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第11讲 指数与指数函数
【知识点1】指数运算与化简求值 2
【知识点2】指数函数的定义域与值域 4
【知识点3】指数函数的单调性与比较大小 7
【知识点4】指数方程与不等式 10
【知识点5】指数函数的图象及应用 15
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0增函数 减函数
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
【知识点1】指数运算与化简求值
(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数
例1：
【例1】（2025 湖北模拟）已知，，化简得　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据分数指数幂和根指数幂的关系化简即可．
【解答】解：，，化简，
故选：．
【例2】（2025 新乡二模）　　
A．16 B． C．32 D．
【答案】
【分析】结合指数幂的运算法则，即可求解．
【解答】解：原式．
故选：．
【例3】（2024秋 光明区期末）化简的结果是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】直接化根式为分数指数幂得答案．
【解答】解：．
故选：．
【例4】（2025 扬州模拟）已知，则化为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用根式的运算性质即可得出．
【解答】解：原式．
故选：．
【例5】（2024秋 上城区月考）已知，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据条件可求出的值，然后对求平方即可得解．
【解答】解：，，
，
．
故选：．
【知识点2】指数函数的定义域与值域
定义域：
直接法：形如的函数，定义域即的定义域（需注意本身的限制，如分母不为零、根号下非负等）．
值域：
复合函数法：
1.先求内层函数的值域D；
2.再根据指数函数的单调性，求y在时的取值范围．
例1：
【例6】（2023秋 上饶期末）函数的定义域为　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根据函数的定义域的概念以及指数函数的性质求解．
【解答】解：函数有意义则必有，解得，
所以定义域为，．
故选：．
【例7】（2024秋 宜春期中）函数的定义域为　　
A．， B． C．， D．
【分析】可看出，要使函数有意义，则需满足，解出的范围即可．
【解答】解：要使函数有意义，则；
解得：；
函数的定义域是．
故选：．
【例8】（2024秋 常州期末）函数的值域为　　
A．， B．， C． D．，
【答案】
【分析】根据指数函数的性质即可求解．
【解答】解：设，，
，．
故选：．
【例9】（2025 杨浦区开学）已知函数的定义域为，则函数的值域为 　，　．
【答案】，．
【分析】根据题意可转化为在上恒成立，从而可解范围，再利用换元法可解值域．
【解答】解：已知函数的定义域为，
即在上恒成立，
若时，则不能恒成立，
则时，则，则，
综上，
令，
又在，单调递增，
则，
则函数的值域为，．
故答案为：，．
【例10】（2024秋 安宁区期末）已知，求函数的值域为　　．
【答案】．
【分析】借助换元法可得，再结合的范围运用二次函数性质计算即可得．
【解答】解：令，由，则，
则
，
由，则，
又当时，，
当时，，
有，
故，故函数的值域为．
故答案为：．
【知识点3】指数函数的单调性与比较大小
1.同底数比较：直接利用指数函数单调性（时，指数大的函数值大；时相反）．
2.同指数比较：构造幂函数（如比较与），利用幂函数单调性（时，底数大的函数值大）．
3.中间值法：引入中间量（如0、1）间接比较（如比较与，可先与1比较，再通过取对数或换底公式进一步分析）．
注意：若底数和指数均不同，可通过取对数转化为乘法运算比较（如比较与，两边取自然对数得与）．
例1：
【例11】（2024秋 江西期末）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】由指数复合函数的区间单调性有，即可求参数范围．
【解答】解：根据指数函数的性质可知，在上单调递减，且在区间上单调递减，
根据复合函数单调性可知，函数在区间上单调递增，
根据二次函数的单调性可知，，即，
的取值范围是，．
故选：．
【例12】（2024秋 海南期末）设，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性即可判断．
【解答】解：因为在上增函数，所以，即，
又在上减函数，所以，即，
所以．
故选：．
