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第14讲 导数的概念及其意义、导数的运算
【知识点1】导数的运算 2
【知识点2】导数的几何意义——求切线方程 5
【知识点3】导数的几何意义——求参数的值(范围) 8
【知识点4】两曲线的公切线 10
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或.
f′(x0)＝ ＝ .
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f′(x)＝y′＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
1．在点处的切线与过点的切线的区别
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.′＝(f(x)≠0)．
【知识点1】导数的运算
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
例1：
【例1】（2025春 广州期中）下列求导运算正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】本直接利用求导公式计算即可．
【解答】解：选项：，故选项错误；
选项：，故选项错误；
选项：，故选项正确；
选项：，故选项错误；
故选：．
【例2】（2025 鹤壁一模）已知函数，则（1）　　
A．1 B．2 C． D．
【答案】
【分析】因为（1）是常数，所以对求导数得（1），再将代入得到关于（1）的方程，解之可得答案．
【解答】解：对于，求导数得，
当时，，解得．
故选：．
【例3】（2024秋 江苏期末）下列求导的运算中，正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】利用基本函数的导数公式和运算法则逐项求解即可；
【解答】解：项，故项正确；
项．，故项错误；
项．，故项正确；
项，故项正确．
故选：．
【例4】（2024春 东城区期中）下列给出四个求导的运算：①；②；③；④．其中运算结果正确的是　　
A．①④ B．①③ C．①②④ D．②③④
【答案】
【分析】根据导数四则运算法则及复合函数求导公式即可判断．
【解答】解：，故①正确；
，故②正确；
，故③错误；
，故④正确．
故选：．
【例5】（2025春 河南月考）已知函数，则曲线在点处的切线方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】利用导数来求切线斜率，写出点斜式方程即可．
【解答】解：因为，所以，
所以，
所以所求切线方程为．
故选：．
【知识点2】导数的几何意义——求切线方程
1.明确切点：
若已知切点，直接代入点斜式求切线方程．
若未知切点，需设切点为，通过条件（如切线过某点、切线斜率已知）列方程求解．
2.注意切线与导数的关系：
若函数在处可导，切线唯一；若不可导（如尖点），需通过极限定义分析切线．
3.易错点：
区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”：过点P的切线，点P未必是切点，需设切点后求解
【例6】（2025 江苏一模）曲线在点，（1）处的切线方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式求解切线方程即可．
【解答】解：由，得（1），则所求切线切点坐标为，
，则（1），则所求切线斜率为，
故所求的切线方程为，即．
故选：．
【例7】（2025春 贵州期中）函数的图象在点，处的切线方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】对函数求导，根据导数几何意义及点斜式即可求解直线方程．
【解答】解：因为，所以，
所以，，
所以所求切线方程为，即．
故选：．
【例8】（2025春 河北区月考）若直线与曲线相切，则　　
A． B． C． D．4
【答案】
【分析】设切点为，对求导，利用导数的几何意义建立关于，，的方程组，解出即可．
【解答】解：由，可得，
设切点为，
则，解得．
故选：．
【例9】（2025春 红桥区月考）已知函数，则在处的切线方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解．
【解答】解：因为，所以，
所以（1），（1），
所以所求切线方程为，
即为．
故选：．
【例10】（2025春 菏泽期中）下列函数中，求导正确的是　　
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】
【分析】利用导数的运算分别求导即可．
【解答】解：因为，所以，即选项正确．
因为，所以，即选项错误．
因为，所以，即选项正确．
因为，所以，即选项正确．
故选：．
【知识点3】导数的几何意义——求参数的值(范围)
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
例1：
【例11】（2025春 三原县期中）已知函数在点，（1）处的切线的斜率为2，则　　
A． B．0 C．1 D．2
【答案】
【分析】根据导数的几何意义即可求解．
【解答】解：，所以，
所以（1），所以．
故选：．
【例12】（2025 南安市模拟）已知为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】根据切线的斜率为1，则切点处的导数值为1，由此求出，的关系，将构造成某个变量的函数形式，求值域即可．
【解答】解：设曲线的切点为，，
又，由题意，
所以，故①．
又②．
由①②得：，所以．
当且仅当时取等号．
故．
故选：．
【例13】（2025 江苏模拟）已知函数，曲线在点，（1）处的切线与轴平行，则　　
A． B． C．0 D．1
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线平行即可得解．
【解答】解：因为函数，
所以，
因为曲线在点，（1）处的切线与轴平行，
所以（1），解得．
故选：．
【例14】（2025春 南宁期中）若直线与曲线相切，则的取值范围是　　
A． B．， C．， D．
【答案】
【分析】设切点坐标为，，求得，得到，结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：因为，所以，
设直线与曲线相切于点，，
则，
所以实数的取值范围为．
故选：．
【例15】（2025 苏州模拟）已知函数，曲线在点，（1）处的切线与直线平行，则实数的值为　　
A． B． C． D．1
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，直线平行的条件，建立方程，即可求解．
【解答】解：因为，所以，
又在点，（1）处的切线与直线平行，
所以（1），解得．
故选：．
【知识点4】两曲线的公切线
公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
例1：
【例16】（2025春 临沂期中）已知过点的直线是曲线与的公共切线，则实数的值为　　
A．或3 B．1或 C． D．3
【答案】
【分析】先设切点坐标为，再求切线方程，再将点代入切线方程中，构造函数，通过其单调性求出，进而求出切线方程，再联立切线方程与，利用△即可求得．
