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第16讲 导数与函数的极值、最值
【知识点1】判断函数极值点的存在性 2
【知识点2】已知极值求参数值或范围 3
【知识点3】求函数的极值（含极值点与极值） 5
【知识点4】求函数在闭区间上的最值 6
【知识点5】已知最值求参数值或范围 8
【知识点6】含参数的极值与最值综合问题（含恒成立、存在性问题） 9
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件
【知识点1】判断函数极值点的存在性
1.步骤分解：
求函数定义域，确保后续求导有意义．
计算一阶导数，并化简为易分析的形式（如分式、多项式等）．
令，解方程求驻点（导数为0的点），同时注意导数不存在的点（如分段函数分段点、分母为0的点）．
分析驻点和导数不存在点左右两侧导数的符号变化：
若左侧，右侧，则为极大值点；
若左侧，右侧，则为极小值点；
若两侧符号相同，则不是极值点（如在处）．
2.关键技巧：
导数不存在的点需单独验证（如在处导数不存在，但为极小值点）．
若方程难以直接求解，可结合函数单调性、零点存在定理判断驻点个数．
例1：
【例1】（2025春 通州区期中）若函数在上存在极值，则实数的取值范围为　　
A． B．，，
C．，， D．，
【例2】（2025 汕头一模）设，若函数在内存在极值点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例3】（2025春 北京期中）“”是函数“存在极大值和极小值”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【例4】（2025 南岗区三模）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是　　
A． B．， C． D．
【例5】（2025春 重庆期中）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【知识点2】已知极值求参数值或范围
1.必要条件法（利用极值点处导数为0）：
若是极值点，则，代入求得参数值．
注意：需检验该参数值是否满足极值的充分条件（即导数符号在两侧变化），避免误将驻点当极值点（如，但非极值点）．
2.分类讨论法（参数影响导数符号）：
若导数含参数且无法直接求根，需对参数分类讨论，分析的根的分布及两侧符号．
例如：二次函数型导数，需讨论a的正负、判别式的符号，确定根的个数及区间单调性．
3.隐含条件结合法：
若题目中给出“极值存在”，则需保证导数方程有解且解为极值点，即：
方程有实根；
实根处导数符号变化
【例6】（2025 阳西县模拟）已知函数在处取得极小值，则的值为　　
A． B．1 C．或1 D．或2
【例7】（2025春 临沂期中）已知函数的极大值为4，则　　
A． B． C．2 D．3
【例8】（2025春 市南区期中）已知函数在处有极值，则实数的值为　　
A． B．1 C． D．3
【例9】（2025春 沙坪坝区月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为　　
A． B．
C． D．
【例10】（2025春 安徽月考）已知有两个极值点，则实数的取值范围为　　
A． B．
C． D．
【知识点3】求函数的极值（含极值点与极值）
1.常规步骤：
确定函数定义域D．
求导，解方程得驻点，同时找出不存在的点，记为．
将定义域D按上述点划分为若干区间，列表分析每个区间内的符号，确定函数单调性．
根据单调性变化，确定每个点是否为极值点，并求出极值：
极大值：左增右减；
极小值：左减右增．
2.特殊情形处理：
分段函数：分段求导，注意分段点处的导数是否存在，结合左右极限判断极值．
含绝对值函数：去绝对值转化为分段函数，再按上述步骤求解（如）．
例1：
【例11】（2025 南岗区四模）已知是函数的极值点，则函数的极小值为　　
A． B． C．0 D．
【例12】（2025春 四川期中）函数的极小值点为　　
A． B．1 C． D．2
【例13】（2024秋 连云港期末）函数f（x）＝x3﹣12x+1的极小值为（　　）
A．﹣17 B．﹣15 C．15 D．17
【例14】（2025春 大通县月考）函数的极大值为　　
A． B．0 C．1 D．
【例15】（2024秋 平凉期末）若函数在时取得极小值，则的极大值为　　
A． B．1 C． D．
【知识点4】求函数在闭区间上的最值
1.步骤总结：
求函数在开区间内的所有极值点（驻点及导数不存在的点）．
计算极值点处的函数值，以及区间端点处的函数值和．
比较所有函数值，最大者为最大值，最小者为最小值．
2.关键逻辑：
闭区间上的连续函数必有最值，且最值可能在极值点或端点处取得．
