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2025年陕西省西安市铁一中学九年级下学期中考八模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．3
2．下列立体图形中，三视图（主视图、左视图、俯视图）相同的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，是边上的高，是的中点，连接，若，则图中含有内角为的三角形共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．直线绕坐标原点旋转后得到直线（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，于点，于点，和交于点，若，，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知二次函数的图象经过四个象限，则的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题
9．分解因式： ．
10．正八边形的对角线的条数为 条．
11．如图，是的弦，连接、，点在上，，，则扇形的面积为 ．
12．已知正比例函数和反比例函数的图象在第一象限的交点为，则满足 条件时，．
13．如图，点、、分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点为上的动点，过作于于，点为边上一动点，连接，已知，则的最小值为 ．
三、解答题
14．计算：．
15．先化简，再求值：，其中，．
16．解方程：．
17．（尺规作图）如图，请在边，，上分别确定点，，，使得四边形为菱形，请作出菱形（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，，，．求证：．
19．有、、、四个训练场地．抽签决定各班训练位置，规则如下：将正面分别写有字母、、、的四张卡片（除了正面字母不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀，先由一位“体育委员”随机抽取一张卡片，即为他抽取的训练地点，然后将卡片放回、洗匀，再由下一位“体育委员”抽取．已知小明和小亮都是“体育委员”．
(1)小明抽到的训练地点是“场地”的概率为______；
(2)请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮抽到同一训练场地的概率．
20．《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少.请解答上述问题．
21．如图，为了测量建筑物的高度，从距离建筑物底部处60米的点(点与建筑物底部在同一水平面上)出发，沿坡度的斜坡前进米到达点，在点处测得建筑物顶部的仰角为，求建筑物的高度．(结果精确到1米，参考数据：)
22．如图，平行四边形中，，点、分别为边、上的动点，且，设，四边形的面积为，解答下面的问题：
(1)求与的函数关系式；
(2)当点为边中点时，求四边形的面积．
23．学校组织了“环保知识竞赛”，竞赛结束后随机抽取部分学生成绩进行统计，按成绩分为五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答以下问题：
等级 成绩
(1)本次调查一共随机抽取了______名学生成绩，知识竞赛成绩的中位数落在_____等级：
(2)补全频数直方图；
(3)若该校一共有6000名学生，请你估计该校本次知识竞赛成绩达到等级和等级的总人数．
24．如图，的边上有一点，过点，，，且与相切于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
25．如图是篮球运动员慕梓睿在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时，分别以水平地面为轴，出手点竖直方向为轴建立平面直角坐标系．篮球运行的路线可看成抛物线，慕梓睿投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计）
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若防守队员雷莹在原点右侧且距原点1.5米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问雷莹能否碰到篮球？并说明理由．
26．（1）如图1，平行四边形，连接，，则图中与面积相等的三角形有___________；
（2）如图2，，，则的面积最大值是___________；
（3）如图3，市政部门计划在幸福林带修建一个四边形区域的大型游乐场，要求设计院按如下标准设计：段长度为600米，且满足，要求四边形的面积尽可能的大，并计划在上处和处设计两个门，沿建一个观光游览路线，并要求观光游览路线两侧的面积相等，问设计院能否按市政部门的要求设计出来？若能，求出的长或的面积；若不能，请说明理由．
参考答案
1．D
解：的绝对值是3．
故选：D．
2．C
解：A、半球体的主视图和左视图都是半圆，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
B、圆柱体的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
C、球体的主视图、主视图和俯视图都是圆，故本选项符合题意；
D、圆锥体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．B
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4．C
解：，
两边同除以2得，
解得．
