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第15讲 导数与函数的单调性
【知识点1】不含参函数的单调性 2
【知识点2】含参数的函数的单调性 5
【知识点3】利用导数研究函数的图象 12
【知识点4】根据函数的单调性求参数 16
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数f(x)的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解
【知识点1】不含参函数的单调性
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
例1：
【例1】（2025春 启东市月考）已知函数满足，则的增区间为　　
A．， B．， C．， D．，
【例2】（2025春 四川期中）已知函数，则的单调递增区间为　　
A． B． C． D．
【例3】（2025春 辽宁期中）已知函数满足（2），则的单调递增区间为　　
A． B．
C． D．
【例4】（2025春 北京期中）下列函数中，在上为增函数的是　　
A． B． C． D．
【例5】（2025春 北京期中）已知函数，则在下列区间上，单调递减的是　　
A． B． C． D．
【知识点2】含参数的函数的单调性
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点
【例6】（2025 绵阳模拟）已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在，处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）当时，设的两个零点为，，求证：．
【例7】（2025 安康模拟）设函数．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）当时，讨论的单调性．
【例8】（2025 聊城二模）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个极值点，证明：有且只有一个零点．
【例9】（2025 济宁模拟）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求整数的取值集合．
【例10】（2025 凯里市模拟）设函数f（x）＝lnx+x﹣ax2，a∈R．
（1）若a＝1，试求函数f（x）的极值；
（2）设，讨论g（x）的单调性．
【知识点3】利用导数研究函数的图象
常见组合函数的图象
在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果．
．
例1：
【例11】（2025春 南海区月考）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是　　
A．在单调递增 B．在处取得最大值
C．在单调递增 D．在处取得最大值
【例12】（2025春 佛山月考）函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为　　
A． B．，，
C．，， D．，，
【例13】（2024秋 长春期末）已知函数与的图象如图所示，则函数　　
A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数
【例14】（2025春 福建期中）函数，是的导函数，则的大致图象是　　
A． B．
C． D．
【例15】（2025 达州模拟）已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是　　
A．（1）（3） B．（2）
C．有三个零点 D．有三个极值点
【知识点4】根据函数的单调性求参数
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集
例1：
【例16】（2025 河南模拟）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【例17】（2025 上饶二模）若函数在，上存在单调递增区间，则实数的取值范围为　　
A．， B． C． D．
【例18】（2025春 惠州月考）函数的单调递减区间是，则　　
A．16 B．6 C．4 D．2
【例19】（2025 义乌市三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【例20】（2025春 承德期中）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．，第15讲 导数与函数的单调性
【知识点1】不含参函数的单调性 2
【知识点2】含参数的函数的单调性 5
【知识点3】利用导数研究函数的图象 12
【知识点4】根据函数的单调性求参数 16
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数f(x)的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解
【知识点1】不含参函数的单调性
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
例1：
【例1】（2025春 启东市月考）已知函数满足，则的增区间为　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】先求出导数，然后解方程求出，最后利用导数判断的符号，逐项判断．
【解答】解：由已知得：，
所以，解得，所以，
令得：，解得，
故的递增区间为，．
故选：．
【例2】（2025春 四川期中）已知函数，则的单调递增区间为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】对函数求导，令，可求得答案．
【解答】解：函数的定义域为，
，
令，得，解得．
故选：．
【例3】（2025春 辽宁期中）已知函数满足（2），则的单调递增区间为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】求出导函数，从而可得关于（2），（1）的等式，联立可解得（2），（1），进而可得的解析式，及导函数，再令即可求解的单调递增区间．
【解答】解：（2），
求导得，
则，又（1）（2）②，
联立①②可得，（1），
所以，，则，
令，即，即，解得或，
所以的单调递增区间为，．
故选：．
