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重庆市第八中学2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若有意义，则满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为（ ）
A．4 B． C．2 D．
3．如图，在中，点为边中点，连接并延长交延长线于点，若，则长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列说法中正确的是（　　）．
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形
C．平行四边形的对角线平分一组对角 D．矩形的对角线相等且互相平分
6．某公司研发的两个模块和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模块合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知为整式，计算的结果为，则（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在菱形中，，则（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，正方形中，，点为线段上一点，且，点为上的任意一点，则的最小值为（　　）
A．5 B． C．7 D．4
10．如图，在中，，，点为边上一点，且，点是的中点，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动；同时，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当以为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　）
A． B． C．或 D．
11．若正数满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
12．如图所示，正方形的边长为6，是边上一点，且，连接，作的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接交于点，连接．下列结论正确的是（　　）
A． B．平分
C．的周长为12 D．的面积为15
三、填空题
13．一个多边形的内角和为，这个多边形的边数是 ．
14．如图，已知矩形中，分别是、的中点，四边形的周长等于，则矩形的对角线长为 ．
15．若，则的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，是菱形的对角线的交点，轴，且，则点的坐标是 ．
17．若关于的不等式组有且只有2个奇数解，关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值的和是 ．
18．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作交的延长线于点，连接．若，则的周长为 ．
19．一个三位数，若它的各个数位上的数字均不为，且满足百位数字的平方等于十位数字与个位数字之积的倍（为整数），则称为“百数”，例如：三位数，∵，∴为“百数”；将去掉个位数字剩余的两位数记为，去掉百位数字剩余的两位数记为，规定，则最小的“百数”为 ；若一个“百数”的十位数字是，且能被整除，则满足条件的所有的和为 ．
四、解答题
20．分式化简：
(1)
(2)
21．解分式方程：
(1)
(2)
22．先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值．
23．如图，在中，、分别是、上的一点，，．
(1)证明：四边形是矩形；
(2)若，，，求的长．
24．某水果店购进了一批奇异果和芒果，两种水果总重量为千克，奇异果的进价是芒果进价的倍，奇异果的进货费用为元，芒果的进货费用为元．
(1)求奇异果和芒果的进价分别是多少元每千克；
(2)该水果店将这批奇异果全部按元每千克的价格售出．由于芒果不易保存，水果店将这批芒果的按元每千克的价格售出后，剩余的芒果降价销售，并全部售出．如果这批奇异果和芒果的总利润不低于元，则芒果最多降价多少元？
25．若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，；在此变化过程中，记（n为正整数）
(1)当时，，求此时的值；
(2)填空：化简并猜想___________，___________，___________；（用只含和的代数式表示）
(3)当为整数时，求此时的值．
26．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点是轴上一点，过点作轴的垂线交于点，交于点．
(1)求直线、的关系式；
(2)如图2，是线段上一动点，为的中点，连接、、，当四边形的面积为9时，求出点的坐标；
(3)如图3，是轴上一点，是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．在中，，，点是直线上一点．
(1)如图1，点是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，若，，求线段的长；
(2)如图2，点是线段延长线上一点，将绕点顺时针旋转，交线段于点，点为线段上一点，过点作的垂线，垂足为点，过点作交延长线于点，连接．若平分，求证：；
(3)如图3，在（1）问的条件下，在线段下方作，使得．点，分别为线段，上的动点，且，连接，当最小时，直接写出四边形的面积．
《 重庆市第八中学2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷》参考答案
1．A
解：有意义，
，
，
故选：A．
2．C
解：∵矩形中，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形
∴．
故选：C．
3．B
解：四边形为平行四边形，
点为边中点，
又，
，
，
故选：B．
4．C
解：、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
5．D
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴A不正确；
∵对角线互相垂直的矩形是正方形，
∴B不正确；
∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，
∴C不正确；
∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴D正确；
故选D．
6．C
解：依题意得，
故选：C．
7．D
解：，
，
故选：D．
8．C
解：四边形为菱形，
，
，
，
故选：C．
9．A
