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六安一中2025届高三综合模拟试卷
数学试卷（一）
时间：120分钟 满分:150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，且 ，则 的子集的个数为（ ）
A． 3 B． 4 C． 8 D． 16
2．已知复数 满足： ， i 为虚数单位），则 （ ）
A． 5 B． C． D．
3．的展开式中的系数为（ ）
A．35 B．210 C．126 D．226
4．已知 ，则＂＂是＂＂的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.．如图所示，在三棱柱 中，若点 分别满足 ，平面 将三棱柱分成体积为 的两部分，则
A． B．
C． D．16：11
6．已知正方体的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点A,B,C是函数 ()图像和函数 ()图像的连续三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线 ，其中 是过抛物线焦点 的两条互相垂直的弦，直线 的倾斜角为 ，当 时，如图所示的＂蝴蝶形图案（阴影区域）＂的面积为（ ）
A． 4 B． 8 C． 16 D． 32
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知正数m,n满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， 为奇函数
B． 的图象关于直线 对称
C．当 时，
D．若 ，则
11． 1688 年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程： ，则下列判断正确的是（ ）
A．笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点
B．笛卡尔叶形线关于直线 对称
C．当 时，笛卡尔叶形线的顶点坐标为
D．当 时，若点 是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则 的最大值为 18
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ．
13．已知正 的边长为 ，平面 内的动点 满足 ，则 的最大值是 ．
14．人工智能(Arifcial Intelligence)，英文缩写为 AI是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学.某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用 AI技术生成奖券码:在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定:如果奖券码为 0，则获一等奖:如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
在 2024 年＂五四青年节＂，某校举办了有关五四运动的知识竟赛活动，本次知识竞赛的晋级环节设置 3 道必答题目，至少答对 2 道题目则晋级，否则被淘汰。某年级有 20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这 3 道题目答对的概率分别为 ，且 3 道题目答对与否互不影响.
（1）设 表示这 20 人中晋级的人数，求 ；
（2）记这 20 人中 人晋级的概率为 ，求 取得最大值时 的取值．
16．（本小题满分15分）
已知函数.
（1）若为R上的单调函数，求k的取值范围；
（2）若函数，求证；k可以取无数个值，使得每一个k的取值都恰有三个不同的零点.
17．（本小题满分15分）
在三凌锥P-ABC中，PA=BC=,PB=AC=2,AB=.D为AC的中点.
（1）求证：；
（2）若二面角P—AB—C的大小为，求直线AC与平面PBC所成的角.
18．（本小题满分17分）
已知椭圆，A,B分别是W的左、右顶点，C是W的上顶点，的面积为2，且.
（1）求椭圆W的方程式及长轴长；
（2）已知点M（2,1），点P在直线AC上，设直线PM与x轴交于E，直线BP与直线EC交于点Q，判断点Q 是否在椭圆W上，并说明理由.
19．（本小题满分17分）
已知正项数列 的前 项和为 ，且 ．当 时，将 进行重新排列，构成新数列 ，使其满足： 或 （其中 ）．
（1）当 时，写出所有满足 的数列 ；
（2）试判断数列 是否为等差数列，并加以证明；
（3）当 时，数列 满足： 是公差为 且 的等差数列，求公差 ．
六安一中2025届高三综合模拟试卷
数学试卷（一） 参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C B A A B A B AD ACD ABD
5．【答案】 A 【详解】 ； 几何体 为三棱台，
设三棱柱 的高为 ，
， ．
8．【答案】 B 【详解】由题意知 ，直线 的倾斜角 ，则直线 的方程为 ，联立 ，消去 可得： ，解得 ， ，由抛物线的定义可得 ，根据抛物线的对称性结合 是过抛物线焦点 的两条互相垂直的弦，可知 ，故 ，
故＂蝴蝶形图案（阴影区域）＂的面积为
10．【答案】 ACD 【详解】对于 A ，当 时， ，函数 是奇函数， A 正确；对于 B， ， B 错误；
对于 C，当 时， 正确；
对于 D ，由 ，得 ，令 ，
而 ，且均在 时取等号，则 ，因此 正确．
11．【答案】 ABD
【详解】对于 A，在 中，令 ，则 ，令 ，则 ，即笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点 ，故 A 正确；对于 B，在 中，将点 代入可得： ，显然方程不变，即笛卡尔叶形线关于直线 对称，故 B 正确；对于 C，当 时，笛卡尔叶形线方程： ．令 ，解得 或 ，故顶点坐标 ，故 C 错误；对于 D ，由图象知 离原点距离最大，于是 的最大值为 18 ，故 D 正确．
12．【答案】
13．【答案】
【详解】如图所示，建立直角坐标系． ．
满足 ，
点 的轨迹方程为： ，
令 ．
又 ，则 ，
．
的最大值是 ．
15．（1）设 分别表示 3 道题目答对事件，
令该年级的 20 名同学中 1 人晋级的事件为 ，则 ，
由题意可知， ，则 ；
（2） ， 最大，则 解得 ，
所以 ，即 取最大值时 的取值为 12 .
16．（1）
（2）
17、
18、
19．（1） 当 时， ，
即 ．
当 时， ，由（1）－（2）得： ，
即 ． ，
即 ．
数列 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列．
．
由题意可得当 且 的数列 为： 和 。
（2）数列 不可能为等差数列，证明如下：假设 是等差数列，公差为 ，
当 时，由题意知， 或 3 ，此时， ．
不是等差数列 中的项，与题意不符． 不可能是等差数列；
当 时，由题意， 或 -3 ．此时， ．
不是等差数列 的项，与题意不符．
不可能是等差数列．
综上所述， 不可能是等差数列．
（3）由题意， ，当 时， ，
与题意不符；当 时，记 ，
当 时， ，
，
记 表示集合 中元素的最小值，则 ．
，与题意不符；
当 时，取
综上所述， ．

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