【例4】（2025春 北京期中）下列函数中，在上为增函数的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用基本初等函数的性质及导数说明函数的单调性，即可判断．
【解答】解：对于，因为，
所以，因为，
所以与0的大小不确定，故错误；
对于，因为，则，所以在区间上恒成立，
则函数在区间上为增函数，故正确；
对于，因为，则，
所以当时，，
当或时，，
所以函数的单调递减区间为，
单调递增区间为，，
则在区间上不单调，故错误；
对于，因为，则，当时，当时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
则在区间上不单调，故错误．
故选：．
【例5】（2025春 北京期中）已知函数，则在下列区间上，单调递减的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间，从而得解．
【解答】解：由于函数，因此导函数，
令导函数，所以，解得，
因此函数的单调递减区间为，结合选项可知只有符合题意．
故选：．
【知识点2】含参数的函数的单调性
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点
【例6】（2025 绵阳模拟）已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在，处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）当时，设的两个零点为，，求证：．
【答案】（1）；
（2）当时，单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为．
（3）证明见解答．
【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义求出切线斜率，再求切线方程即可；
（2）求出导函数，讨论、，分别根据导函数符号分析函数的单调性即可；
（3）结合（2）易得是是的一个较小的零点，不妨设，要证，只需证，转化问题为证，进而构造函数，利用导数证明即可．
【解答】解：（1）当时，，
则，所以，，
所以曲线在，处的切线方程为；
（2）因为，满足，
所以，
当时，，
所以，
令，则，令，则，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，，此时，
所以在递减，
所以的单调递减区间为，无单调递增区间．
综上，当时，单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为．
（3）证明：当时，，
由（2）知在上单调递增，在上单调递减，
又，是的一个较小的零点，不妨设，
要证，只需证，
因为，且在上单调递减，
从而只需证即可．
，
令，
，在上单调递增．
（1），即，即．
【例7】（2025 安康模拟）设函数．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）当时，讨论的单调性．
【答案】（1）．
（2）当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，
在上单调递减．
【分析】（1）求出和，由导数的几何意义可得切线斜率，再求出，即可得切线方程；
（2）求求导，再对分类讨论，利用导数与单调性的关系求解即可．
【解答】解：（1）当时，，则，
则曲线在点，处的切线斜率为，
因为，所以曲线在点，处的切线方程为．
（2）的定义域为，
当时，，
令，则在上单调递减，在上单调递增，
因此，的最小值为．
当时，，则，此时，在上单调递增．
当时，令，得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，单调递增．
综上，当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，
在上单调递减．
【例8】（2025 聊城二模）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个极值点，证明：有且只有一个零点．
【答案】（1）当时，在和上单调递增，
在上单调递减；
当，时，在上单调递增．
（2）证明见解答．
【分析】（1）求导后分类讨论的范围即可求解；
（2）根据有两个极值点，结合（1）利用导数分析函数的零点即可证明．
【解答】解：（1）函数的定义域为，，
当时，恒成立，即在定义域内单调递增．
当时，令，
则的对称轴为，，
若△，即，时，，，在定义域内单调递增．
若△，即时，有两个零点：，，且．
当和，时，，，单调递增；
当，时，，，单调递减．
综上所述，当时，在和上单调递增，
在上单调递减；
当，时，在上单调递增．
（2）证明：由有两个极值点，则由（1）可得且在处取极大值，在处取极小值．
当时，，
所以的极小值为，
则在，上没有零点．
又，
，且在上单调递增，
所以存在唯一的实数，使得，
故有且只有一个零点．
【例9】（2025 济宁模拟）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求整数的取值集合．
【答案】（1）当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2），3，．
【分析】（1）求导，就参数进行分类讨论导函数的符号，即得函数的单调性；
（2）当时，显然不成立，当时，由（1）可得等价于，令（a），，利用导数判断单调性，结合零点存在性定理判断零点情况，得解．
【解答】解：（1）函数的定义域为，
，
当，即时，时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
当，即时，，即在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）当时，当时，，显然不合题意；
当时，由（1）知，，
所以，即，
令（a），，
则（a），
所以当时，（a），（a）单调递增，
当时，（a），（a）单调递减，
又时，（a），（2），（4），（5），
所以存在实数，，使得，
所以（a）时，，，
所以整数的取值集合为，3，．
【例10】（2025 凯里市模拟）设函数f（x）＝lnx+x﹣ax2，a∈R．
（1）若a＝1，试求函数f（x）的极值；
（2）设，讨论g（x）的单调性．
【答案】（1）f（x）的极大值为0，无极小值；
（2）当a≤0时，g（x）的单调减区间为（0，+∞），无增区间；
当a＞0时，g（x）的单调增区间为，单调减区间为．
