资源简介

第10讲 二次函数与幂函数
【知识点1】幂函数的定义域与值域 2
【知识点2】幂函数的图像识别与比较大小 6
【知识点3】幂函数的奇偶性与单调性综合 8
【知识点4】二次函数的解析式 11
【知识点5】二次函数的图象与性质 16
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点 坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减
【知识点1】幂函数的定义域与值域
1. 将化为分数，判断奇偶性与定义域．
2. 结合图像求值域（注意定义域限制）．
例1：
【例1】（2024秋 石家庄期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为　　
A． B． C．， D．，
【答案】
【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，求出的解析式，从而求出的定义域，进而求出函数的定义域．
【解答】解：幂函数的图象过点，设，
，，，故该函数的定义域为，．
则对于函数，应有，求得，
可得函数的定义域为，．
故选：．
【例2】（2023秋 河南期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为　　
A． B． C．， D．
【答案】
【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可．
【解答】解：是幂函数，
设，将代入解析式，
得，解得，故，则，
故，解得．
故选：．
【例3】（2024秋 杭州期末）幂函数的图象过点，则函数的值域是　　
A． B． C．， D．，
【答案】
【分析】由已知点的坐标，结合幂函数的定义先求出，然后结合幂函数及二次函数的性质即可求解．
【解答】解：设，
由题意得，（2），
所以，，
则．
故选：．
【例4】（2024秋 牡丹江期末）已知幂函数的图象关于轴对称．
（1）求的解析式；
（2）求函数在，上的值域．
【答案】（1）；　　，．
【分析】（1）根据幂函数的定义和性质求出的值即可；
（2）由（1）求出函数的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果．
【解答】解：（1）因为是幂函数，
所以，解得或．
当时，，则，（1），则函数图象不关于轴对称，故舍去，
当时，则，定义域为，关于原点对称，
且，则此时为偶函数，图象关于轴对称，
故．
（2），
因为，，，（1），
故在，上的值域为，．
【例5】（2024秋 江西月考）已知幂函数，其中，，满足：
（1）是区间上的增函数；
（2）对任意的，都有．求同时满足（1），（2）的幂函数的解析式，并求，时的值域．
【答案】幂函数的解析式为，，时，函数的值域为，．
【分析】分别代入的不同取值，求出的解析式，求出函数的值域即可．
【解答】解：，，，0，1．
对任意，都有，即，所以是奇函数．
当时，只满足条件（1）而不满足条件（2）；
当时，，条件（1）不满足；
当时，条件（1）、（2）都满足，且在区间，上是增函数．
所以幂函数的解析式为，
所以，时，函数的值域为，．
【知识点2】幂函数的图像识别与比较大小
比较大小方法：
同底数不同指数：利用单调性（如与）．
同指数不同底数：利用幂函数在第一象限的图像（如与，底数大的函数值大）．
中间值法：借助 0, 1 等中间值比较（如与，前者，后者）．
例1：
【例6】（2024秋 抚松县期末）已知，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据幂函数单调性分析判断即可．
【解答】解：因为，即，
又因为，，
所以．
故选：．
【例7】（2024秋 南京期末）已知点在幂函数的图象上，设，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据函数的单调性、幂函数、对数函数、三角函数等知识来确定正确答案．
【解答】解：点在幂函数的图象上，
，解得，，
在上单调递减，
，，
，
，即．
故选：．
【例8】（2024秋 湖南期末）已知点在幂函数的图象上，设，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】首先根据幂函数所过的点求解幂函数解析式并判断函数单调性，然后通过自变量大小关系结合函数单调性判断函数值大小关系即可．
【解答】解：已知幂函数经过点，可得，解得，即，
易知在上单调递减，
由于，
所以可得，综上所述，．
故选：．
【例9】（2024秋 新疆期中）下列大小关系正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据幂函数的单调性比较大小．
【解答】解：对于，在上单调递增，且，所以，选项正确；
对于，在上单调递增，且，所以，选项错误；
对于，在上单调递减，且，所以，选项错误；
对于，在上单调递减，且，所以，选项错误．
故选：．
【例10】（2024秋 南京月考）设，，，则、、的大小关系为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小．
【解答】解：因为，，，
所以．
故选：．
【知识点3】幂函数的奇偶性与单调性综合
1. 由奇偶性确定的分数形式中 p, q 的奇偶性．
2. 结合单调性判断的正负．
3. 利用奇偶性将不等式转化为正数区间上的问题（如奇函数中，可转化为在正数区间比较）．
例1：
