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2025年陕西省初中学业水平考试数学试卷
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题，共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算：（ ）
A. 1 B. C. 9 D.
2. 上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
4. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
6. 在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（ ）
A B. C. D.
7. 如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ）
A. 10 B. 8 C. 5 D. 4
8. 在平面直角坐标系中，二次函数图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大
C. 函数的最小值小于 D. 当时，
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9. 满足的整数可以是______（写出一个符合题意的数即可）．
10. 生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为______．
11. 草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多．已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，小康采摘的时长是______小时．
12. 如图，为的直径，，，则的度数为______．
13. 如图，过原点直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为______．
14. 如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______．
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15. 计算：．
16. 解不等式组：
17. 化简：．
18. 如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法）
19. 如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：．
20. 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．
（1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______；
（2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率．
21. 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，）
22. 研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表：
气体温度 … 25 30 35 …
气体体积 … 596 606 616 …
（1）求与的函数关系式；
（2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度．
23. 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分 满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图：
其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）B组15个成绩的平均数为______分；
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分；
（3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数．
24. 如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求长．
25. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长．
26. 问题探究
（1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上；
（2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值；
问题解决
（3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计）
参考答案
1-8
【答案】B
【答案】D
【答案】A
【答案】D
【答案】C
【答案】B
【答案】C
【答案】D
9.【答案】3（答案不唯一）
10.【答案】21
11.解析】
12.【答案】
13.【答案】9
14.【答案】5
15.【答案】7
16.【答案】
17.【答案】
18.解：如图，点即为所求；
理由如下：
由作图可知：是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴点即为所求．
19.证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
20【小问1】
解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，
∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为，
故答案为：．
【小问2】
解：依题意，画树状图如下所示：
∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，
∴这两个小组研究方向不同的概率．
21.解：过点E作于点，过点D作于点，如图所示：
∵，均与水平线垂直．
∴
∴，
∵
∴
在中，，
则，
在中，，
则，
∵过点E作于点，过点D作于点，
∴，
∴四边形是矩形
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
信号杆的高为．
22【小问1】
解：设与的函数关系式为，
则，解得，
故与的函数关系式为．
【小问2】
解：令，
则，解得：，
答：停止加热时的气体温度为．
23.【答案】（1）
（2），
（3）人
24.【小问1】
解：如图，连接，
∵以为半径的⊙与相切于点，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2】
解：∵，，
∴，
设的半径为，
∴，，而，，
∴，
解得：，
∴，，，
∵，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
25.【小问1】
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
∵，
∴结合二次函数的对称性得，
将代入，
得
则，
∴；
【小问2】
解：由（1）得抛物线的函数表达式，
∵，，．，且抛物线的函数表达式为，
∴，
整理得，
∴，
∴，
解得，
∴．
26.解：（1）依题意，
先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，
则，
∵
∴四边形是平行四边形，
即如图所示：
（2）如图2，过点作于点，
∵，
∴，
解得，
过点作且分别与，交于，
即在线段上运动的，
则，
当有最小值时，则的周长有最小值，
作点关于的对称点
∴，，
∴，
当三点共线时，有最小值，即长，
即的周长有最小值，
∵ 四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
此时的周长；
（3）如图3，取的中点，取的中点，连接，
∴是的中位线，
过点作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
连接
∵是的中点，且四边形是平行四边形，
∴，
∴是的中点
过点作于点，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，过点作于点，
∴为定值，
∴为定值，
则点在的中位线上运动，
作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，
，
故，
如图4，连接，作于点，于点，连接
∵与相切于点
∴，
∵于点，
∴，
∵，
∴，
故三点共线，
∴，
则，
∴，
∵，是的中点，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵点是的中点，是的中点
∴是三角形的中位线，
∴
∴．

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