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人教版八年级数学下册期末阶段复习《第18—19章》
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1．如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的点，且，连接，．
(1)求证；
(2)连接，若，判断四边形的形状，并说明理由．
2．如图，在中，对角线，交于点，，．
(1)当时，求证：是菱形；
(2)当平分时，求证：四边形是矩形．
3．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且．
(1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由：
(2)当点是的中点时，连接，求的度数．
4．如图，在矩形中，，，菱形的三个顶点、、分别在矩形的边、、上，，连接．
(1)若，求证：四边形为正方形；
(2)若，求的面积．
5．综合与实践：
问题情景：如图，在中，为对角线，的交点，，，为上一动点，连接并延长交于点．
独立思考：（1）当时，求的度数；
实践探究：（2）当四边形为平行四边形时，求的长．
6．如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(2)如图2，点为线段上一动点，连接，交于点．
①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由；
②当平分时，求四边形的面积．
7．已知：如图，在四边形中，分别是的中点，可证：（无需证明）．
拓展：
(1)如图1；在四边形中，分别是的中点，分别延长，交于两点，求证：．
(2)如图2，在四边形中，与相交于点分别是的中点，连结，分别交，于点，，判断的形状：___________（直接写出答案，无需证明）．
(3)如图3，在中，，是上一点，且，，分别是，的中点，求的长．
8．在正方形中，对角线和交于点O，点P是射线上的一个动点（点P不与点D，O，B重合），过点D作于点E，过点B作于点F，连接．
(1)如图1，当点P在线段上运动时，延长交于点G，探究线段与线段的数量关系，并证明；
(2)如图2，当点P在线段上运动，的延长线与的延长线交于点G，的度数是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由；
(3)当点P在射线上运动时，若，，请直接写出的面积，不需证明．
9．【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F．
【探索发现】
(1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______；
【操作探究】
(2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系；
【问题解决】
(3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______．
10．综合与探究：如图，在菱形中，，E是射线上一动点，作射线．
（1）【操作判断】
如图①，，将射线绕点A逆时针旋转交于点F，根据题意在图①中画出射线，图中的度数为______度；
（2）【问题探究】
如图②，点E在线段上（不与点B，C重合），将射线绕点A逆时针旋转交于点F，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由：
（3）【拓展延伸】
如图③，点E在射线上，将射线绕点A逆时针旋转交射线于点F．若菱形的边长为4，．求的长．
11．已知，直线经过点与点
(1)确定函数的解析式；
(2)已知点和点在直线上，试比较与的大小．
12．如图，在平面直角坐标系中，，．
(1)求直线的函数解析式；
(2)点D在线段上，过点D作轴，交y轴于点E，连接，若，求点D的坐标及的长．
13．某社区以建设“口袋公园”为重点，有效利用社区的边边角角，为业主打造更多的绿地空间和休闲去处．为此社区中心准备购买甲、乙两种花木，用来美化“口袋公园”，经问询得知，甲种花木的单价比乙种花木的单价高30元，购买2棵甲种花木的费用与购买3棵乙种花木的费用相同．
(1)求甲、乙两种花木的单价；
(2)现需要购买甲、乙两种花木共120棵，且要求甲种花木的棵数不少于乙种花木棵数的2倍，请你设计一种总费用最少的购买方案．
14．2025年春晚的舞台上，《秋》的节目惊艳亮相．这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．科研团队研发时发现机器人的剩余电量与表演时长（分钟）之间存在一次函数关系，相关数据记录如下表．
表演时长/（分钟） 5 8 15 20
剩余电量 85 76 55 40
(1)求与的函数关系式；
(2)若机器人剩余电量为时将自动停止表演，求该机器人在充满电后最长表演时长为多少分钟．
15．周末，小萌骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发半小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小萌离家1小时20分钟后，妈妈从家驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们行驶的路程与小萌离家时间的函数图象．已知小萌骑车的速度始终不变，妈妈驾车的速度是小萌骑车速度的3倍．请根据相关信息，回答下列问题：
(1)小萌在甲地游玩的时间是_____；小萌骑车的速度是_____；
(2)求直线的函数解析式；
(3)小萌出发_____后被妈妈追上．
16．如图，直线与x轴交于A，与y轴交于B．直线与关于y轴对称．将向左平移经过点，与x轴交于E．F在的延长线上，G在第四象限直线上，与交于P．
(1)求直线的解析式．
(2)判断四边形的形状，并证明你的结论．
(3)当动点F，G满足时，求证：．
17．某公司购进一种家用电器600台进行销售，此种电器可以在实体店直接销售，也可以在网上销售．如果在网上销售，每台电器的平均利润（元）与销售数量（台）的函数图象如图1所示；如果在实体店直接销售，每台电器的平均利润（元）与销售数量（台）的函数图象如图2所示，公司通过以上两种方式将这种电器全部售出．
(1)若网上销售数量台，则每台电器的平均利润 元；那么在实体店直接销售的数量 台；
(2)若这种电器在网上销售数量为500台，其余电器在实体店直接销售并全部售完，求该公司销售这种电器获得的总利润．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，直线与直线相交于点.