若函数在区间内单调递增，则最小值为，最大值为；单调递减则相反．
3.含参数的最值问题：
若参数影响极值点的位置（如极值点与区间[a,b]的相对位置），需分类讨论：
当时，函数在[a,b]上单调，最值在端点；
当时，需比较；
当时，函数在[a,b]上单调，最值在端点
例1：
【例16】（2025 白银模拟）若正实数，满足，则的最小值为　　
A．1 B． C． D．2
【例17】（2025春 东莞市期中）函数在，上的最小值为　　
A． B． C． D．1
【例18】（2025春 三原县期中）函数在区间，上的最大值为　　
A．0 B． C． D．
【例19】（2025春 四川期中）函数在区间，上的最小值、最大值分别为　　
A． B． C． D．
【例20】（2025春 河南期中）已知函数，，，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【知识点5】已知最值求参数值或范围
1.分类讨论法（参数影响最值位置）：
若参数影响极值点是否在给定区间内，需分情况讨论极值点与区间的位置关系，再结合最值条件列方程或不等式．
例如：函数在[0,2]上的最大值为4，求a．需讨论极值点是否在[0,2]内，再求对应最大值．
2.不等式转化法（最值条件转化为不等式）：
若题目要求“函数在区间上的最大值”，则转化为“”，通过求最值表达式解不等式．
注意：若最值在端点取得，需直接代入端点值；若在极值点取得，需结合极值点条件联立求解．
3.隐含条件注意事项：
若题目中提到“存在最值”，需保证函数在区间上连续（闭区间连续函数必有最值），或参数使函数满足最值存在的条件（如无无限增长趋势）
例1：
【例21】（2025春 洛阳期中）已知函数，若函数在上存在最小值，则的取值范围是　　
A． B．， C．， D．，
【例22】（2025春 浙江期中）已知函数在区间，上的最小值小于，则正数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例23】（2025春 天津期中）若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是　　
A．， B． C．， D．
【例24】（2025 皇姑区模拟）已知的最小值为0，则的值为　　
A． B． C． D．
【例25】（2025春 安徽期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
【知识点6】含参数的极值与最值综合问题（含恒成立、存在性问题）
1.恒成立问题转化：
在区间D上恒成立；
在区间D上恒成立．
2.存在性问题转化：
存在使；
存在使．
3.求解步骤：
求在区间D上的极值和端点值，确定和（可能含参数）．
根据恒成立或存在性条件，转化为关于参数的不等式，解不等式即可
例1：
【例26】（2025 雨花区模拟）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为　，　 ．
【例27】（2025 张掖一模）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【例28】（2025 大连模拟），不等式恒成立，则正实数的最大值是　　
A． B． C． D．
【例29】（2025春 常州期中）设函数，其中，，若恒成立，则的最小值是　　
A． B． C． D．
【例30】（2025 鄄城县模拟）若关于的不等式恒成立，则的取值范围为　　
A． B． C． D．第16讲 导数与函数的极值、最值
【知识点1】判断函数极值点的存在性 2
【知识点2】已知极值求参数值或范围 6
【知识点3】求函数的极值（含极值点与极值） 11
【知识点4】求函数在闭区间上的最值 14
【知识点5】已知最值求参数值或范围 18
【知识点6】含参数的极值与最值综合问题（含恒成立、存在性问题） 21
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件
【知识点1】判断函数极值点的存在性
1.步骤分解：
求函数定义域，确保后续求导有意义．
计算一阶导数，并化简为易分析的形式（如分式、多项式等）．
令，解方程求驻点（导数为0的点），同时注意导数不存在的点（如分段函数分段点、分母为0的点）．
分析驻点和导数不存在点左右两侧导数的符号变化：
若左侧，右侧，则为极大值点；
若左侧，右侧，则为极小值点；
若两侧符号相同，则不是极值点（如在处）．
2.关键技巧：
导数不存在的点需单独验证（如在处导数不存在，但为极小值点）．
若方程难以直接求解，可结合函数单调性、零点存在定理判断驻点个数．
例1：
【例1】（2025春 通州区期中）若函数在上存在极值，则实数的取值范围为　　
A． B．，，
C．，， D．，
【答案】
