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第12讲 对数与对数函数
【知识点1】对数式的运算 3
【知识点2】对数函数的定义域与值域 4
【知识点3】对数函数的单调性应用（解不等式、比较大小） 5
【知识点4】对数函数的奇偶性与对称性 6
【知识点5】对数函数的图象及应用 8
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
增函数 减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝logab(a>0，且a≠1，b>0)
2．如图，给出4个对数函数的图象．
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
【知识点1】对数式的运算
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
例1：
【例1】（2024秋 滨州期末）计算的值为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【例2】（2024秋 安徽期末）化简的值为　　
A． B． C． D．
【例3】（2024秋 济宁期末）　　
A．2 B．4 C．6 D．8
【例4】（2025春 河东区月考）计算的值为 　　 ．
【例5】（2024秋 沙依巴克区期末）　　
A．10 B．11 C．12 D．3
【知识点2】对数函数的定义域与值域
定义域：
1.真数，即解不等式（若对数函数为）．
2.若存在复合函数（如根号、分式等），需结合其他函数定义域规则综合求解．
值域：
1.先确定内层函数的取值范围（）．
2.根据对数函数的单调性，由t的范围推导的值域
例1：
【例6】（2025春 朝阳月考）函数的定义域为　　
A． B．，， C． D．，，
【例7】（2024秋 仁寿县期末）函数的定义域为　　
A．， B．， C．，， D．，，
【例8】（2023秋 内蒙古期末）已知函数的值域为，，则函数的定义域为　　
A．， B．， C．， D．
【例9】（2023秋 镇江期末）函数的定义域为，则值域为　　
A． B． C． D．，
【例10】（2024秋 宝山区月考）函数的值域为 　，　．
【知识点3】对数函数的单调性应用（解不等式、比较大小）
1.若对数底数a确定，直接利用单调性去掉对数符号，注意真数大于0，如：
当时，；
当时，．
2.若底数a不确定，需分和两种情况讨论．
3.比较大小时，若底数或真数不同，可引入中间值（如、）辅助判断．
例1：
【例11】（2025 金华模拟）已知，，，则　　
A． B． C． D．
【例12】（2025 安溪县模拟）已知函数在，上为减函数，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【例13】（2025 思明区模拟）若函数是减函数，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例14】（2025 吉林三模）若函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例15】（2025 南开区一模）已知函数，在，上单调递减，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【知识点4】对数函数的奇偶性与对称性
1.奇偶性：判断与的关系，注意定义域需关于原点对称．
若，则非奇非偶（定义域不关于原点对称）．
复合函数如，需先求定义域，再验证（奇函数）．
2.对称性：
若，则图象关于直线对称；
若，则图象关于点对称．
例1：
【例16】（2024秋 巫山县期末）在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，若，则的值是　　
A． B． C． D．
【例17】（2024 盐湖区一模）设方程的两根分别为、，则　　
A． B． C． D．
【例18】（2024秋 城区月考）已知，则函数与函数的图象可能是 　②　．
【例19】（2024秋 高要市月考）已知函数，，若（3）（3），则与的图象为　　
A． B．
C． D．
【例20】函数，的图象与直线的交点分别为，和，，下列各式成立的是　　
A． B． C． D．
【知识点5】对数函数的图象及应用
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
例1：
【例22】（2024秋 盐城期末）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
【例23】（2024秋 蚌埠期末）函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：
则按照从左到右图象对应的函数序号是　　
A．①④③② B．①④②③ C．④①②③ D．③④②①
【例24】（2024秋 安溪县期末）函数且的图象如图所示，则必有　　
A．， B．，
C．， D．，
【例25】（2024秋 长沙期末）函数，且与函数在同一直角坐标系中的图象大致是　　
A． B．
C． D．
第1页 共1页第12讲 对数与对数函数
【知识点1】对数式的运算 3
【知识点2】对数函数的定义域与值域 5
【知识点3】对数函数的单调性应用（解不等式、比较大小） 7
【知识点4】对数函数的奇偶性与对称性 10
【知识点5】对数函数的图象及应用 14
