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2024年中科大少创班科学营第二阶段数学试题
2024年4月20日上午
9:00一10：00播放学习视频10：00一11：30测试
解答题（共5题，每小题20分，计100分）
1.在n维数组空间R”中，可以定义距离d2(x,)三
(1)对n=2的情形，证明d2是R”上的距离.
2)定义距离d=∑-，de=,maxn{一l},证明：d,山，d。是等价距离.
i=1
2.设有限集A={1,2,·,q},定义集合X=A”.在集合X上定义两个元素x=(x1,·,xn)
和y=(y1,·,n)的汉明距离d(x,)=#{i∈A|x卡}
(1)证明：已知正整数r≤n,则集合{y∈X|d(x,)≤r}的元素个数为∑(q-1)'C
(②证明恒等式：q=上q一1C,只允许使用第()间的结论。
(3)设X的子集C有M个元素，满足条件：()C中任意两个元素的距离不小于r;()C是
满足条件的最大子集，证明不等式M≥∑g-1)C
3.证明以下结论：
(1)单点集{xo}是闭集
(2)任意个开集的并仍是开集.
(3)有限个开集的交仍是开集，
(4)在有理数集Q上定义p进距离，则Z二Q不是闭集·
4.回答下列问题：
(1)写出柯西序列的定义：
(2)已知{xn}和{yn}是距离空间R上的柯西序列，求证：{xnn}也是R上的柯西序列.
(3)设{xn}是汉明空间上的柯西序列，求证：N∈Z,使得n>N,xn=xw
5.在有理数集Q上，定义p进距离d(x,）=x-p·
(1)证明：不同的p进距离互不等价.
(2)证明：在p进距离下1im(1+p)P”=1.
n-++00
2024年中科大少创班科学营第二阶段数学解析
1.(1).n=2时，即为点(x1,y1)和点(x2,y2)之间的连线就是两点之间最短的
路径，路径与x=x1,y=y2两条直线围成一个直角三角形，其中直角边长分别为
x1-x2和y1-y2,所以路径长V(1-2)2+(1-2)7
(2)因为max4-川≤∑k-川≤n:axk-川
n只与维数有关，所以d.与d1等价
m-川s∑-wFs之omax-%Pn·ma-
n只与维数有关，所以d2与d等价，进而与d1等价
2.(1)假设元素不同的维数有r个，当x确定时，每个不同的维度里y可以
有q-1种选择
那么y可以先从n个维数里选择r个维度，有C个选择，然后每个维度里有q-
1种选择，一共r个维度，即（一1）种选择，所以一共C(-1)种选择
因为元素不同的维数可以为0,1,2，r,所以一共0C(一1)种选择
(2)d(x,y)所有情况下的取值无外乎0,1,2，…，n,所以当r=n时，可以说囊
括了Y的所有可取值，这个可取值除了可以按照题(1)用oC(一1)描述
外，还可以如此描述：Y的每个维度有q种选择，一共n个维度，故一共种
情形，所以有=oC(-1)
(3)C中任意两个元素距离大于等于，C是极大的，那么任何一个不属于C
的x,其到C中任意元素的距离小于r,而任何属于C的x,其到C的距离为0，
所以对于X中任何一个元素，其到C的距离均小于r,假设C中某元素为c到
该元素距离小于r的集合称为B(c),所有C中元素c的B(c)构成集合
∈-1()，那么X中任意一个元素必然属于其中一个B,(c),即属于
e
-1(),所以X的元素数量小于等于∈-1()的元素数量，
-1()的元素数量等于C的元素数量M乘以B-(c)的元素数量，后者等于
dC(-1),所以得解。
3.(1)
即证{xx≠x}为开集，容易验证
任意非x点，总存在邻域dx1,,邻域内处处在xx≠内，
所以{xx≠x}为开集，所以原集合为闭集

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