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2024-2025 学年度(下)沈阳市五校协作体期中考试
高二年级数学试卷
时间：120 分钟 分数：150 分
试卷说明：试卷共两部分:第一部分：选择题型（1－11 题 58 分）
第二部分：非选择题型（12－19 题 92 分）
第Ⅰ卷(选择题 共 58 分)
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1．已知事件 A,B 3 2相互独立，且 P(A) ,P(B) ，则 P(AB) = （ ）
4 3
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 4 6 12
2．已知等差数列 an 的首项为 1，若 a3，a6，a9成等比数列，则 an 的第 5项为（ ）
A．1 B． 7 C． 7或 1 D． 9或 1
3．甲，乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”，“张氏帅府”，
“九一八纪念馆”三个景点中选择一处游玩，记事件 A表示“两个家庭至少一个家庭选
择九一八纪念馆”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”，则概率 P(B A)= （ ）
4 2 3 3
A． B． C． D．
5 3 5 4
4．若函数 f x x3 ax2 3x无极值，则 a的取值范围是（ ）
A． 3, 3 B． 3, 3 C． 3,3 D． 3,3
高二年级数学试卷 第 1 页 共 6 页
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5．如果 X 服从二项分布 B n, p ，当 np 10且 n 1 p 10时，可以近似的认为 X 服从
正态分布 N , 2 ，据统计高中学生的近视率 p 0.6，某校有 600名高中学生.设 X 为该
2
校高中学生近视人数，且 X 服从正态分布 N , ，下列说法正确的是（ ）
（参考数据： P( X ) 0.682,P( 2 X 2 ) 0.9545）
A．变量 X 服从正态分布 N 360,12 B． E 2 X 1 720
C．P(X 384) P X 348 D． P(X 384) 0.9773
6．已知 S Sn为等比数列 a nn 的前 项和，若 a 68 a6 4a4，则 （ ）a1 a2
A．5 B．9 C． 9 D． 5
7．已知定义在 0， 的函数 f (x)，满足 f (x 1) 2 f (x) 2x，且 f (1) 0，则 f (100)的
值为（ ）
A．99 299 B．99 299 C．100 2100 D．100 2100
8 x．已知 f x 是函数 f x 的导函数，对于任意实数 x都有 f x f x e 2x 3 ，
f 0 4 x，则不等式 f x 4e 的解集为（ ）
A． , 0 3, B． , 1 4, C． 0,3 D． 1,4
二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.）
9．已知函数 f x x2 2ln x的图像在 A x1, f x1 ， B x2 , f x2 两个不同点处的切线
相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
10
A． x1 x2 2 B． x1 x2 C． x1x2 1 D． x1x
10
2 3 3
高二年级数学试卷 第 2 页 共 6 页
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1
10．已知函数 y f x 的定义域 0, ， x, y 0, 满足 f x y f x f y ，
2
f 1 0，Tn 2 f 1 f 2 f n f
1 f 1 f 1 n
2 2 3 n
，bn f 2 ，n N

则下列说法正确的是（ ）
A． f 1 1 B． bn 是等差数列
C．Tn sin n D．数列 ( 1)n T 2n 的前50项和 S50 1275
11．如图所示，P，Q为数轴上两点，初始位置的数字分别为 2，0，它们每隔 1秒钟都在
1
数轴上独立地向左或向右移动一个单位，已知点 P向左或向右移动的概率均为 ；点 Q
2
1 2
向左移动的概率为 ，向右移动的概率为 ．分别记点 P、Q在 n秒后所在位置的数字为
3 3
xn、 yn，则下列结论正确的是（ ）
P x y 1 1A． 1 1 2 B． P x2 y2 2 2 3
P x y 1 1C． 2 2 D． P xn 1 yn 1 P x3 2 n yn
第Ⅱ卷(非选择题 共 92 分)
三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.）
n(n 1)(n 2)
12．已知数列 an 的前 n项和为 Sn，若 an ，则 S6 10
．
a n T 4 2913．已知等差数列 n 的前 项积为 n，a1 a9 ，a1 0，a3 10 ，则当Tn取得最小21
值时， n ．
14．已知 a,b,c,d成等差数列，函数 f x x3 3bx2 cx b2在 x 1时有极值 0，则
d a ．
高二年级数学试卷 第 3 页 共 6 页
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四、解答题（本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算骤.）
15．（13分）为了研究高中学生每天整理数学错题的情况，沈阳市某校数学建模兴趣小组
的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了 40名学生，调查他们平时的数
学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下：
数学成绩总评 数学成绩总评
合计
优秀人数 非优秀人数
每天都整理数学错题人数 14 a
不是每天都整理数学错题人数 b 15 20
合计 40
(1)计算 a,b的值，并判断是否有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错
题有关”？
2 n(ad bc)
2
附： a b c d a c b d ；
0.10 0.01 0.001
P x2 2.706 6.635 10.828
(2)从样本中不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取 3名学生做进一步访谈，设恰好
抽取到数学成绩总评优秀的人数为 X，求 X的分布列和期望．
16．（15分）设函数 f x lnx ax,a R．
(1)若 a 1，求 f (x)在 (e,e 1)处的切线方程；
(2)讨论函数 f x 的单调性；
(3)若 f x x 1恒成立，求实数 a的取值范围．
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17．（15分）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，且 S4 4S2,a2n 2an 1 n N ．
(1)求数列 an 的通项公式；
n 9
(2)数列 bn 满足b1 3，令 an bn an 2 bn 1，求证： bk ．
k 1 2
18. （17分）数列 an 的前 n项和 Sn，满足： a1 1,Sn 1 an , (n 2)，数列 bn 满足
n
bn ,n为奇数
b 11 b
2
，
2 n 1
．

