量的意义，体会数形结合思想的应用。4．通过实例观察探究测量物体振动周期的方法。
　简谐运动的振幅、周期和频率
【链接教材】　如人教版教材P36图所示。
M点和M′点表示水平弹簧振子在平衡位置O点右端及左端的最远位置。
问题1　小球离开平衡位置的最大距离是多少？小球的位移大小与A之间是什么关系？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
问题2　从M′点开始，经历什么过程才算完成了一次周期性运动？小球从任意一点P0向左运动，再回到P0向右运动，算是一次全振动吗？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
问题3　先后将振子拉到P0点和M点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【知识梳理】　
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的__________，叫作振动的振幅。用A表示，国际单位为米(m)。
(2)物理意义：振幅是描述振动______大小的物理量；振动物体的运动范围是振幅的______。
2．周期和频率
(1)全振动
类似于O→M→O→M′→O的一个________振动过程称为一次全振动。
提醒：不管以哪个位置作为研究的起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。
(2)周期(T)和频率( f )
①周期T：做简谐运动的物体完成一次________所需要的时间，叫作振动的周期。单位：____。
②频率f：物体完成________的次数与所用时间之比叫作振动的频率。单位：______，简称赫，符号是______。
③周期T与频率f的关系式：f＝。
提醒：简谐运动的频率不是用来描述振动物体某时刻运动快慢的物理量，而是用来描述一次全振动快慢的物理量。
④ω：一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，ω＝＝________。
【思考讨论】
问题1　做简谐运动的物体，一个周期内，路程和振幅有什么定量关系？半个周期呢？
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问题2　同一个振动系统，振动周期与振幅有关吗？
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【知识归纳】
1．全振动的“四个特征”
(1)物理量特征：位移x、加速度a、速度v三者第一次同时与初始状态相同。
(2)时间特征：历时一个周期。
(3)路程特征：振幅的4倍。
(4)相位特征：增加2π。
2．简谐运动中振幅与位移、路程、周期的关系
振幅与位移 (1)振幅等于位移的最大值 (2)同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化
振幅与路程 振动中的路程是随时间不断增大的，不同时间内路程与振幅的对应关系： (1)t＝T时，s＝4A(t＝nT时，s＝n·4A) (2)t＝T时，s＝2A (3)t＝T时，可能有s＝A、s>A、s振幅与周期 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关
【典例1】　(简谐运动的位移、振幅和路程的关系)一质点做简谐运动，振幅为A、周期为T，O为平衡位置，B、C为两侧最大位移处。P为运动轨迹上的一点，P点与O、B、C三点均不重合，从质点经过P点时开始计时，下列说法正确的是(　　)
A．经过时，质点的速度与经过P点时的速度相同
B．经过，质点的路程等于2A
C．经过，质点的路程不可能大于A
D．经过，质点的瞬时速度不可能与经过P点时相等
思路点拨：求解本题的关键是明确简谐运动的振幅、周期的含义，知道一个周期内质点的路程等于振幅的4倍、半个周期内质点的路程等于振幅的2倍。内质点的路程可能等于一个振幅，也可能大于或小于一个振幅。
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【典例2】　(人教版P42T1改编)(简谐运动的周期性及多解性)(多选)一个小球在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s小球第一次经过M点，再继续运动，又经过2 s它第二次经过M点，则该小球做简谐运动的周期可能为(　　)
A． s　　B． s　　C．16 s　　D．14 s
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　对简谐运动的周期性和对称性的理解
(1)简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可做如下判断：
①若t2－t1＝nT(n＝0，1，2，…)，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同。
②若t2－t1＝nT＋T(n＝0，1，2，…)，则t1、t2两时刻，描述振动物体运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等、方向相反。
(2)简谐运动的对称性可分为空间对称性和时间对称性。
①空间对称性：经过平衡位置两侧的对称点时，加速度的大小相等，方向相反；速度的大小相等，方向可能相同，可能相反；动能相同。
②时间对称性：不论是从对称点回到平衡位置，还是从平衡位置运动到对称点，所用时间相等。
　相位
【链接教材】　如人教版教材P38图为两个完全相同的弹簧振子。
问题1　将两个小球向下拉相同的距离后同时放开，可以看到什么现象？
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问题2　若当第一个小球到达平衡位置时再释放第二个，可以看到什么现象？
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问题3　如何描述上述现象的不同？
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【知识梳理】　
1．相位
物理学中把__________叫作相位。φ是t＝0时的相位，称作________，或初相。
2．相位差
(1)定义：两个具有相同______的简谐运动的相位之差。
(2)表示：两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝____________。
(3)意义：表示1的相位比2______Δφ，或者说2的相位比1______Δφ。
提醒：比较相位或计算相位差时，要用同种函数来表示振动方程。
3．简谐运动的位移表达式
简谐运动的表达式可以写成x＝__________________________或x＝______________。振幅、周期、初相位是描述简谐运动特征的物理量。
【思考讨论】　如图所示，质点M沿半径A＝10 cm的圆周逆时针匀速转动，角速度ω＝2π，初始时刻(t＝0)M点在x轴上的投影P点坐标xP＝5 cm。
问题1　写出该简谐运动的位移表达式。
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问题2　物体的初相位是多少？0.5 s末的相位是多少？
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【知识归纳】
1．相位差的取值范围、同相和反相、超前和滞后
(1)相位差的取值范围：－π≤Δφ≤π。
(2)同相和反相：Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相；Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相。
(3)超前和滞后：Δφ＞0，表示振动1比振动2超前；Δφ<0，表示振动1比振动2滞后。
2．对简谐运动的表达式x＝A sin 的理解
(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。
(2)根据表达式结合ω＝＝2πf可确定ω、T、f。
(3)根据表达式可求解某时刻的位移。
(4)表达式反映了简谐运动的周期性：
当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝n·2π(n＝0，1，2，…)时，即Δt＝t2－t1＝＝nT(n＝0，1，2，…)时，振子位移相同，每经过一个周期T完成一次全振动。
【典例3】　[链接教材P39例题](简谐运动的描述)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动。在t＝0时刻，振动物体从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振动物体的速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振动物体的速度第二次变为－v。
(1)求弹簧振子的振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振动物体在4.0 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm，从振动物体经过平衡位置向B运动开始计时，写出弹簧振子的位移表达式。
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【典例4】　(简谐运动的函数表达式)如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为(　　)
A．x＝R sin 　 B．x＝R sin
C．x＝2R sin D．x＝2R sin
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．(多选)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间振动，不考虑摩擦，则(　　)
A．从B→O→C→O→B为一次全振动
B．从O→B→O→C→B为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．B、C两点关于O点对称
2．一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为(　　)
A．4 cm　10 cm　 B．4 cm　100 cm
C．0　24 cm D．0　100 cm
3．如图所示，滑块在M、N之间做简谐运动。以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴正方向。若滑块位于N点时开始计时，则其振动图像为(　　)
A　　　　 　　　　B
C　　　 　　　　　D
回归本节知识，完成以下问题：
1．描述简谐运动的物理量有哪些？
2．如何判断一个振动过程是否为一个全振动？
3．简谐运动的表达式中含有哪些物理信息？
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