【例11】（2024春 桦南县期末）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】根据已知条件，结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解．
【解答】解：幂函数在上是减函数，
则，解得，
，
则，1，2，
当或2时，均为奇数，不符合题意，舍去，
当时，在为偶数，符合题意．
故选：．
【例12】（2023秋 周至县期末）已知幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，则实数的值为 　　．
【答案】．
【分析】由幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，可得，且为偶数．解出即可．
【解答】解：幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，
，且为偶数．
解得或2，
只有时满足且为偶数．
，
故答案为：．
【例13】（2023秋 金坛区月考）已知幂函数且为奇函数，且在区间上递增，则等于　　
A．1 B．2 C．1或3 D．3
【答案】
【分析】根据幂函数的单调性及奇偶性求解即可．
【解答】解：因为且在区间上递增，
所以且，所以，2，，
当时，幂函数为奇函数，符合题意；
当时，幂函数为偶函数，不符合题意；
当时，幂函数为奇函数，符合题意，综上等于1或3．
故选：．
【例14】（2023秋 广陵区期中）已知幂函数的图像关于轴对称，且（2）（3）．
（1）求的值及函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），．
（2），，．
【分析】（1）根据幂函数的图像关于轴对称，且（2）（3）知在区间为增函数，且是偶函数，由此求出的值和的解析式；
（2）根据函数的性质把不等式化为，两边平方求出的取值范围．
【解答】解：（1）幂函数的图像关于轴对称，且（2）（3）；
所以在区间为增函数，
所以，即，解得；
又因为，是偶函数，
所以为偶数，所以；
函数的解析式为：．
（2）不等式，函数是偶函数，在区间为增函数，
所以，
化简得，
解得或，
所以实数的取值范围是，，．
【例15】（2024春 玉林期末）幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为　　
A．0 B．2 C．3 D．2和3
【答案】
【分析】由题意可得，且为偶数，结合，，求出的值．
【解答】解：由题意，可得，且为偶数，
，，或3．
故选：．
【知识点4】二次函数的解析式
求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式．
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式．
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
例1：
【例16】（2024秋 淮安期中）已知二次函数满足，则的解析式为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用凑配法来求得正确答案．
【解答】解：已知二次函数满足，
由于，
所以．
故选：．
【例17】（2024秋 广州期末）已知二次函数满足．
（1）求函数的解析式；
（2）若，，，求的最小值．
【分析】（1）设，根据条件建立方程组，即可求解；
（2）由（1）可得，，，对分类讨论，利用二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：（1）设，
因为二次函数满足，
所以，
即，
所以，
解得，
所以；
（2）由（1）可知，
所以，，，
当时，在，上单调递增，
所以，
当时，，
当时，在，上单调递减，
所以（2），
综上，．
【例18】（2024秋 黑龙江期中）已知二次函数的最小值为1，（2）．
（1）求的解析式；
（2）若，，试求的最小值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用待定系数法，先设出函数解析式，再列方程解系数即可；
（2）根据对称轴与区间，在数轴上的位置关系分类讨论即可．
【解答】解：（1）的最小值为1，且（2），
图象的对称轴为．
故可设．
又，．
．
（2）①若，则在，上是增函数，；
②若，即，则在，上是减函数，；
③若，即，则（1）．
综上所述，函数的最小值．
【例19】（2024秋 蜀山区期中）已知二次函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）；
（2）答案见详解．
【分析】（1）结合条件，用待定系数法求解即可；
（2）将问题转化为，讨论参数的范围求解即可．
【解答】解：已知二次函数，且．
（1）因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，解得，
所以．
（2）由，可得，即，
当，即时，不等式解集为，
当，即时，不等式解集为，
当，即时，不等式解集为，
综上，当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为．
【例20】（2024秋 南关区月考）已知二次函数的图象过点，，．
（1）求函数的解析式；
（2）画出函数在，上图象．
【答案】（1）；
（2）
【分析】（1）设，将点的坐标代入，即可得到方程组，解得、、，即可求出函数解析式；
（2）根据函数解析式画出函数图象．
