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第13讲 函数的零点与方程的解
【知识点1】函数零点所在区间的判定 2
【知识点2】函数零点个数的判定 4
【知识点3】根据函数零点求参数 8
【知识点4】其他函数的零点分布 13
【知识点5】根据复合函数零点求参数 16
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
常用结论
若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．
【知识点1】函数零点所在区间的判定
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
例1：
【例1】（2025 湖北模拟）函数的零点所在的区间是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据零点存在性定理即可求解．
【解答】解：函数的定义域为，
因为函数与在上连续且为增函数，
所以函数在上连续且为增函数．
且（2），（3），则（2）（3）．
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是．
故选：．
【例2】（2025 广东一模）函数的一个零点所在的区间是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据函数的单调性，结合函数零点存在性定理，即可判断．
【解答】解：和都是增函数，所以函数为增函数，
且，（1），（2），
（1）（2），所以函数在区间存在唯一零点，所在区间为．
故选：．
【例3】（2025 郴州模拟）函数的零点所在的一个区间是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先判断函数的单调性，再由（4），（5），结合函数零点判定定理得答案．
【解答】解：函数在上单调递增，
且（4），（5），
函数的零点所在的一个区间是．
故选：．
【例4】（2024 安康模拟）函数的零点所在区间是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先判断函数的单调性，然后结合零点存在定理即可求解．
【解答】解：易得函数在上单调递增，
又（1），，
所以在内存在一个零点，使．
故选：．
【例5】（2023 西固区模拟）函数的零点所在的一个区间是　　
A． B． C． D．
【分析】判断函数的连续性，利用零点判定定理求解即可．
【解答】解：函数是连续增函数，
，；
．
所以函数的零点在．
故选：．
【知识点2】函数零点个数的判定
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点．
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数
例1：
【例6】（2025 香坊区四模）函数的零点的个数为　　
A．1 B．2
C．3 D．无法确定，与的取值有关
【答案】
【分析】根据条件，利用指数函数的图象与性质，即可求解．
【解答】解：时，由指数函数的图象与性质知，
当时，，，可得，
当时，，，可得，
当时，，则函数只有一个零点．
故选：．
【例7】（2025 吉林模拟）函数的零点个数为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【分析】由的零点，转化为的零点，根据函数单调性，以及，假设存在，使得，则只需，根据函数性质，假设成立，故即可根据单调性得到结论．
【解答】解：根据题意，若，
变形可得，
设，
要求函数的零点，求出的零点即可，
又由、、、，都是上的减函数，
则在单调递减且，
在上，有，
，
若存在，使得，
又由单调递减，则在上有且只有一个零点，即有且只有一个零点．
故选：．
【例8】（2025 云南模拟）函数的零点个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【分析】利用导数分析函数的单调性，求出极值，结合极值的符号可得原函数零点的个数．
【解答】解：由，得，
由，解得或，
当，，时，，当时，，
在，上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，的极小值为（2），
又当时，，
函数的零点个数是2．
故选：．
【例9】（2025 河北模拟）函数在上的零点个数为　　
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】
【分析】先结合“对勾函数”的性质求出的取值范围，再结合正弦函数的图象求零点个数．
【解答】解：令，
根据“对勾函数”的性质可知：函数在上单调递减，在，上单调递增，
且（1），．
所以当时，，，
由，可得，．
又因为，，
所以只有当，2，3时才满足题意，
此时的值分别对应，，，．
又因为在上各有2个解，
所以在上有6个零点．
故选：．
【例10】（2025 毕节市模拟）若函数则函数的零点个数为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】
【分析】由，可得或，作出函数的图象，结合图象求解即可．
【解答】解：令，
则有或，
作出函数的图象，如图所示：
因为直线与的图象有3个交点，
直线与的图象有4个交点，
所以原方程有7个解．
故选：．
【知识点3】根据函数零点求参数
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解．
例1：