b
n 1
n ,n为偶数 2
（1）求 an ， bn 的通项公式；
（2）设 cn an bn 求 cn 的前 2n和T2n．
19（17分）某公司为提升员工身体素质，鼓励员工参与“健康活力无限”健身打卡活动．
（1）公司统计了开展活动后近 5个月员工因健身而使身体指标（如体脂下降、心肺功能
提升等）明显改善的人数．统计结果如下：
月份 x 1 2 3 4 5
身体指标明显改善人数 y 330 260 200 140 90
若身体指标明显改善人数 y与月份变量 x（月份变量 x依次为1, 2,3, 4,5, ）具有线性相
关关系，请预测第 6个月身体指标明显改善的大约有多少人？
（2）公司将参与健身打卡活动的员工分成了甲、乙、丙三组进行健身竞赛，其规则：竞
赛发起权在任何一组，该组都可向另外两组发起竞赛，首先由甲组先发起竞赛，挑战乙
1
组、丙组的概率均为 2 。若甲组挑战乙组，则下次竞赛发起权在乙组；若甲组挑战丙组，
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2 1
则下次竞赛发起权在丙组。若竞赛发起权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为 和 ；
3 3
2 1
若竞赛发起权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为 和 ．
3 3
①经过 3次挑战赛后，求竞赛发起权在乙组的次数 X的分布列与数学期望；
②定义：已知数列 an ，若对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正整数 N0，
使得当 n N0 时， an A （A是一个确定的实数），则称数列 an 为“聚点数列”，A称
为数列 an 的聚点．经过 n次竞赛后，竞赛发起权在甲组的概率为 an，证明数列 an 为“聚
点数列”，并求出聚点A的值．
附：回归方程 y b x a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
n n
xi x yi y xi yi nx y
b i 1 i 1n n ， a y b x．
2 2 xi x x2i nx
i 1 i 1
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{#{QQABRQShwgi4gEQACZ7KAQWOCEgQsIGSLSoGxRAQqAwCQRNAFAA=}#}2024-2025 学年度(下) 沈阳市五校协作体期中考试
高二年级数学答案
考试时间：120 分钟 考试分数：150 分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A D D A B A BC BCD
题号 11
答案 AC
12．330 13．7 14．21
15（1） a 6,b 5 ………………………………1分
40(14 15 5 6)2 ， 2 8.120 6.635 ………………………………3分
20 20 19 21
所以有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”. ………………5分
（2）不是每天都整理数学错题的学生有 20人，其中数学成绩总评优秀人数为 5，
X的所有可能值为 0，1，2，3，
0 3
P(X 0) C5C15 91 ,P(X 1) C
1C2
5 15
35
3 3 ，C20 228 C20 76
C2C1P(X 2) 5 15 5 ,P(X 3) C
3C0
5 15
1
C3 38 C3
，
20 20 114
………………………………9分
所以 X的分布列为：
X 0 1 2 3
91 35 5 1 …………………11分
P
228 76 38 114
E(X ) 0 91 1 35 2 5 3 1 3期望 …………………13分
228 76 38 114 4
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16．（1）由题意 f (x) ln x x，得 f ' (x) 1 1，
x …………………1分
所以切线的斜率为： k 1 1， …………………2分
e
所以曲线在 (e,e 1)处的切线方程为： y 1 1

x，
e …………………4分
（2）由 f x lnx ax 1，则 f x a, x 0
x
当 a 0时， f x 0恒成立，则 f x 在 0, 上单调递增； …………………6分
当 a 0时，令 f x 0，解得 x 1 ，
a
x 0, 1 1 时， f x 0，则 f x