(1)求直线，的解析式，并写出点的坐标；
(2)若是线段上的点，且的面积为4，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是以为一边的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
19．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标，三角形的面积是4．
(1)求点B的坐标；
(2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，连接，点E是x轴正半轴上一点，且，连接．
①如图2，若三角形的面积是8，求m的值；
②如图3点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），连接，，当四边形面积与三角形面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形的面积，并说明理由．
20．如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作，交轴于点，交轴于点．
(1)若为等腰直角三角形．
①求直线的函数解析式；
②在轴上另有一点的坐标为，请在直线上找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值．
(2)如图2，过点作交轴于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，又，
，
．
在和中，
．
．
（2）四边形是菱形，理由如下．
连接，交于O，
．，
．
又，
．
．
四边形是平行四边形．
四边形是平行四边形，，
四边形是菱形．
．
四边形是菱形．
2．（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∴是菱形；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形，
∴，
∴，
由（1）得四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
3．（1）解：，，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）解：如图，过点作于，交的延长线于，
∵，
则，
∴四边形是矩形，
∵点是的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
由（）知，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴．
4．（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∵四边形为菱形，
∴．
∵，
∴在和中,
,
∴，
∴．
∵,
∴,
∴,
∵四边形为菱形，
∴四边形为正方形；
（2）解：如图，过点P作，交的延长线于点G，连接，
∴．
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴， ，
∴，
∴．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
．
5．解：（1），，
，
，
．
答：的度数为．
（2），
，，
，
、为对角线，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，，，
，
．
6．（1）解：如图所示，四边形即为所求；
由题意得，
∴四边形是菱形；
（2）①添加的条件为
理由：∵为的外角的平分线，
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，即
∴
又∵
∴四边形为矩形；
②如图所示，过点A作交于点H，
由①得
∴四边形为矩形
∴
∵，
∴
∴
当平分时，即
由①得
∴
∴
∴
∴
②如图所示，当点F在线段上时，
∴
∴四边形的面积；
如图所示，当点F在线段上时，
∴
∴四边形的面积；
综上所述，四边形的面积为或．
7．（1）证明：连接，如图所示：
∵G、E分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
同理：，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：是等腰三角形；
证明：如图，取的中点H，连接、，
∵E、F分别是的中点，
∴分别是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（3）取的中点G，连接，
∵E，F分别是的中点，
∴，，
∵，
∴，即：，
∴．
8．（1）解：，证明如下：
∵正方形，
∴，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
；
∴，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
（2）不变，；
∵正方形，
∴，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
；
∴，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
∵，
∴，即：，
又∵，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（3）①当点在线段上时，
由（2）可知：为等腰直角三角形，，
，
∴；
②当点在的延长线上时，如图，