【例13】（2024秋 庐江县期末）已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据指数函数、幂函数的性质判断即可．
【解答】解：指数函数在定义域上单调递减，过点，
幂函数在上单调递增且过点，
在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下：
所以与有且仅有一个交点，
且交点的横坐标属于，
又，所以，
又，所以，
因为，所以，，
综上知，．
故选：．
【例14】（2024秋 普陀区期末）函数的严格递减区间为 　，　．
【答案】，．
【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解．
【解答】解：由题意指数函数在定义域内严格单调递减，
若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可，
而二次函数对称轴为，且开口向上，
故它的严格单调递增区间为，，即函数的严格递减区间为，．
故答案为：，．
【例15】（2025 辽宁二模）已知，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据函数单调递增，单调递减，判断．
【解答】解：因为单调递增，所以，
又因为单调递减，所以，
所以，即．
故选：．
【知识点4】指数方程与不等式
指数方程：
同底法：若方程可化为，则（且）．
换元法：形如的方程，令（），转化为二次方程求解，注意验根（）．
指数不等式：
同底法：若不等式可化为，则：
当时，；
当时，．
换元法：类似指数方程，通过换元转化为整式不等式，注意新变量范围．
对数法：两边取对数（注意对数函数定义域，需保证两边均为正数），如（，），两边取自然对数得，再分的正负讨论．
例1：
【例16】（2023秋 长沙期中）已知且满足不等式．
（1）求实数的取值范围．
（2）求不等式．
（3）若函数在区间，有最小值为，求实数值．
【答案】
【分析】（1）根据指数函数的单调性解不等式即可求实数的取值范围．
（2）根据对数函数的单调性求不等式．
（3）根据复合函数的单调性以及对数的性质即可求出的值．
【解答】解：（1）．
，即，
，
，，
．
（2）由（1）知，
．
等价为，
即，
，
即不等式的解集为，．
（3），
函数在区间，上为减函数，
当时，有最小值为，
即，
，
解得．
【例17】（2024秋 河南期中）设函数且是定义域为的奇函数；
（1）若（1），判断的单调性并求不等式的解集；
（2）若（1），且，求在，上的最小值．
【分析】由题意，先由奇函数的性质得出的值，
（1）由（1）求出的范围，得出函数的单调性，利用单调性解不等式；
（2）（1）得出的值，将函数变为，再利用换元法求出函数的最小值．
【解答】解：函数且是定义域为的奇函数，可得，从而得，即．
（1）由（1）可得，解得，所以是增函数，
由可得，
所以，解得，
即不等式的解集是．
（2）（1）得，解得，故，
令，它在，上是增函数，故，即．
此函数的对称轴是，故最小值为．
【例18】（2024 德阳模拟）已知函数，的最大值为1．
（1）求常数的值；
（2）若，，求证：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【分析】（1）由题可得，分类讨论可得时，，即，然后通过构造函数可求；
（2）由题可得，构造函数，利用导数可得，即得．
【解答】解：（1）由题意，．
由于，
所以若，即，
当时，；当时，；
即在上单调递减，在，上单调递增，不合题意；
若，即，
当时，；当时，；
即在上单调递增，在，上单调递减，
，
所以，两边取自然对数得：，
即，
令，
则，
易知时，，单调递增；时，，单调递减，
（1），
即的根为1，
所以，
即；
（2）由（1）知，且在上单调递增，在上单调递减，
（1），，
当时，；当时，，
由，不妨设，
则，
令，
于是，
所以在上单调递增，
所以，
所以，且，，
从而，
即．
【例19】（2024秋 辛集市期中）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是　　．
【分析】根据指数函数的单调性将不等式转化为一元二次不等式恒成立，利用一元二次不等式恒成立转化为对应判别式△，解不等式即可得到结论．
【解答】解：不等式等价为，
即恒成立，
恒成立，
即△，
即，
解得，
故答案为：．
【例20】（2024春 衡阳期末）若偶函数满足，则不等式的解集是　　
A． B． C．或 D．或
【答案】
【分析】由偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式．
【解答】解：由偶函数满足，
可得，
则，
要使，只需
，
解得或．
故选：．
【知识点5】指数函数的图象及应用
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
例1：
