内蒙古自治区包头市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷(含解析)

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内蒙古自治区包头市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷(含解析)

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内蒙古自治区包头市第一中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知向量,则( )
A. B. C. D.
2.已知,则( )
A. B. C. D.-
3.在中,内角所对的边分别为,若,则( )
A. B. C. D.
4.的值为( )
A. B. C. D.1
5.已知,且与垂直,则等于
A. B.± C.± D.±
6.已知的内角A,B,C的对边分别为,则是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形
7.如图,平行四边形ABCD中,M是BC中点,N是CD上靠近点D的三等分点,若(,),则的值为( )
A. B. C. D.
8.由于潮汐,某港口一天的海水水位(单位:)随时间(单位:h,)的变化近似满足关系式,若一天中最高水位为,最低水位为,则该港口一天内水位不小于的时长为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9.函数的一条对称轴方程为,则可能的取值为( )
A. B. C. D.
10.关于向量,下列说法正确的是( )
A. B.若,则
C.若,则 D.若,则
11.已知的内角的对边分别为,,,,点为的外接圆圆心,满足,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12.若,则
13.已知单位向量,向量在向量上的投影向量为,则向量与的夹角为 .
14.如图,某幼儿园计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形活动区域(即区域),地面形状如图所示.已知点M,N分别在AB,BC上,,则最长为 m.
四、解答题
15.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.
(1)求a,c的值;
(2)求的值.
16.函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)若将的图象向左平移个单位长度,再将所得图象的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到的图象,求在上的值域.
17.在中,内角,,所对的边分别为,,,且.
(1)求;
(2)若,且的面积为,求的周长.
18.已知向量,满足,且,.
(1)求;
(2)求向量与的夹角的余弦值;
(3)若向量与的夹角为锐角,求实数的取值范围.
19.定义非零向量的“相伴函数”为(),向量称为函数()的“相伴向量”(其中O为坐标原点).
(1)设(),写出函数的相伴向量;
(2)已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,记向量的相伴函数,若且,求的取值范围;
(3)已知,,为(2)中函数,,请问在的图象上是否存在一点P,使得?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
内蒙古自治区包头市第一中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C B B D D C BD AB
题号 11
答案 ACD
1.C
【详解】因为,所以.
故选:C
2.C
【详解】.
故选:C.
3.C
【详解】由正弦定理,得,解得,
故选:C.
4.B
【详解】.
故选:B
5.B
【详解】试题分析:根据与垂直,可得,整理可得即,所以,选B.
6.D
【详解】设,由余弦定理,
得,整理得,所以,
所以为等腰三角形.
故选:D
7.D
【详解】解:因为,
所以,所以,
所以,,.
故选:D
8.C
【详解】由题知,解得.
所以.
令,即.
因为,所以,
由正弦函数图象与性质可知,,解得.
所以该港口一天内水位不小于的时长为小时.
故选:C
9.BD
【详解】解:因为函数的一条对称轴方程为,
所以,解得,
所以当时,,
当时,,
当时,,
故选:BD
10.AB
【详解】,当且仅当方向相同或中至少有一个零向量时等号成立,A正确;
当时,,B正确;
若和无法比较大小,C错误;
当时,与可能不共线,D错误.
故选:AB.
11.ACD
【详解】对A,由余弦定理知,又,所以,A正确;
对B,因为点O为ABC的外接圆圆心,所以,,所以,B错误;
对C, ,C正确;
对D,因为,则,
又,即①,
同理,
即,所以②,
联立①②,解得,,,D正确.
故选:ACD
12./0.25
【详解】,
故答案为:.
13.
【详解】设向量与的夹角为,
由题意可得,
则,又,则.
故答案为:
14.140
【详解】在中,
由余弦定理,得,
所以.
在中,
由余弦定理得,
所以,
当且仅当时等号成立,
所以.
故答案为:
15.(1)
(2)
【详解】(1)由已知及正弦定理得,
又,.
(2)由余弦定理可得.

16.(1)
(2)
【详解】(1)由图可知,,,所以,.
将点代入得,
所以,.
又,所以,
所以.
(2)将的图象向左平移个单位长度,得,
再将所得图象的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得,
所以,
因为,所以,,
所以,
所以,
所以,
故在上的值域为.
17.(1);
(2).
【详解】(1)由,得,
在中,由余弦定理,得,又,
所以.
(2)由,解得,,
由余弦定理,得,解得,
所以的周长为.
18.(1)
(2)
(3)
【详解】(1)因为,所以,即,
又,所以,
(2)因为,所以,即,所以,
所以.
(3),
由题意知且向量与不同向共线,
所以,
当向量与同向共线时,,即得,
解得(负值舍去).
所以,且,
解得,且,即实数的取值范围为.
19.(1);
(2);
(3)存在点
【详解】(1),
所以函数的相伴向量.
(2)由题知,
由,得.
又,即,所以.
又,由正弦定理,得,,
即.
因为,所以,
所以,即的取值范围为.
(3)由(2)知,
所以,
设,因为,,
所以,,
又因为,所以,
所以,
即,所以.
因为,所以,
所以,
又因为,
所以当且仅当时,和同时等于,
所以在图像上存在点,使得.

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