解：如图，作点P关于的对称点，连接，
则的长即为的最小值，
，
，
，
则的最小值为5，
故选：A
10．C
解：点E是的中点，
，
，
点P运动到F点的时间为，点Q运动到点E的时间为，
当时，，则，
当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，，
即，
解得：，
当时，，则，
当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，，
即，
解得：，
综上所述，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为或．
故选：C．
11．C
解：，
∴，
∴，
解得：，
∵是正数，
∴，
∵正数满足，
∴，即，
∴，
把代入，得：，
∴，
故选：C．
12．ABCD
解：如图，设与交于点，
由题可知，是的垂直平分线，
∴，故A选项符合题意；
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴平分，故B选项符合题意；
如图，过点作于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，，
∴的周长，故C选项符合题意；
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，故D选项符合题意；
故选：ABCD．
13．5
解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理得，
，
解得．
故答案为：5．
14．
解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵分别是、的中点，
∴，
∴，
∵四边形的周长等于，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
解：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
解：如图：
∵四边形是菱形，
∴，，，，，,
在中，，
∴，
∴，，
∴，
∵轴轴，轴，，
∴，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴点，
故答案为：．
17．1
解：，整理得：，
则不等式组的解为，
不等式组有且只有2个奇数解，
，
，
对应的整数a有：，，0，1，2，3，
，解得：，
，
，
，即，
，
则所有满足条件的整数的值有：，0，1，2，
，
故答案为：1．
18．
解：∵，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴在中，，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
即
整理得：，
解得：，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
19．
解：设三位数为，根据定义可得：，
∴是的倍，
∴时，，，
∴，或，；
∴对应的“百数”为或，
∴最小的“百数”为；
设一个“百数”为，则，，
∴，则必为偶数，
∴当时，，
若，时，，
则，符合题意，此时为，
若，时，，
则，不符合题意；
当时，，
若，时，，
则，不符合题意；
若，时，，
则，不符合题意；
若，时，，
则，不符合题意；
当时，，
若，时，，
则，不符合题意；
若，时，，
则，不符合题意；
若，时，，
则，不符合题意；
若，时，，
则，符合题意，此时为；
当时，，
若，时，，
则，不符合题意；
综上可知：满足条件的值为，，
∴满足条件的所有的和为，
故答案为：，．
20．(1)；
(2)．
（1）解：
；
（2）解：
．
21．(1)；
(2)．
（1）解：
∴，
整理得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为：；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为：．
22．，
解：，
，
，
，
；
根据分式有意义的条件，x不能为，0，
当时，原式．
23．(1)见解析
(2)
（1）证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）四边形是矩形，
，
，，
，
,
，
。
24．(1)芒果的进价是元每千克为元，则奇异果进价是元每千克；
(2)芒果最多降价元．
（1）解：设芒果的进价是元每千克为元，则奇异果进价是元每千克，
由题意得，，
解得，，
经检验是分式方程的解，
∴，
答：芒果的进价是元每千克为元，则奇异果进价是元每千克；
（2）解：设芒果降价元，
由（）得：奇异果数量为，
芒果数量为，
∴，
解得：，
答：芒果最多降价元．
25．(1)
(2)，，；
(3)
（1）已知，，
将代入可得，，
把代入得．
∵，
∴，
解得．
（2），
，
，
，
，
∴，
∵，
∴．
将代入得
．
故答案为：，，；
（3）由（2）知，
，
．
．
∵为整数，
∴能整除，即或．
∴或或或
∵，
∴．
26．(1)，
(2)
(3)或或或．
（1）解：把代入，得
，
∴，
∴．
把代入，得
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，设．
当时，，
∴，
∵为的中点，
∴．
，
，
∵四边形的面积为9，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，．
∵，
∴．
当为对角线时，如图，作交N，
∵
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，即四边形是菱形，
∴，
∴；
当为边时，点N在店P的下方时，如图，
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，
∴点N在直线上，且，
∴；
当为边时，点N在店P的右边时，如图，
∵四边形是菱形，
∴，
∴；
当为边时，点N在店P的左边时，如图，
∵四边形是菱形，
∴，
∴；
综上可知，点的坐标为：或或或．
27．(1)
(2)证明见解析
(3)
（1）解：如图，过点N作于E，设，
由旋转知，，
∴是等边三角形，
∴，，
由勾股定理得，
∵，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点作延长线于点，过点作延长线于点，
由旋转得，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴
∴，
如图，过点在下方作，过点作于点，
∴，
∴，
由点到直线的距离可得当，，依次共线，且时，取得最小值，即取得最小值，此时如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．

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