在
a
0, 上单调递增；
a
x 1 ,

时， f x 0，则 f x
1
在 ,

上单调递减．a a …………………9分
（3） 由题意 lnx ax x 1恒成立，
a x 1 lnx
x 1 lnx
因为 x 0，即得 恒成立，即 a ， x 0，
x x …………………11分min
记 g x x 1 lnx , x 0,则 g x lnx 2 ，
x x2
2
令 g x 0，得 x e2 ，令 g x 0，得 0 x e2，即 g x 在 0,e 上单调递减，
令 g x 0可得 x e2 ，即 g x 在 e2 , 上单调递增， …………………13分
2 1
所以 g(x)min g e 1 ，e2
a 1 1 a 1 所以 ，即实数 的取值范围为
e2
,1 2 …………………15分 e
17．（1）设等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d．
4a 6d 8a 4d
由 S4 4S2 ,a2n 2an 1
1 1
，得
a1 2n 1 d 2a1 2 n 1 d 1
，
解得： a1 1,d 2，所以 an 1 2 n 1 2n 1 n N ． …………………5分
（2）由（1）知， 2n 1 bn 2n 3 bn 1，
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bn 1 2n 1 bn 2n 3 bn 1 2n 5 b 5 b 1
即 3 , 2 bn 2n 3
， b ，n 1 2n 1 bn 2 2n 1
，……， b 7 b 5，2 1
b bn b n 1 b 2n 3 2n 5 3 1利用累乘法可得： n 2 b1 3bn 1 bn 2 b1 2n 1 2n 1 7 5
9 9 1 1
n 2 b 32n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 ， 1 也符合上式， …………………10分
k 1
bk b1 b2 b3 bn 1 bn
n
9 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1
1
2 3 3 5 5 7

2 n 1 2 n 1 2 2n 1
…………………14分

k 1
b 9 1 1 9所以 k 2 2n 1
．
n 2 …………………15分
18．（1）由 Sn 1 an (n 2)，
当 n 2,，解得 a2 1， 当 n 1，可得 Sn an 1，
所以 Sn Sn 1 an 1 an( n 2)，所以 an an 1 an(n 2)，
即 an 1 2an (n 2)，而 a2 a1 1，所以 an 从第二项起为等比数列
1,n 1
an 2n 2 ,n 2 …………………4分

b
n
n ,n为奇数因为数列 bn 满足b 2n 1
b n 1 n ,n为偶数 2
因为 b 1 所以1 b2 2
1，
1
当 n 2k 1,(k N )时，b b k ，2k 2k 1 2
当 n 2k, (k N )
1
时，b ，2k 1 b2k k 2
b b b 1 n b 1所以 2k 1 2k 1 1 ，所以 为奇数时，2 n

2
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当 n 2k 1,(k N ) b 1 时， ，2k 2 b2k 1 k 2
所以b2k 2 b2k 1
n
所以b2k k，所以 n为偶数时，bn 2
1
,n为奇数
所以b 2n …………………9分
n，n为偶数
2
（2） n 1
T奇 c
1 1 4 1
1 c3 c
3 2n 3
2n 1 2 2 2 2 2 3 6 …………………11分
T c
偶 2 c4 c2n
1 20 2 22 3 24 (n 1) 22 n 4 n 22 n 2
4T 1 22 2 24 (n 1) 22n 2偶 n 2
2n
3T 1 22 24 22n 2 n 22n
偶
T 3n 1 1 4n
偶 9 9 …………………15分
T 12n 1 5 2n 4
n 1
9 18 …………………17分
6 6
19.（1）由已知数据经计算可得： x 3, y 204 yi 1020, (xi x)( yi y) 600，
i 1 i 1
6
6 (xi x)( yi y)
(x 600i x)2 10，b i 1 6 60，10 a
y b x 384，
i 1 (x 2i x)
i 1
所以 y 6 0 x 3 8 4 ． …………………4分
所以当 x 6时， y 24 ；
即第 6个月身体指标明显改善的大约有 24人； …………………5分
（2）① X的所有可能值为 0，1，2，
P X 0 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 11（ ） ， P（X 1） ，
2 3 2 6 2 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 18
P X 2 1 2 1 1 1 1 2（ ） ，
2 3 2 2 3 3 9
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X 0 1 2
1 11 2
P
6 18 9 …………………10分
所以次数 X 的数学期望 E X 0 1 11 2 19 1 2 ．
6 18 9 18 …………………11分
②第 n次挑战后挑战权在 Y，Z组的概率分别是b n 2n ,cn， 时，则
a 2 b 2 n n 1 cn 1①
a b c 1
3 3
n n n
b
1
n a
1
n 1 c
．
2 3 n 1
②

c 1 a 1 n n 1 bn 1③ 2 3
3
②+③得：b c a 1n n n 1 (b c )，由①得b c3 n 1 n 1 n 1 n 1
a
2 n
1 a a 1 3
3
n ，n 1 an 1
1
an a a ， a3 2 n 1 2 n 2 n
1 an 1，
a 2 2n a ， …………………14分3 3 n 1
a 2 2 （a 2 ），其中 a 0，n 5 3 n 1 5 1

2 2 2
a 是以 为首项， 为公比的等比数列，n
5 5 3
a 2 2 2 （ ）n 1 a 2 2 2， （ ）n 1n ， …………………15分5 5 3 n 5 5 3
2 2 2
由聚点数列的定义： （ ）n 1
2 2 2 2 2
（ ）n 1 （ ）n 1，由指数函数的单调性
5 5 3 5 5 3 5 3
可知：当 n 2 2时， （ ）n 1 0
5 3 …………………16分
所以对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正整数 N0 ，使得当 n N0时，
a 2n ，所以数列 an 为“聚点数列”；5
A 2 …………………17分
5．
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