【解答】解：（1）已知二次函数的图象过点，，，
设，依题意可得，解得，
所以；
（2）因为的对称轴为，（4），，
所以函数在，图象如下所示：
【知识点5】二次函数的图象与性质
二次函数定轴动区间和动轴定区间问题
在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论：
(1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”．
(2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”．
例1：
【例21】（2025 江城区三模）若函数在，上不单调，则实数的取值范围为　　 ．
【答案】．
【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：函数的对称轴为，在，上不单调，所以，
所以实数的取值范围为：．
故答案为：．
【例22】（2024秋 随州期末）关于的方程的两个不等根，，都在之内，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．，，
【答案】
【分析】结合二次函数的图象与性质列不等式组，即可求解．
【解答】解：因为方程的两个不等根，，都在之内，
可得函数在内有两个零点，
所以，
解得且．
故选：．
【例23】（2025 乌兰察布三模）已知是定义在，上的偶函数，那么的值是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据偶函数区间的对称性，可求出，再根据偶函数，求出，从而求出．
【解答】解：因为是定义在，上的偶函数，所以区间，关于原点对称，
则，解得，
又（1），即，所以，
故．
故选：．
【例24】（2024秋 盐城期末）已知，对，，都有成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】由变形得，构造函数，进而根据二次函数的单调性求参数．
【解答】解：，对，，都有成立，
由，得，则，
设函数，则对，，都有成立，
所以函数在区间，上单调递增，
所以，解得，则，．
故选：．
【例25】（2024秋 资阳期末）已知函数在区间，上的值域为，，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】由已知条件结合二次函数的图象性质，求解实数的取值范围．
【解答】解：已知函数在区间，上的值域为，，
又的图象开口向下，对称轴为，且（4），（2），
函数在区间，上的值域为，，
由图可知，，即实数的取值范围是，．
故选：．
第1页 共1页第10讲 二次函数与幂函数
【知识点1】幂函数的定义域与值域 2
【知识点2】幂函数的图像识别与比较大小 6
【知识点3】幂函数的奇偶性与单调性综合 8
【知识点4】二次函数的解析式 11
【知识点5】二次函数的图象与性质 16
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点 坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减
【知识点1】幂函数的定义域与值域
1. 将化为分数，判断奇偶性与定义域．
2. 结合图像求值域（注意定义域限制）．
例1：
【例1】（2024秋 石家庄期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为　　
A． B． C．， D．，
【例2】（2023秋 河南期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为　　
A． B． C．， D．
【例3】（2024秋 杭州期末）幂函数的图象过点，则函数的值域是　　
A． B． C．， D．，
【例4】（2024秋 牡丹江期末）已知幂函数的图象关于轴对称．
（1）求的解析式；
（2）求函数在，上的值域．
【例5】（2024秋 江西月考）已知幂函数，其中，，满足：
（1）是区间上的增函数；
（2）对任意的，都有．求同时满足（1），（2）的幂函数的解析式，并求，时的值域．
【知识点2】幂函数的图像识别与比较大小
比较大小方法：
同底数不同指数：利用单调性（如与）．
同指数不同底数：利用幂函数在第一象限的图像（如与，底数大的函数值大）．
中间值法：借助 0, 1 等中间值比较（如与，前者，后者）．
例1：
【例6】（2024秋 抚松县期末）已知，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【例7】（2024秋 南京期末）已知点在幂函数的图象上，设，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【例8】（2024秋 湖南期末）已知点在幂函数的图象上，设，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【例9】（2024秋 新疆期中）下列大小关系正确的是　　
A． B．
C． D．
【例10】（2024秋 南京月考）设，，，则、、的大小关系为　　
A． B． C． D．
【知识点3】幂函数的奇偶性与单调性综合
1. 由奇偶性确定的分数形式中 p, q 的奇偶性．
2. 结合单调性判断的正负．
3. 利用奇偶性将不等式转化为正数区间上的问题（如奇函数中，可转化为在正数区间比较）．
例1：