【例11】（2025春 西青区期中）已知函数若函数有8个不同的零点，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】画出函数的图象并利用函数与方程的思想结合图象可知方程有两个不相等的实数根，，且，，再由二次函数根的分布解不等式可得的取值范围．
【解答】解：根据题意对于函数，可得，
当时，令，
则，
所以时，；当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
因此在处取得极小值，最小值，
画出函数的图象如下图所示：
令，
由函数有8个不同的零点，可知方程有两个不相等的实数根，，
结合图象可知，，
所以需满足，解得，
即的取值范围是，．
故选：．
【例12】（2024秋 四川期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．
【答案】
【分析】求出函数的单调区间及对应的函数值集合，再由零点个数列出不等式组求解即得答案．
【解答】解：①当时，在，上单调递减，则函数值的集合为，，
②当时，在，上单调递增，函数值的集合为，，
在，上单调递减，函数值的集合为，，而，
根据题意，函数有两个零点，得或，解得或，
故实数的取值范围为，．
故选：．
【例13】（2024秋 资阳期末）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为　　
A．， B．，
C．， D．，
【答案】
【分析】根据分段函数的性质画出大致图象，根据零点个数及数形结合确定参数范围．
【解答】解：若函数恰有两个零点，
令，得，令，得或，函数草图如下，
根据解析式及函数恰有两个零点，结合图象，易知或．
故选：．
【例14】（2025春 天津期中）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 　　 ．
【答案】．
【分析】通过同构转化函数形式，然后再转化成两个函数，画图确定参数范围．
【解答】解：因为，
令，，则在上单调递增，
所以题意等价于有两个根，即有两个根，
如图，
作出函数的图像及其过原点的切线，可知当时有两个交点即有两个根．
故答案为：．
【例15】（2025春 顺德区月考）若函数有2个零点，则的取值范围是　　 ．
【答案】．
【分析】对函数在定义域内求导，利用导数值正负研究函数增减性及极值，从而得出函数零点情况．
【解答】解：已知，其定义域为，对求导得，
当时，在上，，所以，在上单调递增．此时不可能有2个零点．
当时，
令，即，因为，所以，
解得 ，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以是的极大值点，也是最大值点，
，
因为有2个零点，所以，即，
将不等式变形为，进一步，解这个不等式得，
同时，当时，，，所以；当时，
增长速度远小于增长速度，所以，
综上有函数有两个零点，的取值范围．
故答案为：．
【知识点4】其他函数的零点分布
对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手
(1)开口方向；
(2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；
(3)判别式，决定函数与x轴的交点个数；
(4)区间端点值．
例1：
【例16】（2025 台湾四模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次函数的图像和零点存在定理求解的取值范围．
【解答】解：因为，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，，
可得，为函数的两个零点，
利用零点存在定理可得：，即，所以，
所以，
解得．
故选：．
【例17】（2024秋 佛山期末）若关于的方程有两相异实根，，且，则实数的取值范围是　　
A．，， B．
C． D．
【答案】
【分析】根据两相异实根，，满足得到关于的不等式组，再解不等式组可得答案．
【解答】解：根据题意，方程有两相异实根，，且，
则，
得，
则的取值范围为．
故选：．
【例18】（2024秋 青海期末）若二次方程在上有两个不相等的实根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合二次方程根的分布条件建立关于的不等式组，解不等式组即可求解．
【解答】解：因为二次方程在上有两个不相等的实根，
所以，解得．
故选：．
【例19】（2024秋 扬州期末）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是　　
A．或 B． C． D．
【答案】
【分析】根据已知条件，得到不等式组，即可求解．
【解答】解：设，
由题意可知，，即，解得，
故实数的取值范围是．
故选：．
【例20】（2025春 镇雄县月考）已知函数．若在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围为　，　 ．
【答案】．
【分析】先把方程根的问题转化为函数图像与轴交点的问题，再列出不等式组，解出即可．
【解答】解：由题意可知，二次函数的图像与轴有两个交点，
因为的对称轴为，
所以，
解得，
所以的取值范围为．
故答案为：．
【知识点5】根据复合函数零点求参数
对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：
(1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；
(2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1,2,3，…，n)；
(3)确定直线u＝ui(i＝1,2,3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.