【分析】（1）利用导数研究单调性，即可求得函数f（x）的极值；
（2）由题意得，即，令h（x）＝x2+x﹣2a，由a≤0和a＞0分类讨论即可．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx+x﹣x2（x＞0），
所以，令f′（x）＝0有x＝1，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以f（x）极大值＝f（1）＝ln1+1﹣1＝0，无极小值；
（2）由，
所以g（x）的定义域为（0，+∞），
所以g′（x）＝﹣﹣+＝﹣，令h（x）＝x2+x﹣2a（x＞0），
当a≤0时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）单调递减；
当a＞0时，令h（x）＝0有x2+x﹣2a＝0，Δ＝1+8a＞0，
所以，
所以当x＞x0时，h（x）＞0，g′（x）＜0，当0＜x＜x0时，h（x）＜0，g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，+∞）单调递减，
所以g（x）的单调增区间为，单调减区间为；
综上有：当a≤0时，g（x）的单调减区间为（0，+∞），无增区间；
当a＞0时，g（x）的单调增区间为，单调减区间为．
【知识点3】利用导数研究函数的图象
常见组合函数的图象
在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果．
．
例1：
【例11】（2025春 南海区月考）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是　　
A．在单调递增 B．在处取得最大值
C．在单调递增 D．在处取得最大值
【答案】
【分析】由导函数图象得到的取值（正负）情况，从而得到的单调性与极值点．
【解答】解：由导函数的图象可知，当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，在处取得极大值，在处取得极小值．
分析选项可知，只有选项正确．
故选：．
【例12】（2025春 佛山月考）函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为　　
A． B．，，
C．，， D．，，
【答案】
【分析】根据图象可得与的取值情况，进而得解．
【解答】解：由图象可知，当时，，当时，，
当，，时，，当时，，
由此的解集为，，．
故选：．
【例13】（2024秋 长春期末）已知函数与的图象如图所示，则函数　　
A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数
【答案】
【分析】求出函数的导数，结合图象求出函数的单调区间即可求解．
【解答】解：因为，
由图象知，时，，，
即在上单调递减，
当时，，，
即在上单调递增，所以选项、和错误，选项正确．
故选：．
【例14】（2025春 福建期中）函数，是的导函数，则的大致图象是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】求导，再根据的奇偶性以及取值情况即可得出答案．
【解答】解：，
则，
可得为奇函数，排除选项；
又当时，，则排除选项．
故选：．
【例15】（2025 达州模拟）已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是　　
A．（1）（3） B．（2）
C．有三个零点 D．有三个极值点
【答案】
【分析】根据导函数图像得到单调性和极值，进而推出极值点个数，比较函数值大小即可．
【解答】解：根据题意，由导函数图像知道：
0 3
正 0 非正 0 正
增 极大值 减 极小值 增
依次分析选项：
对于，1，，单调递减，则（1）（3），则正确；
对于，自变量，2在不同区间，都比小，但不能比较它们大小，则错误；
对于，不能确定零点个数，则错误；
对于，函数有两个极值点，则错误．
故选：．
【知识点4】根据函数的单调性求参数
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集
例1：
【例16】（2025 河南模拟）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据函数在上单调递减可知在上恒成立，进而利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：题意等价于在上恒成立，所以，
解得，即实数的取值范围为．
故选：．
【例17】（2025 上饶二模）若函数在，上存在单调递增区间，则实数的取值范围为　　
A．， B． C． D．
【答案】
【分析】根据条件得出存在，，使成立，即存在，，使成立，构造函数，，，求出的最值即可解决问题．
【解答】：因为函数在，上存在单调递增区间，
所以存在，，使成立，即存在，，使成立，
令，，，变形得，
因为，，
所以，
所以当，即时，，
所以．
故选：．
【例18】（2025春 惠州月考）函数的单调递减区间是，则　　
A．16 B．6 C．4 D．2
【答案】
【分析】求出的导函数，因为有单调递减区间，所以；再根据与，求出的单调递减区间为，最后根据题目给出的条件得出最后答案即可．
【解答】解：由题可知，
因为函数有单调递减区间，所以；
令，则，又，故，
即的单调递减区间是，可得．
故选：．
【例19】（2025 义乌市三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】题意等价于在区间上恒成立，参变分离后得在区间上恒成立，求出在区间上的取值范围，可得的最小值．
【解答】解：题意等价于在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
设，则在区间上递减，因为（1），（4），
所以时，，，所以，的最小值为2．
故选：．
【例20】（2025春 承德期中）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．，
【答案】
【分析】由题意可得在上恒成立，即在上恒成立．利用二次函数的性质求出在上的最大值即可得答案．
【解答】解：的定义域为，且在定义域内单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立．
令，
，
，
即实数的取值范围为．
故选：．

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