【分析】函数存在极值的条件是对应导函数存在变号零点，据此计算即可．
【解答】解：由题得，
因为在存在极值，故导函数存在变号零点，
注意到导函数是二次函数，故方程存在两个不等实根，
所以△，解得或，
即实数的取值范围是，，．
故选：．
【例2】（2025 汕头一模）设，若函数在内存在极值点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先对函数求导，结合导数与单调性及极值关系即可求解．
【解答】解：由题意可得，若函数在内存在极值点，
则在内有变号零点，
即在上有解，整理得在上有解，
原题意等价于直线与在内的图象有交点，
因为在上单调递增，
则，
所以．
故选：．
【例3】（2025春 北京期中）“”是函数“存在极大值和极小值”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【分析】求导后令，结合判别式和韦达定理分析可得答案．
【解答】解：，
则，
令，即，
△，，，
若，则函数有两个正根，即有两个变号零点，
此时函数存在极大值和极小值；
当时，方程无正根或仅有一个重根，
此时函数不可能同时存在极大值和极小值；
综上，“”是函数“存在极大值和极小值”的充分必要条件．
故选：．
【例4】（2025 南岗区三模）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是　　
A． B．， C． D．
【答案】
【分析】由极值点的定义，将问题等价于导函数求零点，利用导数与函数单调性的关系，可得答案．
【解答】解：由题意可得的定义域为，，
因为函数存在唯一极值点，
所以函数存在唯一变号零点，则方程存在唯一解，
即方程存在唯一解，
令，则，由，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，
当时，，则，当时，，
易知当，即时，方程存在唯一解，
当时，，易知方程的解为，
由当时，，，则，同理可得当时，，
所以此时函数无极值点，不符合题意；
当，时，，易知函数在上单调递增，符合题意．
故选：．
【例5】（2025春 重庆期中）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由，可得出，可知直线与函数的图象有一个交点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围．
【解答】解：函数，，
那么导函数，
如果存在唯一极值点，
那么方程在上有唯一的根，
因此根据，可得，那么有唯一的根，
与的图象有一个交点（非切点），
又因为导函数，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以函数的极大值为，
且当时，，当时，，
则函数的图象如下图所示：
所以当时，
即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点），
因此，实数的取值范围是，．
故选：．
【知识点2】已知极值求参数值或范围
1.必要条件法（利用极值点处导数为0）：
若是极值点，则，代入求得参数值．
注意：需检验该参数值是否满足极值的充分条件（即导数符号在两侧变化），避免误将驻点当极值点（如，但非极值点）．
2.分类讨论法（参数影响导数符号）：
若导数含参数且无法直接求根，需对参数分类讨论，分析的根的分布及两侧符号．
例如：二次函数型导数，需讨论a的正负、判别式的符号，确定根的个数及区间单调性．
3.隐含条件结合法：
若题目中给出“极值存在”，则需保证导数方程有解且解为极值点，即：
方程有实根；
实根处导数符号变化
【例6】（2025 阳西县模拟）已知函数在处取得极小值，则的值为　　
A． B．1 C．或1 D．或2
【答案】
【分析】利用极值点的导数值为0，再进行检验，即可得解．
【解答】解：由题意可得，则（1），
解得或，
当时，，
由于，，，，
所以函数在时有极小值，
当时，，
由于，，，，
所以函数在时有极大值，故舍去．
综上，的值为．
故选：．
【例7】（2025春 临沂期中）已知函数的极大值为4，则　　
A． B． C．2 D．3
【答案】
【分析】借助导数，判定函数单调性，再结合极大值为4，求，验证即可．
【解答】解：由已知，，
令，得或，
当时，在，上满足，单调递增，
在上满足，单调递减，
所以在处取得极大值，（a），不符合题意；
当时，，在上单调递增，无极值，不符合题意；
当时，在，上满足，单调递增，
在上满足，单调递减，
所以在处取得极大值，，解得；
综上所述，．
故选：．
【例8】（2025春 市南区期中）已知函数在处有极值，则实数的值为　　
A． B．1 C． D．3
【答案】
【分析】对求导，得到，根据题设有，即可求解．
【解答】解：由于函数，那么导函数，根据题有，