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
增函数 减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝logab(a>0，且a≠1，b>0)
2．如图，给出4个对数函数的图象．
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
【知识点1】对数式的运算
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
例1：
【例1】（2024秋 滨州期末）计算的值为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】
【分析】根据对数运算法则、换底公式、对数恒等式运算即可．
【解答】解：
．
故选：．
【例2】（2024秋 安徽期末）化简的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知结合对数的换底公式进行化简即可求解．
【解答】解：
．
故选：．
【例3】（2024秋 济宁期末）　　
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】
【分析】利用对数的运算性质即可求解．
【解答】解：原式
．
故选：．
【例4】（2025春 河东区月考）计算的值为 　3　 ．
【答案】3．
【分析】结合对数的运算性质即可求解．
【解答】解：
．
故答案为：3．
【例5】（2024秋 沙依巴克区期末）　　
A．10 B．11 C．12 D．3
【答案】
【分析】利用对数的运算和性质，指数幂的运算化简求值即可．
【解答】解：，
，
，
，
．
故选：．
【知识点2】对数函数的定义域与值域
定义域：
1.真数，即解不等式（若对数函数为）．
2.若存在复合函数（如根号、分式等），需结合其他函数定义域规则综合求解．
值域：
1.先确定内层函数的取值范围（）．
2.根据对数函数的单调性，由t的范围推导的值域
例1：
【例6】（2025春 朝阳月考）函数的定义域为　　
A． B．，， C． D．，，
【答案】
【分析】根据函数解析式列出相应不等式，即可求得答案．
【解答】解：由题意得，得且．
即函数的定义域为，，．
故选：．
【例7】（2024秋 仁寿县期末）函数的定义域为　　
A．， B．， C．，， D．，，
【答案】
【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求解集即可．
【解答】解：因为函数，
所以，即，
解得且，
所以的定义域为，，．
故选：．
【例8】（2023秋 内蒙古期末）已知函数的值域为，，则函数的定义域为　　
A．， B．， C．， D．
【答案】
【分析】先求出的定义域，再结合抽象函数定义域的求法，即可求解．
【解答】解：由值域为，，得，
故，即的定义域为，，
令得，故的定义域为，．
故选：．
【例9】（2023秋 镇江期末）函数的定义域为，则值域为　　
A． B． C． D．，
【答案】
【分析】根据已知条件，结合函数的单调性，即可求解．
【解答】解：在上单调递增，
，，
故所求值域为．
故选：．
【例10】（2024秋 宝山区月考）函数的值域为 　，　．
【答案】，．
【分析】求出的范围，得到函数解析式中分母的范围，取倒数得答案．
【解答】解：，，
则，
则函数的值域为，．
故答案为：，．
【知识点3】对数函数的单调性应用（解不等式、比较大小）
1.若对数底数a确定，直接利用单调性去掉对数符号，注意真数大于0，如：
当时，；
当时，．
2.若底数a不确定，需分和两种情况讨论．
3.比较大小时，若底数或真数不同，可引入中间值（如、）辅助判断．
例1：
【例11】（2025 金华模拟）已知，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合换底公式，以及对数函数单调性，即可求解．
【解答】解：，，，
又，
则，
又，
则．
故选：．
【例12】（2025 安溪县模拟）已知函数在，上为减函数，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根据对数复合函数的对称性进行求解即可．
【解答】解：令，对称轴为，
因为函数是正实数集上的减函数，
所以要想函数在，上为减函数，
只需函数在，上为增函数，且在，上恒成立，
所以，且（2），
解得．
故选：．
【例13】（2025 思明区模拟）若函数是减函数，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据可得，利用求出的取值范围验证取舍可得结果．
【解答】解：由题意得，函数定义域为，
因为，
所以，
又因为且，所以，所以，
又因为，所以，解得，
当时，，，不合题意，
所以的取值范围是，．
故选：．
【例14】（2025 吉林三模）若函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知结合对数函数，一次函数的单调性及复合函数的性质即可求解．
【解答】解：若函数在区间，上单调递减，
则，解得．
故选：．
【例15】（2025 南开区一模）已知函数，在，上单调递减，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】令，得到为单调递增函数，根据对数函数的性质，以及复合函数的单调性的判定方法，列出不等式，求得的取值范围，即可得到答案．