故选：C．
5．C
解：∵中，，
∴，
∵，，
∴，
∵中，，是的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴图中含有内角为的三角形有、、、、共5个．
故选：C．
6．B
解：∴由，得时，；时，；
∴直线与x轴交点为，与y轴交点为,
这两个点关于原点的对称点为，，
设直线绕坐标原点旋转后得到直线为，
则，
解得，
∴直线绕坐标原点旋转后得到直线为．
故选：B
7．D
解：∵于点，于点，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
故答案为：D．
8．A
解：，
∵，
∴开口向上，
顶点坐标为，对称轴为，与y轴交点为，
∵二次函数的图象经过四个象限，
∴，
解得，
又∵
∴，
∴的值可以是2．
故选：A
9．
解：，
故答案为：．
10．
解：正八边形的对角线的条数为条，
故答案为：20．
11．
解；∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．或
解：根据题意画出图象如下图所示：
根据对称性可知：另一个交点与点关于原点对称，
∴．
由图象可知：当或时，，
故答案为：或．
13．
解：矩形中，
，，
点、、分别为矩形的边、、的中点，，
，四边形是矩形，
，，
，，
，，
，，
，，
，
点为边上一动点，
当时，取最小值，最小值为3，
的最小值为，
故答案为：．
14．
解：原式
．
15．，
解：
当，时，
原式
16．，
【分析】本题考查解一元二次方程，先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
，
或，
解得，．
17．作图见解析．
如图所示，四边形AMNP即为所求．
18．见解析
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∴．
19．(1)
(2)
（1）解：小明抽到的训练地点是“A场地”的概率为；
故答案为：；
（2）列表如下：
　 A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
由表中可以看出，抽取的两张卡片可能出现的结果共有16种且它们出现的可能性相等，其中小明与小亮抽到同一训练场地的有4种结果，
所以小明与小亮抽到同一训练场地的概率为．
20．合伙买鸡者有9人，鸡的价格为70文钱
解：设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为y文钱，
根据题意得：
解得：
答：合伙买鸡者有9人，鸡的价格为70文钱．
21．63米
如图：作于N，于M．
在中，
∵，，
设，则，
在中，由勾股定理可得：
，即，
解得：或(负数舍去)，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴(米)．
答：建筑物的高度约为63米．
22．(1)
(2)
（1）解：连接，则．
过点A作于点E，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
由高相等时，三角形面积之比等于底边长之比可知：，
∴，
∴四边形的面积为：，
即与的函数关系式为：；
（2）当点为边中点时，，
∴，
23．(1)200；C
(2)见解析
(3)2700
（1）解：本次调查一共随机抽取的学生人数为：(人)，
C等级的人数为：(人)，
所以频数直方图中E等级人数是：(人)
由于一共有200个数据，其中位数是第100、101个数据的平均数，而第100、101个数据都落在C等级，
所以所抽取学生成绩的中位数落在C等级．
故答案为：200；C；
（2）解：由（1）得：C中的人数为人，E组人数是15人，
补全频数分布图如下：
（3）解：(人)．
答：该校本次知识竞赛成绩达到A等级和B等级的总人数2700人．
24．(1)见解析
(2)
（1）证明：作直径，连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
∴．
25．(1)
(2)雷莹不能碰到篮球
（1）解：设抛物线解析式为，把代入解析式得，
解得．
∴抛物线解析式为；
（2）解：雷莹不能碰到篮球，理由如下，
当时，
，
∵，
∴雷莹不能碰到篮球．
26．（1）；（2）；（3）上存在点M，使两侧的面积相等，此时，．
解：（1）设平行四边形的边上的高为h，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
同理，
∴图中与面积相等的三角形有；
故答案为：；
（2）如图，过点A，B，C作圆O，连接，，作于点D，
∵，为定值，
∴当点C到的距离最大时，的面积最大，
,
∴当过点O时，点C到的距离最大，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
此时，
即的面积最大值是；
故答案为：
（3）如图，把绕点D逆时针旋转60度得到，连接，
∵，
∴是等边三角形，
由旋转的性质得：是等边三角形，
∴，，
∴四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴点A，D，E三点共线，
∴，
过A，B，E作圆O，连接，作于点D，
由（2）得：当点E到的距离最大时，的面积最大，
当过点O时，点E到的距离最大，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
假如上存在点M，使两侧的面积相等，则，
如图，过点A作，过点D作，连接，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴上存在点M，使两侧的面积相等，此时，．

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