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沅澧共同体2025届高三第一次模拟考试（试题卷）
数 学
时量：120分钟 满分：150分 命题单位：常德外国语学校
一择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数为实数，则实数a等于（）
A．-2 B． C．1 D．2
2．设集合，，则集合中元素的个数为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．已知幂函数在上单调递增，则m的值为（）
A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3
4．已知直线与圆交于A，B两点，且为直角三角形，则m的值为（）
A． B． C． D．
5．已知等差数列的首项为2，公差不为0，且成等比数列，则等于（）
A． B． C． D．
6．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（）
A． B． C． D．
7．已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（）
A． B．0 C． D．
8．已知函数是定义在上的奇函数，且，则不等式在上的解集为（）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是
A．数据1，2，3，5，8，9的中位数小于平均数
B．数据0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的标准差大于方差
C．在相关分析中，样本相关系数r越小，线性相关程度越弱
D．已知随机变量X服从正态分布且，则
10.中，角所对的边分别为、、，则“是直角三角形”的充分条件是（）
A． B． C． D．
11.已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（）
A．时，满足的点有2个 B．的周长等于
C．时，满足的点有4个 D．的最大值为a2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若非零向量满足，，则 ．
13.已知点在抛物线上，的焦点为，则 ．
14.已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第六．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计
女生 10
男生 5
总计 50
已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6．
（1）请将上面的列联表补充完整，根据小概率值=0.01的独立性检验，试判断学生喜欢哪吒角色与性别是否有关；
（2）从喜欢哪吒角色的同学中，按分层随机抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值．
附：，.
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16．（本小题满分15分）
已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值．
17．（本小题满分15分）
如图1，平面四边形为“箏型”，其中，将平面沿着翻折得到三棱锥（如图2），为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）如图2，若，，求平面与平面的夹角的正弦值．
18．（本小题满分17分）
已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2.
（1）求双曲线的方程；
（2）为坐标原点，过点且斜率不为0的直线交双曲线于两点（点在第一象限，点在第二象限），直线交双曲线于点，证明：.
19．（本小题满分17分）
已知函数,．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求证：当时，；
（3）求证：.
沅澧共同体2025年上学期高三第一次模拟考试（答案）
数学
时量：120分钟 满分：150分 命题单位：常德外国语学校
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A C B B D A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 ABD BD ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.1 13.2 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
解：（1）因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6，
所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人.
不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人（含填表）……3分
列联表补充如下，
喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计
女生 10 15 25
男生 20 5 25
总计 30 20 50
零假设为：学生喜欢哪吒角色与性别无关联，根据列联表中的数据，计算可得
，……5分
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生喜欢哪吒角色与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.……6分
（2）由题意，按分层随机抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为.……7分
表示从这6人中随机选出3人中男生的人数，所以的所有可能取值为1，2，3.……8分
则，，.……11分
所以的分布列为
1 2 3
数学期望.……13分
16.（本小题满分15分）
解：（1）由正弦定理及，得，……2分
，……4分
，，……6分
，……7分
（2）设的外接圆半径为，
由及正弦定理，得……8分
，.……10分
由余弦定理得，，……13分
，当且仅当时取等号，，周长的最大值为9.……15分
17.（本小题满分15分）
解：（1），，D为的中点，，，……2分
，平面，平面，平面.……4分
又平面，平面平面.……6分
（2）
如图，以点为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为轴、轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系.取中点，连接PE，，.
由（1）可知平面，平面，……7分
又，平面，平面，故平面……8分
，，D为的中点，.
又，E为的中点，.
则，，，，，，
所以，，，……9分
设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以.……11分
设平面的一个法向量，
则，令，则，所以.……13分
设平面与平面的夹角为，则，所以.
所以，平面与平面的夹角的正弦值是.……15分
18.（本小题满分17分）
解：（1）由题意可得……3分
解得，，……5分
所以双曲线的方程为.……6分
（2）证明：设直线，点，，则.
联立，得，……9分
，……11分
，，
则，……13分，，……16分
所以.……17分
19.（本小题满分17分）
解：（1）因为，所以，，……2分
所以切线斜率为，……4分
所以函数的在处的切线方程为，即；……5分
（2）要证，只需要证明，其中，
设，，……6分
设，……7分
因为函数、在上均为减函数，
则在区间内单调递减……8分
因为，，所以，，使得，
当.时，；当时，.
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减……9分
又因为，，，，使得，
当时，；当时，.
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减.……10分
因为，，
所以在区间内恒成立.……11分
（3）令，所以，
所以，，，…，，
所以.……13分
对，，所以，
所以
，
所以得证.……15分
设，则，则在区间上单调递减，
所以.
令，，所以，，所以，…，，
所以.
综上，.……17分

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