【解答】解：根据知是增函数，
又在，上是减函数，
，解得，
的取值范围为：．
故选：．
【知识点4】对数函数的奇偶性与对称性
1.奇偶性：判断与的关系，注意定义域需关于原点对称．
若，则非奇非偶（定义域不关于原点对称）．
复合函数如，需先求定义域，再验证（奇函数）．
2.对称性：
若，则图象关于直线对称；
若，则图象关于点对称．
例1：
【例16】（2024秋 巫山县期末）在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，若，则的值是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由函数的图象与的图象关于直线对称，则的图象与互为反函数，易得的解析式，由函数的解析式构造方程，解方程即可求得的值．
【解答】解：函数的图象与的图象关于直线对称，
函数与互为反函数，
则，
又
，
，
故选：．
【例17】（2024 盐湖区一模）设方程的两根分别为、，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】作出函数对应的图象，判断两个根的取值的大体范围，然后利用对数的运算法则和指数函数的性质进行判断大小即可．
【解答】解：作出函数，的图象，由图象可知，两个根一个小于，一个在之间，
不妨设，，
则，
．
两式相减得：
，
即．
故选：．
【例18】（2024秋 城区月考）已知，则函数与函数的图象可能是 　②　．
【分析】由，则得到，即，然后根据指数函数和对数函数的性质即可判断函数的图象．
【解答】解：，
，即，
①的定义域为，①错误．
②由图象知指数函数单调递增，，此时单调递增，满足条件．
③由图象知指数函数单调递减，，此时单调递减，不满足条件．
④由图象知指数函数单调递增，，此时单调递增，不满足条件．
故答案为：②．
【例19】（2024秋 高要市月考）已知函数，，若（3）（3），则与的图象为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据指数函数的性质，由（3）（3）得到（3）从而得到的取值范围，然后根据指数函数和对数函数的性质即可得到结论．
【解答】解：，，若（3）（3），
（3），（3），
，
即，都为增函数，
故选：．
【例20】函数，的图象与直线的交点分别为，和，，下列各式成立的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据指数函数和对数函数之间的关系，得到函数，为反函数，两个函数的图象关于对称，然后利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：，
函数的反函数为，
即函数，的图象关于轴对称．
即在直线上，
，
即，
，
故选：．
【知识点5】对数函数的图象及应用
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
例1：
【例21】（2025 长沙一模）已知，，且，，则函数与的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】分析可知，，再由指数函数及对数函数的性质即可得解．
【解答】解：由可知，，
故，
故函数与函数的单调性相同．
故选：．
【例22】（2024秋 盐城期末）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由解析式判断出函数的奇偶性，再代入特殊点逐一排除即可．
【解答】解：由函数，可知定义域为，，，且定义域关于原点对称．
因为，
所以函数为奇函数，故排除选项；
因为，故排除选项；
因为，故排除选项．
故选：．
【例23】（2024秋 蚌埠期末）函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：
则按照从左到右图象对应的函数序号是　　
A．①④③② B．①④②③ C．④①②③ D．③④②①
【答案】
【分析】将函数写成分段函数，结合函数定义域，单调性作出判断，得到答案．
【解答】解：已知函数：①；②；③；④，
由①，对应的图象为从左到右第一个，
由②令，得，故定义域为，
且，
对应的图象为从左到右第三个，
由③，对应的图象为从左到右第四个，
令，解得或，故的定义域为，，，
由④，
由复合函数可知，在上单调递减，
在上单调递增，
对应的图象为从左到右第二个，
按照从左到右图象对应的函数序号是①④②③．
故选：．
【例24】（2024秋 安溪县期末）函数且的图象如图所示，则必有　　
A．， B．，
C．， D．，
【答案】
【分析】根据对数函数的知识以及图象来确定正确答案．
【解答】解：由图象可知，在定义域上单调递增，而是增函数，
根据复合函数单调性可知，，
又，，则，
由图可知，当时，，即，
由图可知，则，可得．
故选：．
【例25】（2024秋 长沙期末）函数，且与函数在同一直角坐标系中的图象大致是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由函数与函数的图象特征，结合选项直接得解．
【解答】解：函数的对称轴为，且恒过定点，观察选项可知，选项可能符合，
若选，则由图象可知，此时，函数单调递减，且恒过定点，符合题意．
故选：．
第1页 共1页第12讲 对数与对数函数
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 柘荣县月考）式子　　
