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安徽省怀宁县新安中学2024--2025高二下学期5月考试卷
数 学 试 题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
3．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
4．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
5．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．从人中选择人去，，三地调研，一个地方安排人另外两个地方各安排人的安排方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
7．设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在处取得极小值，则的值为（ ）
A．－1或－3 B．－1 C．或1 D．－3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．对任意实数，有.则下列结论正确的（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数，则下列描述正确的是（ ）
A．直线是的一条切线
B．在上单调递增
C．在上的最小值为
D．关于的不等式的解集为
11．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第二象限），（ ）
A．可能为等边三角形
B．
C．若直线的倾斜角为，则
D．若直线的倾斜角为，则的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．记为等差数列的前n项和，若，，则 .
13．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
14．若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）设，，．
(1)若，求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
16．（15分）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
17．（15分）设椭圆的左，右焦点是，离心率为，上顶点坐标为
(1)求椭圆的方程；
(2)设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积．
18．（17分）已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若在处取得极值，求的单调区间.
19．（17分）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C D D A B ACD ACD
题号 11
答案 BC
12．95 13． 14．
15．1）由二项式定理可得展开式的通项为，
所以，所以.
整理可得，解得或（舍去负值），所以.
（2）由（1）可得，.令，可得，
所以.
（3）对两边同时求导可得，可得.
16．（1）因为,故，所以即故等比数列的公比为，故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，所以数列的前n项和
.
17．1）由题意知，解得，.∴椭圆的方程为.
（2）由（1）知，∴又∵P为椭圆上一点，∴，
∴焦点三角形的周长.在△中，由余弦定理，得即 ①
由平方，得 ②②-①，整理得，
所以三角形的面积.
18．（1）当时，，则，则，又，所以在处的切线方程为，即.
（2）由，，则，因为函数在处取得极值，所以，即，此时，令，得；令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则在处取得极值，满足题意，故，则函数的单调递增区间为，递减区间为.
19．（1）当时，则，，可得，，
即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.
（2）因为的定义域为，且，若，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，无极值，不合题意；若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，由题意可得：，即，构建，则，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为

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