【例21】（2025春 湖南月考）若函数的大致图象如图所示，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知可得，分类讨论，可得结论．
【解答】解：由题意知，令，得，所以．
由函数的图象知，，
所以当时，；当时，．
当时，若，，所以，和图象不符，
所以，，所以一定有．
故选：．
【例22】（2024秋 阜阳期末）四个指数函数，，，的图象如图所示，则下列结论正确的是　　
A．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
B．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
C．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
D．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
【答案】
【分析】由已知结合指数函数的性质分别检验各函数即可判断
【解答】解：结合指数函数的性质可知，当时，单调递增，且底数越大，函数图象越接近轴，
当时，单调递减，且底数越小，函数图象越接近轴，
故，，，的图象分别对应④③①②．
故选：．
【例23】（2024秋 颍泉区期末）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】利用函数奇偶性的性质，及特殊值可判定选项．
【解答】解：令，
易知，，，，
即，，，分别为奇函数、偶函数、偶函数、偶函数，
由图象可知为奇函数，且在处有定义，故排除，
显然对于项，在处有定义，，
为奇函数，故成立．
故选：．
【例24】（2024秋 安宁区期末）函数的图象大致形状是　　
A． B．
C． D．
【分析】由已知写出分段函数解析式，作出分段函数的图象得答案．
【解答】解：，
函数函数的图象大致形状是：
故选：．
【例25】（2024秋 巴音郭楞州期末）指数函数与的图象如图所示，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】首先根据指数函数图像增减性判断出，大小；其次根据函数单调性判断出，大小；最后根据函数单调性判断出，大小，综合得出答案．
【解答】解：①先判断和的大小：由图像单调递增可得出；
同理由图像单调递减可得出，故．
②判断出与大小：由图象可知，函数的图象在上单调递增，
，，答案，错误，
③判断出与大小：函数的图象在上单调递减，
，，答案正确．
故选：．
第1页 共1页第11讲 指数与指数函数
【知识点1】指数运算与化简求值 2
【知识点2】指数函数的定义域与值域 3
【知识点3】指数函数的单调性与比较大小 5
【知识点4】指数方程与不等式 6
【知识点5】指数函数的图象及应用 7
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0增函数 减函数
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
【知识点1】指数运算与化简求值
(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数
例1：
【例1】（2025 湖北模拟）已知，，化简得　　
A． B． C． D．
【例2】（2025 新乡二模）　　
A．16 B． C．32 D．
【例3】（2024秋 光明区期末）化简的结果是　　
A． B． C． D．
【例4】（2025 扬州模拟）已知，则化为　　
A． B． C． D．
【例5】（2024秋 上城区月考）已知，则　　
A． B． C． D．
【知识点2】指数函数的定义域与值域
定义域：
直接法：形如的函数，定义域即的定义域（需注意本身的限制，如分母不为零、根号下非负等）．
值域：
复合函数法：
1.先求内层函数的值域D；
2.再根据指数函数的单调性，求y在时的取值范围．
例1：
【例6】（2023秋 上饶期末）函数的定义域为　　
A．， B．， C．， D．，
【例7】（2024秋 宜春期中）函数的定义域为　　
A．， B． C．， D．
【例8】（2024秋 常州期末）函数的值域为　　
A．， B．， C． D．，
【例9】（2025 杨浦区开学）已知函数的定义域为，则函数的值域为 　，　．
【例10】（2024秋 安宁区期末）已知，求函数的值域为　　．
【知识点3】指数函数的单调性与比较大小
1.同底数比较：直接利用指数函数单调性（时，指数大的函数值大；时相反）．
2.同指数比较：构造幂函数（如比较与），利用幂函数单调性（时，底数大的函数值大）．
3.中间值法：引入中间量（如0、1）间接比较（如比较与，可先与1比较，再通过取对数或换底公式进一步分析）．
注意：若底数和指数均不同，可通过取对数转化为乘法运算比较（如比较与，两边取自然对数得与）．
例1：