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2024秋 裕安区期末）化简的值为　　
A． B． C． D．
3．（2025春 广州期中）使式子有意义的的取值范围是　　
A． B． C． D．
4．（2024 盐湖区一模）已知符号函数则函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
5．（2023秋 杭州期中）函数的值域为　　
A． B． C． D．
6．（2024秋 汉中期末）曲线与交点个数是　　
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2025 河南一模）已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为　　
A．， B．， C．， D．，
8．（2025 宝鸡模拟）若，，则实数，，的大小顺序为　　
A． B． C． D．
9．（2023 长春模拟）如图，①②③④中不属于函数，，的一个是　　
A．① B．② C．③ D．④
10．（2023 和平区模拟）已知函数，，设为实数，若存在实数，使（a），则实数的取值范围为　　
A．， B．，， C．， D．，
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025 枣庄模拟）下列运算中正确的是　　
A．
B．当时，
C．若，则
D．
（多选）12．（2025 云南模拟）已知函数为偶函数，，其中．若函数与的图象有且只有一个公共点，则　　
A． B．
C． D．，，
（多选）13．（2025 孝感模拟）已知函数在区间上单调递增，则　　
A． B．
C． D．
（多选）14．（2024 孝南区模拟）已知函数和的图象与直线的交点分别为，，，，则　　
A． B．
C． D．
三．填空题（共4小题）
15．（2025 滁州模拟）已知函数恒过定点，则 　　．
16．（2025 河南模拟）函数的定义域为　　 ，值域为　　 ．
17．（2025 黄浦区三模）已知正实数、满足，，则　　．
18．（2025 江西模拟）已知函数在，上的最小值是1，则 　　 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2023 抚松县一模）（1）；
（2）．
20．（2025 浦东新区三模）已知且．
（1）若，解方程；
（2）若（a），求的取值范围．
21．（2025 崇明区二模）已知．
（1）是否存在实数，使得函数是偶函数？若存在，求实数的值，若不存在，请说明理由；
（2）若且，解关于的不等式．
22．（2023 神木市一模）已知是定义在上的偶函数，且时，．
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围．
23．（2023 湘西州一模）已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的零点；
（3）若函数的最小值为，求的值．
24．（2023 泸州模拟）已知函数为奇函数，函数．
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）当，时，关于的不等式有解，求的取值范围．
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D C A C B B C
二．多选题（共4小题）
题号 11 12 13 14
答案 BD AC AC ACD
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及换底公式计算即得．
【解答】解：原式．
故选：．
2．【答案】
【分析】由已知结合对数的换底公式进行化简即可求解．
【解答】解：
．
故选：．
3．【答案】
【分析】由对数函数的定义构造不等式即可求解．
【解答】解：有意义
则，解得：且，
所以的取值范围是．
故选：．
4．【答案】
【分析】先得到为偶函数，排除，再计算出（1），得到正确答案．
【解答】解：定义域为，且为奇函数，故，
的定义域为，
且
，
故为偶函数，错误；
当时，（1）（1），错误，正确．
故选：．
5．【答案】
【分析】利用对数的运算性质化为求二次函数的值域，即可得出结论．
【解答】解：，
，，
，
，．
故选：．
6．【答案】
【分析】作出曲线与图象，结合图象即可得出答案．
【解答】解：作出曲线与大致图象，
可知，，而，
由曲线与图象知，曲线与有3个交点．
故选：．
7．【答案】
【分析】利用对数函数的图象与性质分析判断即可．
【解答】解：由的图象可得，
又当时，，
故．
故选：．
8．【答案】
【分析】求出、、，利用对数函数、幂函数的单调性可得出、、的大小顺序．
【解答】解：由题意可得，，所以，，
因为对数函数为上的增函数，则，
幂函数在上为增函数，则，所以．
故选：．
9．【答案】
【分析】直接利用函数的图象和函数的单调性的应用判断结果．
【解答】解：根据函数的图象，函数的底数决定函数的单调性，
当底数时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
当底数，满足底数越大函数的图象在时，越靠近轴，
故①对应函数的图象，
根据对称性，④对应函数的由图象，
③对应函数的图象，
②与函数的图象相矛盾，故②错误．
故选：．
10．【答案】
【分析】根据函数的图象，得出值域为，，利用存在实数，使（a），得出（a）的值域满足，即可．
