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第十章二元一次方程组期末复习中等题专项训练
人教版2024—2025学年七年级下册
一、选择题
1．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式kx﹣y（k是常数）的值始终不变，则k的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
2．已知关于x、y的方程组与有相同的解，则a和b的值为（　　）
A． B． C． D．
3．在解关于x，y的方程组时，可以用①×2+②消去未知数x，也可以用①+②×5消去未知数y，则m﹣n＝（　　）
A．4 B． C． D．
4．已知二元一次方程组的解满足x+y＝3，则k的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．4 D．﹣4
5．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则a，b，c正确的值应为（　　）
A．a＝﹣3，b＝﹣1，c＝﹣5 B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣10
C．a＝2，b＝﹣4，c＝﹣10 D．a＝3，b＝1，c＝﹣10
二、填空题
6．已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是 　 　 ．
7．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则a+b＝ 　 　．
8．在解关于x、y的二元一次方程组时，若①+②可以直接消去一个未知数，则m、n之间的数量关系可以用等式表示为 　 　 ．
9．已知（5﹣a）x+y|a|﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，则a的值是 　 　 ．
10．关于x、y的二元一次方程组的解与的解相同，则a＝　 　 ，b＝　 　 ．
11．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；若购买甲、乙、丙各1件，共需要　 元．
三、解答题
12．水果商老牛去水果批发市场进货，他了解到草莓的批发价是每箱60元，苹果的批发价格是每箱40元，老牛购得草莓和苹果共60箱，刚好花费3100元．
(1)问草莓、苹果各购买了多少箱？
(2)老牛有甲、乙两家店铺，每售出一箱草莓或苹果，甲店分别获利15元和20元，乙店分别获利12元和16元．设老牛将购进的60箱水果分配给甲店草莓箱，苹果箱，其余均分配给乙店．由于他口碑良好，两家店都很快卖完了这批水果．若老牛在甲店获利600元，则他在乙店获利多少元？
13．若关于的方程组与方程组的解相同．
(1)求两个方程组的相同解；
(2)求的值．
14．阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．
原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为．
(1)学以致用：
运用上述方法解下列方程组：．
(2)拓展提升：
已知关于x，y的方程组的解为，请求出关于m、n的方程组的解．
15．已知关于的方程组，其中，为整数．
(1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值；
(2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由．
16．【定义】我们把关于、的两个二元一次方程与叫作“对称”二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．
【理解】
（1）方程的“对称二元一次方程”是___________；
（2）若关于、的方程组为“对称二元一次方程组”，则___________．___________．
【探究】
（3）解下列方程组（直接写出方程组的解）：
①的解为___________；
②的解为___________，
③的解为___________；
（4）根据你的发现，直接写出方程组的解为___________；
【拓展】
（5）若关于、的方程组的解是，那么关于、的方程组的解为___________
17．我们把关于x、y的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程：二元一次方程组，叫做关于x、y共轭二元一次方程组.例如：与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于x、y共轭二元一次方程组；与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、的共轭二元一次方程组.
(1)若关于x、y的方程组，为共轭方程组，则 ， ；
(2)若二元一次方程中x、y的值满足下列表格：
则这个方程的共轭二元一次方程是 .
(3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：的解为 .
(4)发现：若方程组是共轭方程组，且方程组的解是，请化简.
18．对于关于x，y的二元一次方程组（其中是常数），若该方程组的解x，y满足，则称这个方程组为“和美方程组”．
(1)下列方程组是“和美方程组”的是_____________；（只填写序号）
①；②；③；④．
(2)若关于x，y的方程组是“和美方程组”，求的值；
(3)若对于任意实数，关于x，y的方程组都是“和美方程组”，求的值．
参考答案
一、选择题
1—5：ACDBC
二、填空题
6．【解答】解：∵方程组的可化为，
∵方程组的解是，
∴方程组中4，3，
解得x＝﹣13，y＝7，
∴方程组的解是．
故答案为：．
7．【解答】解：把代入方程bx﹣4y＝4中，得4b﹣4×1＝4，
解得b＝2，
把代入方程ax+3y＝9中，得3a+3×2＝9，
解得a＝1，
∴a+b＝1+2＝3，
故答案为：3．
8．【解答】解：方程组，
①+②，得8x+（m+n）y＝﹣3．
∵①+②可以直接消去一个未知数，
∴m+n＝0．
故答案为：m+n＝0．
9．【解答】解：由题意可得，5﹣a≠0，|a|﹣4＝1，
解得：a＝﹣5．
故答案为：﹣5．
10．【解答】解：解方程组得：，
把代入得：，
解得：；
故答案为：．
11．【解答】解：设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要x元，y元，z元，
根据题意，得，
①×3﹣②×2得3（3x+7y+z）﹣2（4x+10y+z）＝20×3﹣27×2，
整理，得x+y+z＝6．
故答案为：6．
三、解答题
12.（1）解：设草莓购买了x箱，苹果购买了y箱，
根据题意得，
解得：，
答：草莓购买了35箱，苹果购买了25箱；
（2）解：根据题意得：，
∴，
分配乙店草莓有箱，苹果有箱；
乙可获利：
∴
，
答：他在乙店获利340元．
13.（1）解：两方程组化简可得，，
∵两方程组同解，
∴，
得：，
解得：，
把代入①式得：，
∴两个方程组的相同解为；
（2）解：把代入方程组可得：
，
式得：，
解得：，
把代入②式得：，
∴．
14.（1）解：令，，
原方程组化为，
解得：，
把代入，，得，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：在中，
令，，
则可化为，
且解为，
则有，
∴，
故答案为：．
15.（1）解：依题意，
由①得，，③
将③代入②得，
整理得出，④
∵方程组有无穷多组解
∴且时，
即，则，
∴，
（2）解：没有，理由如下：
由（1）得
∵
∴
整理得
①当时，即，
∵
∴此时方程组为
则
∵为整数
∴原方程没有整数解
②当时，即，此时，
若时，显然无解，
若时，，代入得
∵a为整数，
∴不可能为整数，
∴原方程无整数解；
综上：原方程没有整数解
16.解：（1）根据题意得，方程的“对称二元一次方程”是．
故答案为：．
（2）为“对称二元一次方程组”，
，
解得．
故答案为：；．
（3）①，
两式相加得，，
则，
，，
即的解为；
②，同理可得；
③，同理可得；
故答案为：①；②；③．
（4）由（3）得，关于、的“对称二元一次方程组”的解为，
方程组的解为．
故答案为：．
（5），
，
又关于、的方程组的解是，
，
即，
方程组的解为．
故答案为：．
17.（1）解：由定义可得： ， ，
∴， ，
故答案为：，；
（2）解：将， 代入， 得，解得，
∴二元一次方程为，
∴共轭二元一次方程为：，
故答案为：；
（3）解：
①②得： ， 即③，
①③得： ，
解得，
将代入③得，
∴方程组的解为： ，
故答案为： ；
（4）解：∵由定义可得
∴
∵方程组是共轭方程组，
∴，
①②得，
，
又∵方程组的解是，
，即，
.
18.（1）解：由定义可知①④的解x，y满足，①④是“和美方程组”；
由②解得满足
∴②是“和美方程组”；
由③解得不满足
∴③不是“和美方程组”．
故答案为：①②④；
（2）解方程组
关于x，y的方程组是“和美方程组”，
，
解得；
（3）是“和美方程组”，
．
由得或．
①当时，代入，
得，
．
为任意实数，
；
②当时，代入，得，
．
为任意实数，
．
综上所述，的值为或．
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