【解答】解：因为曲，所以，
设切线与切于点，
则切线斜率为，
所以切线的方程为，又其过，
则，所以，
若，则，故，则，
若，则，，，则，即，
令，
则，
则得；得，
则在上单调递增，在上单调递减，
则（1），即，等号成立时，
故，
故切线方程为，联立，
得，
则△，得或3．
故选：．
【例17】（2025春 山东期中）若直线与曲线相切，切点为，，与曲线也相切，切点为，，则的值为　　
A． B． C．0 D．1
【答案】
【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线方程即可得解．
【解答】解：因为直线与曲线相切，切点为，，
可知直线的方程为，
又直线与曲线也相切，切点为，，
可知直线的方程为，
所以，两式相除，可得，
所以．
故选：．
【例18】（2025春 辽宁月考）若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是　　
A．， B．，
C．，， D．，，
【答案】
【分析】分别假设公切线的切点，然后根据题意列出方程并化简，进而转化为两个函数有交点即可．
【解答】解：，设公切线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，
则切线方程分别为，，
所以
由①得，
代入②得，
令，
则，
所以当时，，当时，，
所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，
所以，
又当时，，
所以的值域为，，
所以的取值范围是，，．
故选：．
【例19】（2025春 龙岗区期中）已知和有公共切线，切点分别为，，，，则下列结论不正确的是　　
A．
B．
C．若点，则始终为钝角
D．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，方程与化归转化思想，针对各个选项分别求解即可．
【解答】解：因为，，
所以，，
又和有公共切线，切点分别为，，，，
所以，，，
所以，即，所以，所以选项正确；
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以，所以选项正确；
若点，
则，，
，
当时，，，与重合，不成立，
当时，，，所以，
当时，，，所以，
所以，又时，，，，
此时，，，三点不共线，
所以始终为钝，所以选项正确；
由，，可得，
解得，即，所以选项错误．
故选：．
【例20】（2025春 石家庄期中）若函数与函数在公共点处有相同的切线，则实数　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】设公共点横坐标为，然后利用“函数值相等、切点处的导数相等”，列出关于，的方程组求解即可．
【解答】解：由已知得，．
再设两曲线的公共点为，则，
解得．
故选：．第14讲 导数的概念及其意义、导数的运算
【知识点1】导数的运算 2
【知识点2】导数的几何意义——求切线方程 4
【知识点3】导数的几何意义——求参数的值(范围) 5
【知识点4】两曲线的公切线 6
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或.
f′(x0)＝ ＝ .
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f′(x)＝y′＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
1．在点处的切线与过点的切线的区别
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.′＝(f(x)≠0)．
【知识点1】导数的运算
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
例1：
【例1】（2025春 广州期中）下列求导运算正确的是　　
A． B．
C． D．
【例2】（2025 鹤壁一模）已知函数，则（1）　　
A．1 B．2 C． D．
【例3】（2024秋 江苏期末）下列求导的运算中，正确的是　　
A． B．
C． D．
【例4】（2024春 东城区期中）下列给出四个求导的运算：①；②；③；④．其中运算结果正确的是　　
A．①④ B．①③ C．①②④ D．②③④
【例5】（2025春 河南月考）已知函数，则曲线在点处的切线方程为　　
A． B．
C． D．
【知识点2】导数的几何意义——求切线方程
1.明确切点：
若已知切点，直接代入点斜式求切线方程．
若未知切点，需设切点为，通过条件（如切线过某点、切线斜率已知）列方程求解．
2.注意切线与导数的关系：
若函数在处可导，切线唯一；若不可导（如尖点），需通过极限定义分析切线．
3.易错点：
区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”：过点P的切线，点P未必是切点，需设切点后求解
【例6】（2025 江苏一模）曲线在点，（1）处的切线方程为　　
A． B． C． D．
【例7】（2025春 贵州期中）函数的图象在点，处的切线方程为　　
A． B． C． D．
【例8】（2025春 河北区月考）若直线与曲线相切，则　　
A． B． C． D．4
【例9】（2025春 红桥区月考）已知函数，则在处的切线方程为　　
A． B． C． D．
【例10】（2025春 菏泽期中）下列函数中，求导正确的是　　
A．，
B．，
C．，
D．，
【知识点3】导数的几何意义——求参数的值(范围)
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
例1：
【例11】（2025春 三原县期中）已知函数在点，（1）处的切线的斜率为2，则　　
A． B．0 C．1 D．2
【例12】（2025 南安市模拟）已知为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【例13】（2025 江苏模拟）已知函数，曲线在点，（1）处的切线与轴平行，则　　
A． B． C．0 D．1
【例14】（2025春 南宁期中）若直线与曲线相切，则的取值范围是　　
A． B．， C．， D．
【例15】（2025 苏州模拟）已知函数，曲线在点，（1）处的切线与直线平行，则实数的值为　　
A． B． C． D．1
【知识点4】两曲线的公切线
公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
例1：
【例16】（2025春 临沂期中）已知过点的直线是曲线与的公共切线，则实数的值为　　
A．或3 B．1或 C． D．3
【例17】（2025春 山东期中）若直线与曲线相切，切点为，，与曲线也相切，切点为，，则的值为　　
A． B． C．0 D．1
【例18】（2025春 辽宁月考）若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是　　
A．， B．，
C．，， D．，，
【例19】（2025春 龙岗区期中）已知和有公共切线，切点分别为，，，，则下列结论不正确的是　　
A．
B．
C．若点，则始终为钝角
D．
【例20】（2025春 石家庄期中）若函数与函数在公共点处有相同的切线，则实数　　
A． B． C． D．

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