【解答】解：，设为实数，
（a），，
，，
当时，，
函数，
，，
值域为，
存在实数，使（a），
，
即，
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】利用指数和对数运算公式即可直接解出．
【解答】解：对于选项，，故选项错误；
对于选项，，故选项正确；
对于选项，令，则，故，选项错误；
对于选项，，故选项正确；
故选：．
12．【答案】
【分析】由偶函数的性质即可求出；令，题目等价于在上只有一解，讨论，和三种情况讨论求解．
【解答】解：是偶函数，
对任意恒成立，
即恒成立，
．
，，，
令，由可得，
问题等价于关于的方程在上只有一解，
①当时，解得，不合题意；
②当时，记，对称轴，
函数在上递减而，
方程在无解．
③当时，记，对称轴，
只需，即，此时方程恒成立，
，
综上所述，．
故选：．
13．【答案】
【分析】结合对数函数性质及复合函数单调性即可求解．
【解答】解：，，
设，可得函数在上单调递减，在上单调递增，
由题意可得，故正确，错误；
由，在上单调递减，则，故正确，错误．
故选：．
14．【答案】
【分析】由题意可得，两点的中点为，从而可得，，且，即可判断；由，即可判断；由，即可判断．
【解答】解：因为函数和互为反函数，
所以函数和的图象关于直线对称，
由解得，
又因为直线与直线垂直，
所以，两点的中点为，
所以，，且，所以正确，错误；
由，可得，所以正确；，所以正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】．
【分析】由已知结合对数函数的性质即可求解．
【解答】解：根据对数函数的性质可令，则，，
所以，，．
故答案为：．
16．【答案】，，；，
【分析】结合对数函数真数大于0，以及二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：因为，
所以恒成立．由，得，，，
，
故的值域为，．
故答案为：，，；，．
17．【答案】．
【分析】由已知结合对数的运算性质可得，的关系，然后结合指数幂的运算性质即可求解．
【解答】解：因为正实数、满足，
解得，或，
所以或，
当时，，
所以，即，，，
当时，，即，，，
则．
故答案为：．
18．【答案】．
【分析】由已知结合对数函数，二次函数的性质及复合函数的单调性对的范围进行分类讨论即可求解．
【解答】解：若，则的定义域为，，，
在上单调递减，在上单调递增；
若，则的定义域为，，，
由题意可得，，在上单调递减，在上单调递增．
综上，在，上单调递增，（2），即，解得．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）2；
（2）4．
【分析】由对数的运算性质求解即可．
【解答】解：（1）原式
．（5分）
（2）原式
．（5分）
20．【答案】（1）或．
（2），，．
【分析】（1）根据对数运算法则，化简与，设，原方程等价于，求解即可．
（2）讨论和时，根据指数函数的单调性转化不等式（a），求解集即可．
【解答】解：（1）由对数运算法则，，
，
设，则原方程等价于，解得或．
所以原方程的解为或．
（2）当时，函数严格单调递减，（a）等价于不等式组，解得；
当时，函数严格单调递增，（a）等价于不等式组，解得．
综上，的取值范围是，，．
21．【答案】（1）存在实数，使得函数是偶函数；
（2）当时，不等式的解集为，；当时，不等式的解集为，．
【分析】（1）利用对数函数的性质，结合偶函数的定义求解；
（2）利用对数函数的单调性求解．
【解答】解：（1）根据题意，存在，使得函数是偶函数，
当时，，有，
解可得，即函数的定义域为，
由，则为偶函数，符合题意，
综上所述，存在实数，使得函数是偶函数；
（2）由，得，
所以，且①，
由①得，，
因为且，
所以当时，；当时，，
综上所述，当时，不等式的解集为，；当时，不等式的解集为，．
22．
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求函数的解析式；
（2）若，将不等式进行转化即可求实数的取值范围
【解答】解：（1）令，则，
时，，
则．
（2）（Ⅲ）在，上为增函数，
在上为减函数
（1）
，
或．
23．
【分析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；
（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由，即，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；
（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值，得利用对数的定义求出的值．
【解答】解：（1）要使函数有意义：则有，解之得：，
则函数的定义域为：
（2）函数可化为
由，得，
即，
，函数的零点是
（3）函数可化为：
，，
，，
即，由，得，
24．【分析】（Ⅰ）根据函数成立的条件即可求函数的定义域；
（Ⅱ）根据对数的运算法则和对数函数的性质解不等式即可．
【解答】解：（Ⅰ）由为奇函数得，
即，
所以，解得，
经检验符合题意，故，
所以的定义域是；
（Ⅱ）不等式等价于，
即在有解，
故只需，
函数在单调递增，
所以，
所以的取值范围是．

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