【例11】（2024秋 江西期末）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【例12】（2024秋 海南期末）设，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【例13】（2024秋 庐江县期末）已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【例14】（2024秋 普陀区期末）函数的严格递减区间为 　，　．
【例15】（2025 辽宁二模）已知，，，则　　
A． B． C． D．
【知识点4】指数方程与不等式
指数方程：
同底法：若方程可化为，则（且）．
换元法：形如的方程，令（），转化为二次方程求解，注意验根（）．
指数不等式：
同底法：若不等式可化为，则：
当时，；
当时，．
换元法：类似指数方程，通过换元转化为整式不等式，注意新变量范围．
对数法：两边取对数（注意对数函数定义域，需保证两边均为正数），如（，），两边取自然对数得，再分的正负讨论．
例1：
【例16】（2023秋 长沙期中）已知且满足不等式．
（1）求实数的取值范围．
（2）求不等式．
（3）若函数在区间，有最小值为，求实数值．
【例17】（2024秋 河南期中）设函数且是定义域为的奇函数；
（1）若（1），判断的单调性并求不等式的解集；
（2）若（1），且，求在，上的最小值．
【例18】（2024 德阳模拟）已知函数，的最大值为1．
（1）求常数的值；
（2）若，，求证：．
【例19】（2024秋 辛集市期中）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是　　．
【例20】（2024春 衡阳期末）若偶函数满足，则不等式的解集是　　
A． B． C．或 D．或
【知识点5】指数函数的图象及应用
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
例1：
【例21】（2025春 湖南月考）若函数的大致图象如图所示，则　　
A． B． C． D．
【例22】（2024秋 阜阳期末）四个指数函数，，，的图象如图所示，则下列结论正确的是　　
A．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
B．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
C．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
D．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
【例23】（2024秋 颍泉区期末）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能是　　
A． B．
C． D．
【例24】（2024秋 安宁区期末）函数的图象大致形状是　　
A． B．
C． D．
【例25】（2024秋 巴音郭楞州期末）指数函数与的图象如图所示，则　　
A． B． C． D．
第1页 共1页第11讲 指数与指数函数
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 阜阳期末）设，下列计算中正确的是　　
A． B． C． D．
2．（2024秋 甘肃期末）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点　　
A． B． C． D．
3．（2024秋 辽宁期末）设函数且的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为　　
A． B．
C．， D．，，
4．（2024秋 湖南期中）计算：　　
A． B． C． D．
5．（2025 江苏三模）已知函数，若，，，则实数，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
6．（2024秋 仁寿县期末）已知，，，则，，的大小顺序为　　
A． B． C． D．
7．（2024秋 旌阳区期末）已知国内某人工智能机器人制造厂在2023年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，　　
A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年
8．（2024春 东坡区期中）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
9．（2024秋 广州期中）设函数在区间单调递增，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
10．（2024秋 绍兴期末）已知函数，则　　
A．在，上单调递增且值域为，
B．在，上单调递减且值域为，
C．在，上单调递增且值域为，
D．在，上单调递减且值域为，