解得，因此导函数，
令，得到或，
当时，，当，，时，，
所以是的极大值点，即满足题意．
故选：．
【例9】（2025春 沙坪坝区月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】题意等价于在 内有有两个不等实根，通过参变分离，可解得的取值范围．
【解答】解：由题意，，即在 内有两个不等实根，
由的图象与性质知，，解得．
故选：．
【例10】（2025春 安徽月考）已知有两个极值点，则实数的取值范围为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由参变分离得出，令，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知，直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围，再结合极值点的定义检验即可．
【解答】解：因为，则，
由题意可知，函数有两个异号的根，显然，
题意等价于有两个不相等的变号根，
令，其中，则，由可得，列表如下：
3
0
减 减 极大值 增
所以，函数的减区间为和，增区间为，
函数的极小值为，且当时，；当时，．
大致图象如下：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
设这两个交点的横坐标分别为、，设，由图可知，，
且，
当时，，则，此时，函数单调递增，
当时，，则，此时，函数单调递减，
当时，，则，此时，函数单调递增，
故当时，函数有两个极值点，
因此，实数的取值范围是．
故选：．
【知识点3】求函数的极值（含极值点与极值）
1.常规步骤：
确定函数定义域D．
求导，解方程得驻点，同时找出不存在的点，记为．
将定义域D按上述点划分为若干区间，列表分析每个区间内的符号，确定函数单调性．
根据单调性变化，确定每个点是否为极值点，并求出极值：
极大值：左增右减；
极小值：左减右增．
2.特殊情形处理：
分段函数：分段求导，注意分段点处的导数是否存在，结合左右极限判断极值．
含绝对值函数：去绝对值转化为分段函数，再按上述步骤求解（如）．
例1：
【例11】（2025 南岗区四模）已知是函数的极值点，则函数的极小值为　　
A． B． C．0 D．
【答案】
【分析】先对函数求导，结合导数与单调性及极值关系即可求解．
【解答】解：，
因为是函数的极值点，所以（1），即，
所以，
当或时，，当时，，
故在，上单调递减，在上单调递增，
故时，函数取得极小值．
故选：．
【例12】（2025春 四川期中）函数的极小值点为　　
A． B．1 C． D．2
【答案】
【分析】对求导，利用极值点的定义即可求解．
【解答】解：函数的定义域为，
则，
令，可得或，
当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极小值．
故选：．
【例13】（2024秋 连云港期末）函数f（x）＝x3﹣12x+1的极小值为（　　）
A．﹣17 B．﹣15 C．15 D．17
【答案】B
【分析】对函数求导，令导数等于0，求得x＝±2，分别研究导函数在x＜﹣2，﹣2＜x＜2和x＞2时的单调性，从而得极小值点，代入函数解析式求得极小值．
【解答】解：由题意，f′（x）＝3x2﹣12，
令f′（x）＝3x2﹣12＝0，得x＝±2，
当x＜﹣2时，f′（x）＞0，函数单调递增；
当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，函数单调递减；
当x＞2时，f′（x）＞0，函数单调递增；
所以x＝2是f（x）的极小值点，极小值为f（2）＝﹣15．
故选：B．
【例14】（2025春 大通县月考）函数的极大值为　　
A． B．0 C．1 D．
【答案】
【分析】求函数的导数，从而确定函数的单调性与极值．
【解答】解：函数，定义域为，
，
当时，，原函数递减，
当时，，原函数递增，
故函数的极大值为．
故选：．
【例15】（2024秋 平凉期末）若函数在时取得极小值，则的极大值为　　
A． B．1 C． D．
【答案】
【分析】由题意，对函数进行求导，结合极小值的定义建立方程求得参数，利用导数得到函数的单调性，进而可解．
【解答】解：易知的定义域为，
可得，
若函数在时取得极小值，
此时（2），
即，
解得，
所以，
因为，
所以，
令，
解得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极大值，极大值．
故选：．
【知识点4】求函数在闭区间上的最值
1.步骤总结：
求函数在开区间内的所有极值点（驻点及导数不存在的点）．
计算极值点处的函数值，以及区间端点处的函数值和．
比较所有函数值，最大者为最大值，最小者为最小值．
2.关键逻辑：