例1：
【例21】（2025 湖北模拟）若函数，关于的方程的根的个数为　　
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】
【分析】首先解得或，再根据函数的图象，利用数形结合，即可求解．
【解答】解：因为，
即，
所以或，
作出函数的大致图象，如图所示：
根据图可知，
和与只有两个交点，
令，
则或，
解得或或或；
令，
则或，
解得或或或；
所以此时方程有10个交点．
故选：．
【例22】（2025 黑龙江三模）已知函数，若关于的方程有实根，则实数的取值范围是　　
A．， B．
C． D．
【答案】
【分析】先求出的值域，再令，则问题转化为关于的一元二次方程的根的问题，进而通过讨论研究一元二次函数的△分类求出即可．
【解答】解：因为，所以，
所以函数的定义域为，
而，
所以当时，取到最大值，
所以．
所以函数的值域为，，
设，，
则问题转化为关于的方程，
即在，上存在根的问题．
设，，
则的图象为开口向上的抛物线在轴右侧部分（含轴），
方程的判别式△，
①当△时，或，此时对称轴，
则函数在，有唯一零点；
②当△且在，有唯一零点时，
或，
解得或；
③当△且在，有两个零点时，设这两个零点分别为，，
则解得．
综上可知：或．
所以实数的取值范围为，，．
故选：．
【例23】（2025 涟源市模拟）已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】令，作出函数函数的大致的图象，结合图象得出关于的方程根的情况，再根据一元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解．
【解答】解：由题意，作出函数的大致图象，如图：
令，由图可知，
当时，关于的方程有2个不同的实数根；
当时，关于的方程无实数根；
当或，时，关于的方程只有1个实数根．
因为关于的方程有3个不同实数根，
所以关于的方程的一个根在内，另一个根在，内，
或一个根为0，另一个根在内．
当为方程的根时，，且方程的另一根为；
当时，方程的另一个根为，不符合题意；
当时，方程的另一个根为，不符合题意；
当为方程的根时，有，则或；
当时，方程的另一个根为，不符合题意；
当时，方程的另一个根为，不符合题意；
所以关于的方程的一个根在内，另一个根在内．
令，
则，即，
即，即，
解得．
综上所述，实数的取值范围是．
故选：．
【例24】（2025 市中区模拟）已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为　　
A．， B． C．，， D．，
【答案】
【分析】由题意可得或，作出函数的图象，结合图象求解即可．
【解答】解：由，
可得，
解得或，
作出函数的图象，如图所示：
由图可知有两个解，
要使原方程有5个解，
所以必有3个解，
由图象可得，．
故选：．
【例25】（2025 沙坪坝区模拟）对于二次函数，若函数有4个零点，则有　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】令，由题意可得必有两个不同实数根，，且，从而可得，再由二次函数的性质即可得答案．
【解答】解：令，
因为函数有4个零点，
所以必有两个不同实数根，，
设，且，
且和各产生2个根，
从而，
结合二次函数图象可知，
必有．
故选：．第13讲 函数的零点与方程的解
【知识点1】函数零点所在区间的判定 2
【知识点2】函数零点个数的判定 3
【知识点3】根据函数零点求参数 4
【知识点4】其他函数的零点分布 5
【知识点5】根据复合函数零点求参数 6
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
常用结论
若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．
【知识点1】函数零点所在区间的判定
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
例1：
【例1】（2025 湖北模拟）函数的零点所在的区间是　　
A． B． C． D．
【例2】（2025 广东一模）函数的一个零点所在的区间是　　
A． B． C． D．
【例3】（2025 郴州模拟）函数的零点所在的一个区间是　　
A． B． C． D．
【例4】（2024 安康模拟）函数的零点所在区间是　　
A． B． C． D．
【例5】（2023 西固区模拟）函数的零点所在的一个区间是　　
A． B． C． D．
【知识点2】函数零点个数的判定
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点．
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数
例1：
【例6】（2025 香坊区四模）函数的零点的个数为　　
A．1 B．2
C．3 D．无法确定，与的取值有关
【例7】（2025 吉林模拟）函数的零点个数为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【例8】（2025 云南模拟）函数的零点个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【例9】（2025 河北模拟）函数在上的零点个数为　　
A．3 B．4 C．6 D．8
【例10】（2025 毕节市模拟）若函数则函数的零点个数为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【知识点3】根据函数零点求参数
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解．
例1：
【例11】（2025春 西青区期中）已知函数若函数有8个不同的零点，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【例12】（2024秋 四川期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．
【例13】（2024秋 资阳期末）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为　　
A．， B．，
C．， D．，
【例14】（2025春 天津期中）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 　　 ．
【例15】（2025春 顺德区月考）若函数有2个零点，则的取值范围是　　 ．
【知识点4】其他函数的零点分布
对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手
(1)开口方向；
(2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；
(3)判别式，决定函数与x轴的交点个数；
(4)区间端点值．
例1：
【例16】（2025 台湾四模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【例17】（2024秋 佛山期末）若关于的方程有两相异实根，，且，则实数的取值范围是　　
A．，， B．
C． D．
【例18】（2024秋 青海期末）若二次方程在上有两个不相等的实根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例19】（2024秋 扬州期末）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是　　
A．或 B． C． D．
【例20】（2025春 镇雄县月考）已知函数．若在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围为　 　 ．
【知识点5】根据复合函数零点求参数
对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：
(1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；
(2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1,2,3，…，n)；
(3)确定直线u＝ui(i＝1,2,3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.
例1：
【例21】（2025 湖北模拟）若函数，关于的方程的根的个数为　　
A．7 B．8 C．9 D．10
【例22】（2025 黑龙江三模）已知函数，若关于的方程有实根，则实数的取值范围是　　
A．， B．
C． D．
【例23】（2025 涟源市模拟）已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例24】（2025 市中区模拟）已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为　　
A．， B． C．，， D．，
【例25】（2025 沙坪坝区模拟）对于二次函数，若函数有4个零点，则有　　
A． B． C． D．

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