【例11】（2024春 桦南县期末）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【例12】（2023秋 周至县期末）已知幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，则实数的值为 　　．
【例13】（2023秋 金坛区月考）已知幂函数且为奇函数，且在区间上递增，则等于　　
A．1 B．2 C．1或3 D．3
【例14】（2023秋 广陵区期中）已知幂函数的图像关于轴对称，且（2）（3）．
（1）求的值及函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围．
【例15】（2024春 玉林期末）幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为　　
A．0 B．2 C．3 D．2和3
【知识点4】二次函数的解析式
求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式．
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式．
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
例1：
【例16】（2024秋 淮安期中）已知二次函数满足，则的解析式为　　
A． B． C． D．
【例17】（2024秋 广州期末）已知二次函数满足．
（1）求函数的解析式；
（2）若，，，求的最小值．
【例18】（2024秋 黑龙江期中）已知二次函数的最小值为1，（2）．
（1）求的解析式；
（2）若，，试求的最小值．
【例19】（2024秋 蜀山区期中）已知二次函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）解关于的不等式．
【例20】（2024秋 南关区月考）已知二次函数的图象过点，，．
（1）求函数的解析式；
（2）画出函数在，上图象．
【知识点5】二次函数的图象与性质
二次函数定轴动区间和动轴定区间问题
在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论：
(1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”．
(2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”．
例1：
【例21】（2025 江城区三模）若函数在，上不单调，则实数的取值范围为　　 ．
【例22】（2024秋 随州期末）关于的方程的两个不等根，，都在之内，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．，，
【例23】（2025 乌兰察布三模）已知是定义在，上的偶函数，那么的值是　　
A． B． C． D．
【例24】（2024秋 盐城期末）已知，对，，都有成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【例25】（2024秋 资阳期末）已知函数在区间，上的值域为，，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
第1页 共1页二次函数与幂函数
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 西安期末）若幂函数是偶函数，则　　
A． B．3 C．1 D．1或3
2．（2025春 广东月考）已知幂函数在定义域内单调递增，则　　
A． B． C． D．2
3．（2024秋 福建期末）已知函数的值域为，，则实数的值为　　
A．或1 B． C．1 D．1或2
4．（2025春 杭州期中）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数　　
A．2 B． C．1 D．1或
5．（2025 湖南一模）已知幂函数在上单调递增，则的值为　　
A．1 B． C． D．1或
6．（2025 湖北模拟）已知幂函数，则下列结论正确的是　　
A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减
C．（2） D．
7．（2024春 顺义区月考）函数在区间，上的最小值是　　
A． B． C．0 D．4
8．（2024秋 渭南期中）如果函数在区间，上是减函数，那么实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
9．（2024秋 清城区期中）若函数在，上单调递增，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
10．（2024秋 泸州期末）已知函数的两个零点分别是和3，函数，则函数在，上的值域为　　
A．， B．， C．， D．，
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025春 清远期中）已知幂函数的图象经过点，则下列判断中正确的是　　
A．函数图象经过点
B．当，时，函数的值域是，
C．函数满足
D．函数的单调减区间为，
（多选）12．（2025春 湖南月考）已知函数在区间，上既有最大值又有最小值，则实数的值可以是　　
A． B． C．0 D．1
（多选）13．（2024秋 甘肃期末）已知幂函数，函数在区间上单调递减，则下列正确的是　　
A．
B．函数的图象经过点
C．若，则（b）（a）
D．若，则