闭区间上的连续函数必有最值，且最值可能在极值点或端点处取得．
若函数在区间内单调递增，则最小值为，最大值为；单调递减则相反．
3.含参数的最值问题：
若参数影响极值点的位置（如极值点与区间[a,b]的相对位置），需分类讨论：
当时，函数在[a,b]上单调，最值在端点；
当时，需比较；
当时，函数在[a,b]上单调，最值在端点
例1：
【例16】（2025 白银模拟）若正实数，满足，则的最小值为　　
A．1 B． C． D．2
【答案】
【分析】原等式变形为，构造函数，，分析单调性可得，等价变形为，根据函数单调性可得的最小值．
【解答】解：由，得，故．
由题意得，，，，
由得，．
设，，则，
在上单调递增，
，，
，即，，
，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当时，取极小值也是最小值，最小值为．
故选：．
【例17】（2025春 东莞市期中）函数在，上的最小值为　　
A． B． C． D．1
【答案】
【分析】不含参函数定区间求最值，可求导，用导数判断单调性，从而得解．
【解答】解：因为，
所以，
令，解得，令，解得，
故在，上单调递减，在上单调递增，
故．
故选：．
【例18】（2025春 三原县期中）函数在区间，上的最大值为　　
A．0 B． C． D．
【答案】
【分析】由，知，令，得当时，在，上的最大值是．
【解答】解：，
，
令，得，
，，由，得，
当时，，递增；当时，，递减；
当时，在，上的最大值是．
故选：．
【例19】（2025春 四川期中）函数在区间，上的最小值、最大值分别为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用导数判断在区间，上的单调性，进而分析最值．
【解答】解：因为，，，则，
令，则或，令，则，
可知在，内单调递增，在内单调递减，
且，，，，即，
所以函数在区间，上的最小值、最大值分别为．
故选：．
【例20】（2025春 河南期中）已知函数，，，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据函数导数求出函数的单调性，由单调性求出函数的最值即可．
【解答】解：由，得．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以函数在处取得极小值也是最小值．
即的最小值为，
故选：．
【知识点5】已知最值求参数值或范围
1.分类讨论法（参数影响最值位置）：
若参数影响极值点是否在给定区间内，需分情况讨论极值点与区间的位置关系，再结合最值条件列方程或不等式．
例如：函数在[0,2]上的最大值为4，求a．需讨论极值点是否在[0,2]内，再求对应最大值．
2.不等式转化法（最值条件转化为不等式）：
若题目要求“函数在区间上的最大值”，则转化为“”，通过求最值表达式解不等式．
注意：若最值在端点取得，需直接代入端点值；若在极值点取得，需结合极值点条件联立求解．
3.隐含条件注意事项：
若题目中提到“存在最值”，需保证函数在区间上连续（闭区间连续函数必有最值），或参数使函数满足最值存在的条件（如无无限增长趋势）
例1：
【例21】（2025春 洛阳期中）已知函数，若函数在上存在最小值，则的取值范围是　　
A． B．， C．， D．，
【答案】
【分析】先对函数求导，结合导数分析函数的单调性，进而可求函数取得最值的位置，可求．
【解答】解：，
易得，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因为，（2），，
因为函数在上存在最小值，
所以，
解得．
故选：．
【例22】（2025春 浙江期中）已知函数在区间，上的最小值小于，则正数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】对求导，得到的两根，关于的大小进行分类讨论，求导并得到的单调性和最值，结合在区间，上的最小值小于，求出的取值范围．
【解答】解：由已知，，，
令，得，，
若，即时，在，上递增，，不符合题意，
若，即时，在，上递减，在，上递增，
，整理得，解得，
综上，正数的取值范围是．
故选：．
【例23】（2025春 天津期中）若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是　　
A．， B． C．， D．
【答案】
【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区内存在最小值，只需极小值点在该区间内，且在端点处的函数值不能超过极小值．
【解答】解：由，令，可得或，
由得：或，由得：，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极小值，
令，解得或，