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025春 修文县期中）已知，，则下列代数式中值为的是　　
A． B．
C． D．
（多选）12．（2024秋 江北区期中）已知，则等于　　
A．2 B． C． D．
（多选）13．（2024秋 上城区期末）若，则下列结论正确的是　　
A．在，上单调递增
B．与的图象关于轴对称
C．的图象过点
D．的值域为，
（多选）14．（2024秋 湖南期中）已知，，1，2，，则函数的大致图象可能为　　
A．
B．
C．
D．
三．填空题（共4小题）
15．（2025春 湖北期中）函数且的图象过定点　　；
16．（2025 封丘县开学） 　　
17．（2025 杨浦区开学）函数的值域为 　　．
18．（2024秋 普陀区期末）函数的严格递减区间为 　　．
四．解答题（共6小题）
19．（2025 河南模拟）（1）计算：；
（2）化简：．
20．（2024秋 资中县期末）已知函数．
（1）求的最小值；
（2）若，求实数的取值范围．
21．（2024秋 吐鲁番市期末）已知函数是指数函数．
（1）求实数的值；
（2）已知函数，，，求的值域．
22．（2024秋 天津期中）已知指数函数且的图像经过点．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数，，的值域．
23．（2024秋 仁寿县期末）已知函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2）求函数，当，时的值域．
24．（2024秋 调兵山市期末）已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求的值，并证明：在上单调递增；
（2）求不等式的解集；
（3）若在区间，上的最小值为，求的值．
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A C D B B C A B
二．多选题（共4小题）
题号 11 12 13 14
答案 BD BC AB ABC
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】利用指数幂的运算法则，对各个选项逐一计算判断即可得解．
【解答】解：对于，，故错误；
对于，，故正确；
对于，，故错误；
对于，，故错误．
故选：．
2．【答案】
【分析】根据题意，利用为幂函数且区间上单调递增解出，再根据值得到解析式，再结合指数型函数的图象性质求解即可．
【解答】解：幂函数在区间上单调递增，
，解得，
当时，，
令，则，
即函数的图象过定点．
故选：．
3．【答案】
【分析】判断函数是定义域上的单调减函数，不等式可化为，求解即可．
【解答】解：函数，函数图象过第二、三、四象限，
则，所以；
所以是定义域上的单调减函数，
所以不等式可化为，
即，解得，
所以不等式的解集为．
故选：．
4．【答案】
【分析】利用指数幂的运算法则即可得解．
【解答】解：，
，
．
故选：．
5．【分析】利用函数，为偶函数，在上单调递增，即可得出结论．
【解答】解：函数，为偶函数，在上单调递增．
，（1），，．
则实数，，的大小关系为．
故选：．
6．【答案】
【分析】根据已知条件及指数运算性质，结合指数函数和幂函数的单调性即可求解．
【解答】解：由题意可知，，
因为在上是单调递增，且，
所以，即，
由题意可知，，
因为在上是单调递增，且，
所以，即，
所以．
故选：．
7．【答案】
【分析】由题意列式，根据指数式和对数式的互化，以及利用对数的运算，即可求得答案．
【解答】解：设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到900万台．
根据题意得，，
整理得，，
解得，
利用换底公式，
计算．
所以经过6年，人工智能机器人的产量才能达到900万辆，
即到2029年，人工智能机器人的产量才能达到900万辆．
故选：．
8．【答案】
【分析】根据题意，求得为偶函数，再利用导数求得函数的单调区间，结合选项，即可求解．
【解答】解：由函数的定义域为，
且，所以函数为偶函数，
当时，，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
故选：．
9．【答案】
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答．
【解答】解：函数在上单调递增，而函数在区间上单调递增，
则有函数在区间上单调递增，因此，解得，
所以的取值范围是，．
故选：．
10．【答案】
【分析】结合二次函数及指数函数的性质，复合函数单调性即可求解．
【解答】解：令，
根据二次函数性质可知，在，上单调递减，在，上单调递增，
因为在上单调递增，
根据复合函数的单调性可知，在，上单调递减，，
