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2024学年第二学期初三模拟测试数学问卷
一、单选题（30分）
1. 下列实数中，比小的数是(　　)
A. B. 4 C. D. 1
2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 某校开展了“空中云班会”的满意度调查，九年级各班满意的人数分别为，，，下列关于这组数据描述错误的是（ ）．
A. 中位数是35 B. 众数是35 C. 平均数是35 D. 方差是2
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，是的直径，点，都是上的点，若，则的度数是（ ）．
A. B. C. D.
6. 若点在直线上，则下列各点也在直线l上的是（ ）．
A. B. C. D.
7. 如图，一个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，则该圆锥的侧面展开图的面积是（ ）．
A B. C. D.
8. 实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
9. 在某校的科技节活动中，九年级开展了测量教学楼高度的实践活动．“阳光小组”决定利用无人机A测量教学楼的高度．如图，已知无人机A与教学楼的水平距离为m米，在无人机上测得教学楼底部B的俯角为，测得教学楼顶部C的仰角为．根据以上信息，可以表示教学楼（单位：米）的高度是（ ）．
A. B.
C. D.
10. 如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（ ）
求的值
解：令，
则
故，
因此
A. B. C. D.
二、填空题（18分）
11. 在函数中，自变量x的取值范围是___．
12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点为，则的值是_____________．
13. 因式分解：___________．
14. 在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的与的和总是一个定值．则_____________度．
15. 如图，在菱形中，与相切于点A，与相切于点C，点B在上，则_____________．
16. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形与y轴分别交于E、F两点，对角线在x轴上，反比例函数的图象过点A并交于点G，连接．若，，且的面积为，则k的值是______
三、解答题（72分）
17. 解不等式组：．
18. 如图，在平行四边形中，E，F分别是上一点，，交于点O．求证：．
19. 已知：
（1）化简A；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．
条件①：若点是反比例函数图象上的点；
条件②：若a是方程的一个根．
20. 电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表：
频率 5 10 15 20 25 30
波长 60 30 20 15 12 10
（1）根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式．
（2）当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？
21. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了_______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为_______；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“_______”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
22. 2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：
课题 测量四门塔的高度
测量工具 测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为．
说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到．（参考数据：）
（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；
（2）求四门塔的高度．
23. 如图，在中，．
（1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全．
（2）推理与计算：在（1）的条件下，若．
①求证：直线是的切线；
②若，，求的半径．
24. 定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点．则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”．
（1）在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是______（填序号）
（2）设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值；
（3）若将函数图象绕y轴上一点M旋转，M在下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标．
25. 在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值．
2024学年第二学期初三模拟测试数学问卷
一、单选题（30分）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】A
【10题答案】
【答案】A
二、填空题（18分）
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】240
【15题答案】
【答案】##
【16题答案】
【答案】6
三、解答题（72分）
【17题答案】
【答案】
【18题答案】
【答案】证明见解析
【19题答案】
【答案】（1）
（2）①②
【20题答案】
【答案】（1）
（2）
【21题答案】
【答案】（1）200、81°；（2）补图见解析；（3）
【22题答案】
【答案】（1）；
（2）．
【23题答案】
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【24题答案】
【答案】（1）③ （2）b的值为或或或0
（3）M不存在
【25题答案】
【答案】（1）AE=DF，AE⊥DF，理由见解析；（2）成立，CE:CD=或2；（3）

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