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2025高考数学孝感一中名师原创押题卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.若空间中四个不同的平面，，，，满足，，，则下面结论一定正确的是( )
A. B.
C. ，既不垂直也不平行 D. ，的位置关系不确定
3.设等差数列的前n项和，若，，则
A. 18 B. 27 C. 45 D. 63
4.已知向量，，且在上的投影向量为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐.经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐;而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为( )
A. 700 B. 800 C. 900 D. 1000
6.若函数在R上单调，为实数，则
A. B. C. D.
7.如图，画在纸面上的抛物线过焦点F的弦AB长为9，则沿x轴将纸面折成平面角为的二面角后，空间中线段AB的长为( )
A. B. C. D.
8.“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根23cm长的尺子，要能够量出长度为1cm到23cm且边长为整数的物体，至少需要6个刻度尺子头尾不用刻现有一根8cm的尺子，要能够量出长度为1cm到8cm且边长为整数的物体，尺子上至少需要有 个刻度
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知甲组样本数据，，…，，由这组数据得到乙组样本数据，，…，，其中…，，则
A. 乙组样本数据的极差是甲组样本数据极差的2倍
B. 乙组样本数据的中位数是甲组样本数据中位数的2倍
C. 乙组样本数据的平均数是甲组样本数据平均数的2倍
D. 乙组样本数据的标准差是甲组样本数据标准差的2倍
10.已知函数对任意的x，都有，，且当时，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 是奇函数
C.
D. 不等式的解集是
11.如图，半径为1的动圆C沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆C上的点形成的外旋轮线，因其形状像心形又称心脏线.已知运动开始时点P与点重合.以下说法正确的有( )
A. 曲线上存在到原点的距离超过的点
B. 点在曲线上
C. 曲线与直线有两个交点
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 .
13.设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为a，b，c，若，，则称这个三位数为“峰型三位数”，例如251和121都是“峰型三位数”，在由0，1，2，3，4，5中的部分数字组成的三位数中，“峰型三位数”的个数为 .
14.如图，200道处于关闭状态的门从左到右依次贴有“”的标签号，某人从第一道门出发，从左向右行进，每路过一道关闭的门就从1开始依次报一个数，报到奇数时把门打开，数完一轮后回到起点，再重复此过程，则最后一道关闭的门标签号为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知
求证：
若，，求的面积.
16.本小题15分
已知函数
若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；
若，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方．
17.本小题15分
已知椭圆，直线经过C的两个顶点.
求C的方程;
若P为C上一动点，过点P作圆的两条切线分别交C于A，B两点，证明：直线AB过原点.
18.本小题17分
某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表：
年龄组别 A组统计结果 B组统计结果
经常使用单车 偶尔使用单车 经常使用单车 偶尔使用单车
27人 13人 40人 20人
23人 17人 35人 25人
20人 20人 35人 25人
先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去．
求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；
为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会．会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份其余人员仅赠送骑行优惠券已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望；
从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄记作m岁有关”的结论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较的观测值的大小加以说明．
19.本小题17分
球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角．如图，球O的半径，A，B，C，D为球O的球面上的四点．
Ⅰ若球面三角形ABC的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值;
Ⅱ在球O的内接三棱锥中，平面ABC，，直线DC与平面ABC所成的角为
ⅰ若M，N分别为直线AD，BC上的动点，求线段MN长度的最小值；
ⅱ如图，若P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点与点B不重合，当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值最大时，求线段BG的长．
答案和解析
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】AD
10.【答案】BCD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】40
14.【答案】128
15.【答案】解：由题意得：根据正弦定理得：，
所以，
所以，
所以，
所以或舍，
所以
在中，由正弦定理得：，即，
所以，即
又因为，即，
所以，
所以
16.【答案】解：由于函数的定义域为，
当时，，
令得或舍去，
当时，，
因此函数在上是单调递减的，
当时，，
因此函数在上是单调递增的，
则是极小值点，
所以在处取得极小值为，无极大值.
证明：设 ，
则
，
当时，，
故在区间上是单调递减的，
又，
在区间上，恒成立．即 恒成立，
即恒成立，
因此，当时，在区间上，函数的图像在函数图像的下方．
17.【答案】解：因为直线过C的上顶点和左顶点，所以上顶点为，左顶点为，
所以，，则C的方程为；
当直线PA或PB斜率不存在时，不妨令，则，
所以直线PB方程为，所以，直线AB过定点，且该定点为原点.
下证：当直线PA和PB斜率存在时，直线AB过，
设，过点P的切线方程为，则，
所以，所以，
因为在C上，所以，则，
当直线AB过时，由椭圆对称性得设，则，
所以，
因为，，所以，，则，
满足.所以当直线PA和PB斜率存在时，直线AB过
综上：直线AB过定点
18.【答案】解：从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的有人，
再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，
其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为；
组这4人中得到礼品的人数X的可能取值为0，1，2，3，
相应概率为：，
，
，
，
故其分布列为：
X 0 1 2 3
P
时，按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：
经常使用单车 偶尔使用单车 合计
未达到35岁 125 75 200
达到35岁 55 45 100
合计 180 120 300
可求得，
时，按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表：
经常使用单车 偶尔使用单车 合计
未达到25岁 67 33 100
达到25岁 113 87 200
合计 180 120 300
可求得，
欲使犯错误的概率尽可能小，需取
19.【答案】解：Ⅰ因为球面三角形ABC的三条边长均为，，
所以球面三角形每条边所对的圆心角均为，
所以四面体OABC为正四面体，
取OA的中点E，连接BE，CE，则，，且，为二面角的平面角，
由余弦定理可得，
所以此球面三角形一个内角的余弦值为；
Ⅱ因为平面ABC，所以，，
设，则，，，所以，
由勾股定理的逆定理可得，又，、平面BCD，
所以平面BCD，又平面BCD，所以，
因为直线DC与平面ABC所成的角为，所以，
易知在和中，斜边AD的中点到点A，B，C，D的距离相等，即AD为球O的直径，
所以，，
以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x轴，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
ⅰ由题可知，，，，
则-2，，-，0，，，
设与，都垂直的向量为，
则，令，则，
所以线段MN长度的最小值为
ⅱ设，由题可知，，，，
则，，，
设平面OBC的法向量为，
则，取-2，可得，
设平面GPQ的法向量为，则，取，可得，
设平面OBC与平面GPQ的夹角为，
因为
，
令，则
可得，
当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值，
故

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