在，上单调递增，．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解．
【解答】解：对于，，故错误；
对于，原式，故正确；
对于，原式，故错误；
对于，原式，故正确．
故选：．
12．【答案】
【分析】根据指数幂的运算法则计算可得．
【解答】解：，
，
，
或．
故选：．
13．【答案】
【分析】利用指数函数的性质进行判断求解即可
【解答】解：因为函数在上单调递增，所以选项正确；
函数，所以函数与的图象关于轴对称，选项正确；
由，得的图象过点，选项错误；
由，可得，的值域是，选项错误．
故选：．
14．【答案】
【分析】利用幂函数的单调性，奇偶性逐项判断即可．
【解答】解：当时，，在上单调递增，
且，
所以是奇函数，图象关于原点对称，且在上单调递增，故正确；
当时，，在上单调递增，
且，
所以是偶函数，图象关于轴对称，且在上单调递减，故正确；
当时，，在上单调递增，故错误；
当时，，在上单调递增，，
且，所以图象关于原点对称，与不符合，
当时，，在上单调递增，，
且，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【分析】令幂指数等于零，求得，的值，可得函数的图象经过定点的坐标．
【解答】解：对于函数且，令，求得，，
可得函数且的图象过定点，
故答案为：．
16．【答案】1．
【分析】结合根式与分数指数幂的转化即可求解．
【解答】解：．
故答案为：1．
17．【答案】，．
【分析】结合二次函数及指数函数的性质即可求解．
【解答】解：因为，
所以，．
故答案为：，．
18．【答案】，．
【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解．
【解答】解：由题意指数函数在定义域内严格单调递减，
若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可，
而二次函数对称轴为，且开口向上，
故它的严格单调递增区间为，，即函数的严格递减区间为，．
故答案为：，．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据根式的定义与绝对值的意义，结合负数指数幂的意义，求解即可；
（2）根据分式的运算法则，求解即可．
【解答】解：（1）；
（2）．
20．【答案】（1）2；
（2）．
【分析】（1）利用基本不等式的性质，利用取等条件，得到答案．
（2）利用函数单调性，得到不等式进行计算，得到答案．
【解答】解：已知函数．
（1），
当且仅当即时取等号，
故的最小值为2；
（2）易知在上单调递增，
因为，故，
整理得，即，解得，
故所求为．
21．【答案】（1）4；
（2），．
【分析】（1）根据是指数函数，由求解；
（2）由（1）得到，令，由求解．
【解答】解：（1）因为函数是指数函数，
所以，解得；
（2）因为，所以，
设，则，时，，，
所以，
因为在，上单调递减，在，上单调递增，
所以当时，取得最小值2，当时，取得最大值51，
所以的值域为，．
22．【答案】（1），；
（2）．
【分析】（1）将点代入指数函数中求出的值，然后根据复合函数单调性同增异减求得答案；
（2）换元法令，将函数化为二次函数，利用二次函数性质求出函数的值域．
【解答】解：（1）函数且的图像经过点，
，得，（舍，
，，
在上单调递减，在区间，上单调递减，在区间，上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递减区间是，．
（2），
令，，，则，
则，
所以在上单调递减，
故当时，，
当时，，
故当，时，的值域为．
23．
【分析】（1）由题意：函数的图象经过点．代入计算即可求的值．
（2）求函数转化为二次函数的问题求值域即可．
【解答】解：（1）由题意：函数的图象经过点．
则有：
解得：．
（2）由（1）可知，
那么：函数
，
则
当，即时，．
当，即时，
所以函数的值域为，．
24．【答案】（1），证明见解析；
（2）或；
（3）或．
【分析】（1）由奇函数性质得，解出；由单调性的定义即可求解；
（2）由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可；
（3），令，可化为关于的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为，解出即可．
【解答】解：（1）因为是定义域为上的奇函数，
所以，即，所以，解得，
所以，，
经检验，符合题意；
所以函数的定义域为，在上任取，，且，
，
所以函数在上单调递增，
（2）由（1）可知，且在上单调递增的奇函数，
由，可得，
所以，即，
解得或，
所以不等式的解集为或；
（3）因为，，
所以．
令，因为，所以，
所以，
当时，当时，，则舍去）；
当时，当时，，解得，符合要求，
综上可知或．

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