同法可得：，为等腰直角三角形，
∴，
∴；
综上：或．
9．（1）解：正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，即，
，
又，
，
，
．
故答案为：．
（2）解：如图，在上截取，连接，
正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
（3）解：如图，过点作且，连接，
，，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，即，
，
又，
，
，
，
，
．
故答案为：12．
10．解：（1）画出图形如解图，
∵在菱形中，，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（2），
理由：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵点E在射线上，需分两种情况讨论：
①当点E在线段上时，如图，连接，过点A作于点H，
由（2）可知是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由（2）可知，
∴；
②当点E在的延长线上时，如图，连接，过点A作于点H，
同（3）①可得， ，
∵，
∴，
由（2）可知，
∴
综上所述，的长为或．
11．（1）∵直线经过点与点，
∴，
解方程组得，
∴函数解析式为；
（2）∵，y随x的增大而增大，
又∵，
∴．
12．（1）解：设直线的函数解析式为，将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：，
点的横坐标为1，
，
点的坐标为，
∵轴，
∴，
．
13．（1）解：设甲种花木的单价是元，乙种花木的单价为元，
由题意得：，解得：，
答：甲种花木的单价是90元，乙种花木的单价是60元；
（2）解：设需要购买棵甲种花木，则购买棵乙种花木，
由题意得：，解得：，
设总费用为W元，
则，
∵，
∴当时，取最小值，
此时乙种花木的数量为（棵），
答：购买甲种花木80棵，乙种花木40棵，总费用最少．
14．（1）解：设，
把代入，得：
，解得：，
∴；
（2）由题意，当时，，
解得：；
答：该机器人在充满电后最长表演时长为30分钟．
15．（1）解：小萌在甲地游玩的时间是，小萌骑车的速度：，
故答案为：，；
（2）∵妈妈驾车的速度是小萌骑车速度的3倍．
∴妈妈的驾车速度是，
∴设直线的函数解析式为，
把点代入得：，
解得，
则直线的函数解析式为；
（3）小萌骑车的速度为，
设直线的函数解析式为，
把点代入得：，
解得，
则直线的函数解析式为；
∴联立，
解得，
交点，
小萌出发后被妈妈追上，
故答案为：．
16．解：（1）在中，令，得；令，得
∴，
∵直线与关于y轴对称，
∴
设直线解析式为，
将带入得，，解得，
∴直线的解析式为，
∵将向左平移经过点，
∴设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为：；
（2）四边形是菱形，证明如下：
在中，令得，
∴，
而，，
∴，，，
∴
∴四边形是菱形；
（3）由（2）知四边形是菱形，
∴，
∴
∵直线与关于y轴对称
∴，
∴
∴
∴，即
∴
∵，
∴，即
在和中，
，
∴
∴．
17．（1）解：由图象得，若网上销售数量时，则每台电器的平均利润（元）；
那么在实体店直接销售的数量（台）；
（2）解：当时，设，将，代入得
，解得
当时，．
当时，（元），
实体店销售台数（台），则（元）
总利润为（元）．
答：该公司销售这种电器获得的总利润为60000元．
18．（1）解：设直线，
代入点得：，
解得：，
∴直线解析式为；
设直线，
∵点，，
∴
解得：，
∴直线解析式为，
当，
∴；
（2）解：由题意得，，
∴
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
如图：
∵当以，，，为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，
∴，
∵，
∴或，
∴点的坐标为或．
19．（1）解：∵A点坐标，
∴
∵三角形的面积是4．
∴
∴
∴；
（2）解：①∵点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，
∴
∴
∴
∴
∵三角形的面积是8
∴，即
∴；
②∵点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），
∴设
∴，
∵四边形的面积与三角形的面积相等
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
20．（1）解：①∵矩形，，，
∴，，，，，，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式，过点、点，
∴，解得：，
∴直线的解析式；
②∵，
∴，
∵，
∴，
在上取点，使，连接，，则，
∵为等腰直角三角形，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴当E、M、共线时，，最小值为，
∴周长的最小值为，
∵，，
∴轴，，
∴M的纵坐标为1，
把代入，得，
解得，
∴．
（2）解：如图，作于H，
∴，，
∴四边形和四边形都是矩形，
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
设直线的解析式，
∴，
∴，
∴直线的解析式．

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