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2025年四川省泸州市田家炳中学联考高一半期测试
数学试卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．考试结束后，只将答题卡交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数满足则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．若，则
C．零向量没有方向 D．模为0的向量与任意非零向量共线
3．在如图△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在处取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．
6．记的内角的对边分别为，已知，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知角终边在第二象限，且，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．设△ABC的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．16 D．12
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知,则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期是
C．图象的一个对称中心是 D．上单调递增
10．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．的表达式可以写成
C．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是偶函数
D．若方程在上有且只有8个根，则
11．已知为圆锥底面圆的直径（为顶点，为圆心），点为圆上异于的动点，，则下列结论正确的为（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．的取值范围为
C．若为线段上的动点，则
D．过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知为共线向量，且，则 .
13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，BC边上的高为，则 ．
14．对于三角形形状的判断，以下说法正确的有：
①若，则为等腰三角形；
②若，则△ABC为等边三角形．
③，则△ABC为直角三角形．
④若△ABC平面内有一点满足：，且，则△ABC为等边三角形
⑤若，则△ABC为钝角三角形．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题13分）已知不共线的向量满足的夹角为.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
16．（本题15分）已知分别为△ABC三个内角的对边，.
(1)求；
(2)若，求△ABC的面积.
17．（本题15分）据统计，某产品在过去一段时间内的日销售量(单位：千克)与日销售单价(单位：元)均为时间(天)的函数，日销售量(为常数)，且时，日销售量为26千克，日销售单价满足函数.
（1）写出该商品日销售额关于时间的函数(日销售额=日销售量×销售单价)；
（2）求这段时间内该商品日销售额的最大值.
18．（本题17分）已知函数.
(1)写出函数的最小正周期；
(2)若是偶函数，求的减区间；
(3)求在区间上的值域.
19．（本题17分）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量，
(1)若向量为函数的伴随向量，求；
(2)若函数为向量的伴随函数，在△ABC中，，且，求证：．
(3)若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C A B C A ABC AB
题号 11
答案 AC
12．
13．3
14．②④⑤
15．（1）（1）
（2）（2），，
，
，
，
.
16（1）由，则，
所以，
即，又，
，即，
.
（2），
，
，
，即，又，
（当时等式成立），
.
17．解：（1）由题意可知，解得.
∴.
所以.
（2）当时，，
当且仅当，即时，.
当时，，当或时，.
因为，所以时，.
答：时销售额最大，最大日销售额为625元.
18．（1）函数的最小正周期为；
（2）因，
则，
因是偶函数，则，
∵，∴，
所以，
由，得，，
所以的减区间是；
（3）当，则，∴
所以在区间上的值域为.
19．（1）因为，
则，故.
（2）依题意，，
由可得，
因，则，故，解得.
，①
因，则，
②+①可得：，②-①可得，
两式相比可得：，即.
（3）依题意，，
由可得，
即，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象.
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数与函数的图象在上有四个交点.
由图知，当且仅当或时，两者有四个交点.
故实数的取值范围为.

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