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渝北区实验中学校2025届2024—2025学年度第二学期半期考试数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答：
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列各数中，比小是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列化学仪器的平面示意图，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 邻边相等的四边形是菱形
5. 如图，与是位似图形，位似中心是点，若，且的面积为12，则的面积为（　　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
6. 醇是一类由碳，氢，氧元素组成的有机化合物，其中一元醇是指一个分子中氧原子个数为1的醇类，下图所示的3种结构式均为一元醇，则当一元醇化学式中碳原子个数为10时，氢原子个数为（ ）
A. 20 B. 21 C. 22 D. 23
7. 估计值应在（ ）
A. 0和1之间 B. 1和2之间
C. 2和3之间 D. 3和4之间
8. 如图，在长方形中，是对角线，，以为圆心，为半径画圆弧．若，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A. B. C. D.
9. 如图，在正方形中，E是边的中点，连接，过点D作交于点F，G，H分别是的中点，连接，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 若一列数含有n个数，除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n级浪花数”．比如一列数为5，7，2，，满足，，所以5，7，2，，为四级浪花数．根据定义给出下列四个结论：
①12，3，a为三级浪花数，则a的值为；
②任意组100级浪花数，第36个数和第63个数一定互为相反数；
③2022级浪花数中的所有数之和为0．
下列说法正确的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11 计算：__________．
12. 如图，以正五边形边向内作正方形，连接，则的度数为______．
13. 通常情况下无色酚酞溶液遇酸性溶液（或中性溶液）不变色，遇碱性溶液变为红色．实验室现有四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，实验课上老师让学生用无色酚酞溶液检测其酸碱性，已知这四种溶液分别是a．盐酸（呈酸性），b．白醋（呈酸性），c．氢氧化钠溶液（呈碱性），d．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小刚同时任选两瓶溶液用无色酚酞溶液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率为___
14. 如图，在四边形中，，，点E在上，连接，，．若，则的长度为_________．
15. 如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为，则______，______．
16. 对于一个四位自然数M，如果它百位上的数字与十位上的数字的和等于千位上的数字与个位上的数字的和，则称M为“和对称数”．对于一个“和对称数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N，规定：．在、中选出“和对称数”，并计算相应的_______；已知，均为“和对称数”，其中，（其，，，且均为整数），令，若k能被13整除，则当取最小值时，_______．
三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. （1）解不等式组，并求其最大整数解．
（2）先化简，，再从的整数中选取一个合适的a的值代入求值．
18. 学行四边形的知识后，实践小组进行了以下研究：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，这两条角平分线与另一组对边所围成的四边形是一个平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空：
（1）如图，用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点．（不写做法，保留作图痕迹）
（2）已知：四边形是平行四边形，连接，平分，平分．
求证：四边形是平行四边形．
证明：四边形是平行四边形，
，①__________，
．
平分，平分，
，．
②__________，
③__________
，，
四边形是平行四边形．
实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，请你模仿题中表述，补全以下结论：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则④__________．
19. 某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息：
八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95．
八、九年级被抽取的学生得分统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 79.8 a 82
九年级 79.8 79 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中__________，__________，__________；
（2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级有450名学生，九年级有320名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“不了解”的共有多少名？
20. 某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍．
（1）求该店两次购进这款书签各多少个？
（2）第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？
21. 如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为．
（1）请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）当的面积为时，请直接写出的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）．
22. 小明和小红相约周末游览公园，如图，，，，，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的北偏西方向且米，景点位于景点的东南方向，景点位于景点的北偏西方向，景点位于景点的正东方向米处．
（1）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号）
（2）小明和小红同时从景点出发，小红沿着的路线前往景点，小明沿着的路线前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知小明步行的速度为80米/分，小红步行的速度为60米/分，请通过计算说明谁先到达景点．（参考数据：，，）
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（A在B左侧）．与y轴交于点C．且，，连接，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线交直线于点E，当线段的长度最大时，过点A作的垂线交EP的延长线于点F，点G为直线上一动点，连接，H为的中点，连接，求线段的最小值；
（3）将原抛物线沿射线方向平移，使得平移后的抛物线经过点，点D为抛物线的对称轴与x轴的交点，M为直线与抛物线在对称轴左侧的交点，N为抛物线上的一个动点，且，请直接写出满足条件的所有点N的坐标．
24. 在等腰中，．
（1）如图1，点在边上，连接，若，，求度数．
（2）如图2，点在边上，以为边作，，，过点作与延长线相交于点．连接，与相交于点．若，试说明：．
（3）在（2）的条件下，点为边延长线上一点，连接．点、为上两点，且，连接、．在线段上取一点，使．过点作交于点，作交于点，连接、，过点做于点．若，，，，直接写出的最小值．
渝北区实验中学校2025届2024—2025学年度第二学期半期考试数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答：
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】D
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
【11题答案】
【答案】16
【12题答案】
【答案】##171度
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】2
【15题答案】
【答案】 ①. ②.
【16题答案】
【答案】 ①. ②.
三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
【17题答案】
【答案】（1），1；（2），当时，原式；当时，原式
【18题答案】
【答案】（1）作图见解析
（2），，，四边形是菱形
【19题答案】
【答案】（1）82，78，20
（2）八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由见解析
（3）109名
【20题答案】
【答案】（1）该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个；
（2）第一次销售时每个书签的售价至少为8元
【21题答案】
【答案】（1）
（2）作图见解析，该函数的一个性质：当时，有最大值6（答案不唯一）
（3）或
【22题答案】
【答案】（1）米
（2）小红先到达景点B
【23题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）或．
【24题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）

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