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第十章二元一次方程组期末复习专项训练苏科版2024—2025学年七年级下册
一、选择题
1．已知是关于a，b的二元一次方程组，则a+b是（　　）
A．1 B．3 C．9 D．12
2．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则k的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
3．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．在代数式kx+b中，当x分别取﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3时，对应代数式的值如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3
kx+b ﹣5 ﹣3 ﹣1 3 5 7
则4k﹣2b+1的值为（　　）
A．3 B．7 C．﹣5 D．﹣4
5．关于x，y的方程组与有相同的解，则a+4b﹣5的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣6 C．﹣10 D．﹣12
二、填空题
6．已知方程组的解是，则方程组的解是 　 　．
7．二元一次方程x+2y＝4的正整数解有　 　．
8．现有3张扑克牌，它们所标数字分别为正整数a、b、c，且1≤a＜b＜c≤9．甲、乙、丙三个同学同时从这3张扑克牌中随机各拿一张，获得与扑克牌所标数字相同数量的糖果后，完成一次游戏．已知甲、乙、丙3次游戏获得糖果之和分别为20颗、10颗、9颗，则正整数a、b、c分别为　 　．
9．已知方程组的解是，则方程组的解为　 　．
三、解答题
10．解方程组：
（1）；
（2）；
（3）．
11．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 60
租金（元/辆） 200 300
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
12．为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈妈 20 30 270
小乐妈妈 30 20 230
（1）求豆沙粽和肉粽的单价；
（2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
13．对于有理数x，y，定义新运算：x#y＝ax+by，x y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1#1＝1，3 2＝8．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝3，求m的值．
14．已知关于x，y的方程组．
（1）请写出方程x+3y＝7的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足2x﹣3y＝2，求m的值；
（3）如果方程组有正整数解，求整数m的值．
15．若关于x，y的方程组和有相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）求（a+b）2024的值．
16．在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的2x+3y、4x﹣3y分别看作一个整体，通过换元：设m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，可以将原方程组化为，解得，把代入m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，得，解得，所以原方程组解为．
（1）若方程组的解为，则方程组的解为　 　；
（2）若方程组的解为，其中k为常数．求方程组的解．
17．阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足m﹣n＝6，就称点P（m﹣1，3n+1）为“可爱点”．例如：点E（3，1），令得，m﹣n＝4≠6，所以E（3，1）不是“可爱点”；F（4，﹣2），令得，m﹣n＝6，所以F（4，﹣2）是“可爱点”．
（1）请判断点A（7，1）是否为“可爱点”：　 　（填“是”或“否”）．
（2）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点B（x，y）是“可爱点”，求t的值；
（3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“可爱点”，求正整数a，b的值．
参考答案
一、选择题
1—5：ABABC
二、填空题
6．【解答】解：设m+n＝x，m﹣n＝y，
则方程组化为：，
∵方程组的解是，
∴，
解得：，
故答案为：．
7．【解答】解：由条件可知x＝4﹣2y，
∴4﹣2y＞0，
解得：y＜2，
∴0＜y＜2，
∴y的正整数解为1，
代入x＝4﹣2y＝2，
∴二元一次方程x+2y＝4的正整数解为，
故答案为：．
8．【解答】解：根据题意得：3（a+b+c）＝20+10+9，
∴a+b+c＝13，
∵1≤a＜b＜c≤9，
∴或或或或或或，
又∵甲、乙、丙3次游戏获得糖果之和分别为20颗、10颗、9颗，且8+8+4＝20，8+1+1＝10，4+4+1＝9，
∴，
∴这三张牌的数字分别是1，4，8．
故答案为：1，4，8．
9．【解答】解：将原方程组进行变形可得：
，
∵方程组的解是，
∴的解为：，
∴；
故答案为：．
三、解答题
10．【解答】解：（1）将原方程组标号得，
将①代入②得2x+4（3x﹣1）＝24，
∴x＝2，
将x＝2代入①得y＝5，
∴；
（2）将原方程组标号得，
①×2得：6x﹣4y＝4③，
②+③得：11x＝5，
∴，
将代入①得：
，
∴，
∴；
（3）将原方程组标号得，
整理①得3（x+y）+2（x﹣y）＝36③，
将②代入③得4（x﹣y）+2（x﹣y）＝36，
解得x﹣y＝6④，
将④代入③得3（x+y）+12＝36，
解得x+y＝8⑤，
④+⑤得2x＝14，
∴x＝7，
将x＝7代入⑤，得y＝1，
∴．
11．【解答】解：（1）设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．
根据题意，得，
解得．
答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；
（2）租45座客车：600÷45≈14（辆），所以需租14辆，租金为200×14＝2800（元），
租60座客车：600÷60＝10（辆），所以需租10辆，租金为300×10＝3000（元），
∵2800＜3000，
∴租用14辆45座客车更合算．
12．【解答】解：（1）设豆沙粽的单价为x元，肉粽的单价为2x元；
由题意可得：10x+12×2x＝136，
解得：x＝4，
∴2x＝8（元），
答：豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；
（2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，肉粽优惠后的单价为b元，
由题意可得：，
解得：，
答：豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；
②由题意可得：[3m+7（40﹣m）]×（80﹣4m）+[3×（40﹣m）+7m]×（4m+8）＝17280，
解得：m＝19或m＝10，
∵m（40﹣m），
∴m，
∴m＝10．
13．【解答】解：（1）由定义新运算：x#y＝ax+by，x y＝ax﹣by可得，
解得：；
（2）由定义新运算：x#y＝ax+by，x y＝ax﹣by可得，
解得：，
由条件可知m+1+3m﹣2＝3，
4m＝4，
解得m＝1．
14．【解答】解：（1）x+3y＝7，
x＝7﹣3y，
∵x、y为正整数，
∴7﹣3y＞0，
∴y，
∴y只能为1和2，
当y＝1时，x＝4；
等y＝2时，x＝1，
所以方程x+3y＝7的所有正整数解是，；
（2），
∵方程组的解满足2x﹣3y＝2，
∴得出方程组，
解方程组得：，
把代入x﹣3y+mx+3＝0，得3﹣4+3m+3＝0，
解得：m；
（3），
把代入②，得4﹣3+4m+3＝0，
解得：m＝﹣1，
把代入②，得1﹣6+m+3＝0，
解得：m＝2，
即m＝2或﹣1．
15．【解答】解：（1）解方程组，得：，
∴这个相同的解为：；
（2）把代入，得，
∴a+b＝﹣1，
∴（a+b）2024＝1．
16．【解答】解：（1）∵的解为，
∴的解为，
设x﹣2＝m，y+2＝n，
则方程组可变为：，
∴，
解得：．
故答案为：．
（2）设，，
则原方程组可变为：，
∵的解为，
∴的解为，
即，
解得：．
17．【解答】解：（1）∵点A（7，1），令，
解得，
∵m﹣n＝8≠6，
∴A（7，1）不是“可爱点“，
故答案为：否；
（2）方程组的解为，
∵点B（，）是“可爱点”，
∴，
∴，
∵m﹣n＝6，
∴6，
解得t＝10，
∴t的值为10．
（3）方程组的解为，
∵点C（，）是“可爱点”，
∴，
∴，
∵m﹣n＝6，
∴6，
解得b＝14a，
∵a，b为正整数，
∴或或或．
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