（多选）14．（2024秋 抚顺期末）已知幂函数，则下列说法正确的是　　
A．若，则在上单调递减
B．若，则是奇函数
C．函数过定点
D．若，则（5）
三．填空题（共4小题）
15．（2025 江苏三模）已知函数，，是偶函数，则　　．
16．（2025 浦东新区三模）已知幂函数在上严格增，则实数　　 ．
17．（2024秋 合肥期末）若幂函数，且在上是增函数，则实数 　　 ．
18．（2025春 湖北月考）已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 　　 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2024秋 驻马店期末）已知函数，且的解集为．
（1）求的解析式；
（2）若在区间上单调，求实数的取值范围；
（3）求在区间，上的最小值．
20．（2024秋 日照期末）已知幂函数的图象过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
21．（2025春 临泉县月考）设函数．
（Ⅰ）若函数在，上是单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，是否存在实数，，使得函数的定义域为，，值域为，，若存在，求出，；若不存在，说明理由．
22．（2025 利津县开学）已知幂函数在上单调递减．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围．
23．（2024秋 石嘴山期末）若函数为幂函数，且在单调递减．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若函数，且．
写出函数的单调性，无需证明；
求使不等式成立的实数的取值范围．
24．（2024秋 福建期末）设幂函数在单调递增．
（1）求的解析式；
（2）设不等式的解集为函数的定义域，记的最小值为（a），求（a）的解析式．
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B A C B B A B
二．多选题（共4小题）
题号 11 12 13 14
答案 AD BC BCD BD
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】由幂函数的定义和函数的奇偶性即可求解．
【解答】解：因为是幂函数，所以，
解得或，
当时，，该函数为奇函数，不符合题意，
当时，，该函数为偶函数，符合题意，
所以．
故选：．
2．【答案】
【分析】根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得即可．
【解答】解：因为幂函数在定义域内单调递增，
所以，且，解得．
故选：．
3．【答案】
【分析】因为函数，则由题意得，进而可求得答案．
【解答】解：因为函数开口向上，对称轴，
所以，
又函数的值域为，，
则，解得或．
故选：．
4．【答案】
【分析】利用幂函数的定义及性质即可得到判断．
【解答】解：是幂函数，
则，解得，
当时，在上单调递减，不合题意；
当时，在上单调递增，满足题意，故．
故选：．
5．【答案】
【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解．
【解答】解：因为幂函数在上单调递增，
所以，
解得．
故选：．
6．【答案】
【分析】根据幂函数的定义求出的值，再结合幂函数的奇偶性和单调性判断各个选项即可．
【解答】解：因为幂函数，
所以，
设函数，显然函数在上单调递增，
又因为，
所以，
所以，定义域为，
因为，所以为偶函数，故错误；
因为，所以在上单调递减，
所以在上单调递增，故错误；
因为，且在上单调递减，
所以（1）（2），即（2），故正确；
因为，且在上单调递增，
所以，即，故错误．
故选：．
7．【答案】
【分析】根据二次函数相关性质可解．
【解答】解：函数的对称轴为，
则在，单调递减，
在的最小值为（1）．
故选：．
8．【答案】
【分析】求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于的不等式，解出即可．
【解答】解：函数，开口向上，
对称轴是，
故的递减区间是，，
而在，上是减函数，
则，解得：．
故选：．
9．【答案】
【分析】由已知结合二次函数的单调区间与对称轴的位置关系可求．
【解答】解：因为函数在，上单调递增，
所以，
故选：．
10．【答案】
【分析】由函数的零点可得方程的根，再由韦达定理可得，的值，求出的解析式，再由函数的，单调递增，可得函数的值域．
【解答】解：因为函数的两个零点分别是和3，
所以和3是方程的根，
由韦达定理可得，解得，，
所以，
所以，，，
则单调递增，所以（1），（3），
而（1），（3），
即，．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】根据题意，求得函数，结合幂函数与二次函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．
【解答】解：因为幂函数的图象经过点，
可得，解得，即，
因为，所以正确；
因为函数在区间，上单调递减，在，上单调递增，
所以当时，，
又由，（2），所以，所以函数的值域为，，所以错误；
因为，所以错误；
因为函数开口向上，对称轴为，
所以函数在区间，上单调递减，所以正确．
故选：．
12．【答案】
【分析】结合函数的图象，即可得出的范围．