若函数在内存在最小值，则，解得，
即实数的取值范围是，．
故选：．
【例24】（2025 皇姑区模拟）已知的最小值为0，则的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】通过换元法将原函数转化为关于新变量的函数，再利用导数研究新变量的取值范围以及新函数的单调性，进而求出的值．
【解答】解：函数，那么令，
令，则；令，则，
且时，，那么．
那么函数的最小值为0，即的最小值为0，所以，
那么导函数时，导函数，那么．
故选：．
【例25】（2025春 安徽期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
【答案】
【分析】先化简将问题转化为有解，再构造利用导数研究函数的性质得出最小值解题．
【解答】解：在区间上有解，
可转化为存在，使得成立，即，
令，则，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故当时，取得极小值（e），也是最小值，
所以，
即．
故选：．
【知识点6】含参数的极值与最值综合问题（含恒成立、存在性问题）
1.恒成立问题转化：
在区间D上恒成立；
在区间D上恒成立．
2.存在性问题转化：
存在使；
存在使．
3.求解步骤：
求在区间D上的极值和端点值，确定和（可能含参数）．
根据恒成立或存在性条件，转化为关于参数的不等式，解不等式即可
例1：
【例26】（2025 雨花区模拟）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为　，　 ．
【答案】，．
【分析】根据解析式，分析到的对称性和单调性，将若在上恒成立，转化为在上恒成立，设，分类讨论可得的取值范围．
【解答】解：因为，所以定义域为，
因为，
所以关于点对称，，
时，在上递增，所以在上递增，
则由在上恒成立，得在上恒成立，
设，则，
，则在上递减，
若，则时，，在递减，，符合题意，
若，则，，则存在，使得，
时，，递增，，不合题意，
综上，，故实数的取值范围为，．
故答案为：，．
【例27】（2025 张掖一模）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】由当时，恒成立，则，，先利用导数工具研究函数，的单调性，从而求出函数的值域为，进而构造函数，求出函数的最小值即为，进而即可得解．
【解答】解：令，，则，
所以当时，，单调递减；
时，，单调递增，
所以，
又，，
所以的值域为，
令，则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以，，
又当时，恒成立，
所以，，
故实数的取值范围为，．
故选：．
【例28】（2025 大连模拟），不等式恒成立，则正实数的最大值是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】将所求不等式变形为，构造函数，分析函数的单调性，则所求不等式即为，可得出，由参变量分离法可得出对恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，由此可得出正实数的最大值．
【解答】解：由题意，不等式恒成立，
可得对于恒成立，
即对于恒成立，
构造函数，可得，
令，则，
所以当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以（1），即，所以函数在上单调递增，
利用单调性并根据可得，
则有，
又，，即可得，
因此即可，
令，，则，
显然当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以，即，因此正实数的最大值是．
故选：．
【例29】（2025春 常州期中）设函数，其中，，若恒成立，则的最小值是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由恒成立，按照的符号进行分类讨论，推出，再利用基本不等式即可求出的最小值．
【解答】解：题意等价于恒成立，其中，，
当，即时，恒成立，故得；
当，即时，显然不等式恒成立；
当，即时，恒成立，故得．
综上分析，可得，
所以，
当且仅当，即，时取等号，所以的最小值是．
故选：．
【例30】（2025 鄄城县模拟）若关于的不等式恒成立，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由基本不等式，得到，转化为恒成立，结合一元二次不等式的解法，即可得到答案．
【解答】解：，当且仅当时，即时，等号成立，
则恒成立，
又由不等式，解得，
所以实数的取值范围为．
故选：．

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