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内蒙古自治区包头市第一中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．－
3．在中，内角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．的值为（ ）
A． B． C． D．1
5．已知，且与垂直，则等于
A． B．± C．± D．±
6．已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
7．如图，平行四边形ABCD中，M是BC中点，N是CD上靠近点D的三等分点，若（，），则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．由于潮汐，某港口一天的海水水位（单位：）随时间（单位：h，）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为，最低水位为，则该港口一天内水位不小于的时长为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．函数的一条对称轴方程为，则可能的取值为（ ）
A． B． C． D．
10．关于向量，下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．已知的内角的对边分别为，，，，点为的外接圆圆心，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若，则
13．已知单位向量，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为 .
14．如图，某幼儿园计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知点M，N分别在AB，BC上，，则最长为 m．
四、解答题
15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求a，c的值；
(2)求的值．
16．函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，求在上的值域.
17．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长.
18．已知向量，满足，且，.
(1)求；
(2)求向量与的夹角的余弦值；
(3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
19．定义非零向量的“相伴函数”为（），向量称为函数（）的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．
(1)设（），写出函数的相伴向量；
(2)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数，若且，求的取值范围；
(3)已知，，为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
内蒙古自治区包头市第一中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C B B D D C BD AB
题号 11
答案 ACD
1．C
【详解】因为，所以．
故选：C
2．C
【详解】.
故选：C.
3．C
【详解】由正弦定理，得，解得，
故选：C.
4．B
【详解】.
故选：B
5．B
【详解】试题分析：根据与垂直，可得，整理可得即，所以，选B.
6．D
【详解】设，由余弦定理，
得，整理得，所以，
所以为等腰三角形．
故选：D
7．D
【详解】解：因为，
所以，所以，
所以，，．
故选：D
8．C
【详解】由题知，解得.
所以.
令，即.
因为，所以，
由正弦函数图象与性质可知，，解得.
所以该港口一天内水位不小于的时长为小时.
故选：C
9．BD
【详解】解：因为函数的一条对称轴方程为，
所以，解得，
所以当时，，
当时，，
当时，，
故选：BD
10．AB
【详解】，当且仅当方向相同或中至少有一个零向量时等号成立，A正确；
当时，，B正确；
若和无法比较大小，C错误；
当时，与可能不共线，D错误.
故选：AB.
11．ACD
【详解】对A，由余弦定理知，又，所以，A正确；
对B，因为点O为ABC的外接圆圆心，所以，，所以，B错误；
对C， ，C正确；
对D，因为，则，
又，即①，
同理，
即，所以②，
联立①②，解得，，，D正确．
故选：ACD
12．/0.25
【详解】，
故答案为：.
13．
【详解】设向量与的夹角为，
由题意可得，
则，又，则.
故答案为：
14．140
【详解】在中，
由余弦定理，得，
所以．
在中，
由余弦定理得，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以．
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）由已知及正弦定理得，
又，．
（2）由余弦定理可得．
．
16．(1)
(2)
【详解】（1）由图可知，，，所以，.
将点代入得，
所以，.
又，所以，
所以.
（2）将的图象向左平移个单位长度，得，
再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，
所以，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以，
故在上的值域为.
17．(1)；
(2).
【详解】（1）由，得，
在中，由余弦定理，得，又，
所以.
（2）由，解得，，
由余弦定理，得，解得，
所以的周长为.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以，即，
又，所以，
（2）因为，所以，即，所以，
所以.
（3），
由题意知且向量与不同向共线，
所以，
当向量与同向共线时，，即得，
解得（负值舍去）.
所以，且，
解得，且，即实数的取值范围为.
19．(1)；
(2)；
(3)存在点
【详解】（1），
所以函数的相伴向量．
（2）由题知，
由，得．
又，即，所以．
又，由正弦定理，得，，
即．
因为，所以，
所以，即的取值范围为．
（3）由（2）知，
所以，
设，因为，，
所以，，
又因为，所以，
所以，
即，所以．
因为，所以，
所以，
又因为，
所以当且仅当时，和同时等于，
所以在图像上存在点，使得．

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