【解答】解：，结合函数的图象可知，，
当，时，有最大值，有最小值．
故选：．
13．【答案】
【分析】对，根据幂函数定义结合单调性求解判断；对，由选项得，代入运算判断；对，根据幂函数的单调性判断；对，利用作差比较法，结合基本不等式判断．
【解答】解：对于，为幂函数，函数在区间上单调递减，
则，解得，故错误；
对于，由选项，，可得，故正确；
对于，由函数为偶函数，可知函数在区间上单调递增，
可得（b）（a），故正确；
对于，由，，
则，
可得，故正确．
故选：．
14．【答案】
【分析】由幂函数的定义先求，然后结合幂函数性质检验各选项即可判断．
【解答】解：为幂函数，
故，即或，
：当时，，在上单调递增，显然错误；
：由题意得或为奇函数，正确；
：因为幂函数恒过，则恒过，错误；
：若，则，
所以（5），正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．
【分析】利用偶函数的定义及图象关于轴对称的特点，可以建立及，解得，，即可得到
【解答】解：函数，，是偶函数
或1
偶函数的图象关于轴对称，
故答案为：4．
16．【答案】2．
【分析】由幂函数的定义与性质，列式求解即可．
【解答】解：由幂函数的定义与性质，知，解得．
故答案为：2．
17．
【分析】根据幂函数的定义与性质，列式求解即可．
【解答】解：幂函数，且在上是增函数，
所以，解得．
故答案为：2．
18．【答案】．
【分析】根据幂函数的定义，结合是偶函数，可得，再根据单调性解不等式即可．
【解答】解：幂函数是偶函数，
，解得或，
当时，为奇函数，不符合题意，
当时，为偶函数，
在内单调递增，且为偶函数，
可化为，
解得，
的解集为．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）；
（2），，；
（3）．
【分析】（1）由题意可得1，3为方程的两根，再利用根与系数的关系可求出，的值，从而可求得的解析式；
（2）求出的图象的对称轴，然后由题意可得或，从而可求出实数的取值范围；
（3）分，和三种情况结合二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）的解集为，则1，3为方程的两根，
所以，得，，
所以；
（2）若在区间上单调，则或，
解得，或，
即，，；
（3）因为的开口向上，对称轴为，
所以当时，在区间，上递增，
此时；
当，即时，（2）；
当，即时，在区间，上递减，
此时；
综上所述：．
20．【答案】（1）；
（2），．
【分析】（1）将点代入幂函数的解析式，即可求解；
（2）分离出变量，再结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：（1）幂函数的图象过点．
则，解得，
故；
（2）由（1）可得，恒成立，，
令，
，，
实数的取值范围为，．
21．【答案】（Ⅰ），，；
（Ⅱ）存在，，，或．
【分析】（Ⅰ）利用二次函数的性质求出对称轴，再结合单调函数的性质求解参数范围即可．
（Ⅱ）对，的大小情况分类讨论，结合二次函数的性质求解符合情况的区间即可．
【解答】解：（Ⅰ）由二次函数性质得的对称轴，
因为函数在，上是单调函数，
所以或，则实数的取值范围是，，；
（Ⅱ）若，则，
假设存在实数，，使得函数的定义域为，，值域为，，
分以下情况讨论：若，函数在，上单调递减，
由题意得，即，
解得，此时，，；
若，函数在，上单调递增，
由题意得，即，
解得，与矛盾，排除；
若，函数在，上单调递增，在，上单调递减，
由题意得，解得，因为，
，所以，
解得，此时，
综上所述，存在实数，，，，或，
使得函数的定义域为，，值域为，．
22．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据函数是幂函数，单调性计算求参即可；
（2）根据单调性求不等式．
【解答】解：（1）由幂函数的定义可得，，
解得或3，
当时，，在上单调递增，不符合题意，
当时，，在上单调递减，符合题意，
所以；
（2）由函数图象关于轴对称，且在，上单调递增，
则可化为，
平方得，
解得，
所以的取值范围是．
23．【答案】（Ⅰ）1；
（Ⅱ）在区间单调递增，理由详见解析；
．
【分析】（Ⅰ）结合幂函数的定义域性质，即可求解；
（Ⅱ）结合复合函数的单调性，即可求解；
结合的范围，以及函数的单调性，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）函数为幂函数，
则，解得或，
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意；
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；
所以实数的值为1；
（Ⅱ），
在区间单调递增，
证明如下：
则在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数的单调性可知，在区间单调递增，
由知，在区间单调递增，
则，解得．
24．
【分析】（1）根据幂函数的定义形式和单调性，即可得到解析式；
（2）解出不等式，得到函数定义域，则题目转化为求含参二次函数在定区间上的最小值，分类比较对称轴和区间的关系，即可求得（a）的解析式．
【解答】解：（1）是幂函数且在单调递增，
，解得，．
（2）即，解得，
的定义域为，，
，
对称轴为，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，．
所以，．

展开更多......

收起↑