资源简介

四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题
1．（2024高一下·龙马潭期末）设全集 ，集合 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；补集及其运算；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：由题意得， ，所以A∪B={-1，1，2，3} ，
所以 .
故选：D
【分析】先求解方程求出集合B，再由集合的并集、补集运算即可得解.
2．（2024高一下·龙马潭期末）已知是第二象限角，
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为cosα＝±＝±，
又∵α是第二象限角，
∴cosα＝－.
【分析】利用是第二象限角和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
3．（2024高一下·龙马潭期末）在平行四边形中，为边的中点，记，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：如图所示，
故选：D．
【分析】结合图形和向量的线性运算法则即可求得 .
4．（2024高一下·龙马潭期末）如果函数的一个零点是，那么可以是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为函数的一个零点是，所以，
解得，当，.
故答案为：D.
【分析】由题意，可得，解方程即可求解.
5．（2024高一下·龙马潭期末）在中，内角，，所对应的边分别是，，，若的面积是，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：的面积为，
解得，则．
故答案为：A.
【分析】由题意，根据三角形面积公式，结合正余弦定理化简求值即可.
6．（2024高一下·龙马潭期末）已知，，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；简单的三角恒等变换；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，，
若，则，解得，
因为，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】利用向量平行的坐标表示结合倍角公式求出，再根据同角三角函数基本关系求，代入计算即可.
7．（2024高一下·龙马潭期末）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：将四面体补形成长方体，长方体的长 宽 高分别为、、，
则四面体的外接球为长方体的外接球，
因为长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，
设外接球的半径为，
所以，
所以外接球表面积为.
故答案为：B.
【分析】将四面体补形成长方体，长方体的长 宽 高分别为、、，则长方体的外接球为四面体的外接球，再利用长方体外接球的直径为其体对角线，再结合勾股定理求出此四面体的外接球的直径，从而得出此四面体的外接球的半径长，再结合球的表面积公式得出此四面体的外接球表面积.
8．（2024高一下·龙马潭期末）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：如图所示，，
由题意可知：，
由勾股定理可得，
当点位于直线异侧时或PB为直径时，
设，
则
，
因为，
所以，
当时，有最大值，
当点位于直线同侧时，设，
则
，
因为，
所以，
当时，有最大值，
综上可得，的最大值为.
故答案为：A.
【分析】由题意作出示意图，再进行分类讨论，再利用数量积的定义和三角恒等变换可得或，再结合和不等式的基本性质以及三角型函数求最值的方法，从而得出的最大值.
9．（2024高一下·龙马潭期末）已知复数z，下列说法正确的是（　　）
A．若，则z为实数 B．若，则
C．若，则的最大值为2 D．若，则z为纯虚数
【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：对于选项A，设，则，
因为，即，即，所以z为实数，故A正确；
对于选项B，若，即，
化简可得，即，即，
当时，，，此时不一定满足，
当时，，，此时不一定满足，故B错误；
对于选项C，因为，所以，
所以，即表示以为圆心，以为半径的圆上的点，
且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确；
对于选项D，因为，所以，
，即，
化简可得，则且，
此时可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；
故选：AC
【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果.
10．（2024高一下·龙马潭期末）已知，，满足，且，则下列选项中恒成立的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：因为，且，所以，而b与0的大小关系不确定，
所以，，均恒成立，而与的大小关系不确定.
故答案为：ABC.
【分析】根据已知条件可得，b与0的大小关系不确定判断即可.
11．（2024高一下·龙马潭期末）如图，在中，，，，过中点的直线与线段交于点．将沿直线翻折至，且点在平面内的射影在线段上，连接交于点，是直线上异于的任意一点，则（　　）
A．
B．
C．点的轨迹的长度为
D．直线与平面所成角的余弦值的最小值为
【答案】B,C,D
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：将沿直线翻折至，连接，如图所示：
故，又在平面内的射影在线段上，
所以平面，平面，所以，
，平面，平面
所以平面.
平面，平面，平面，
，
，且即为二面角的平面角
A、由题意可知，为与平面所成的线面角，
故由线面角最小可知，故A选项错误；
B、即为二面角的平面角，故由二面角最大可知，
故B选项正确；
C、恒成立，故的轨迹为以为直径的圆弧夹在内的部分，
易知其长度为，故C选项正确；
D、设，如图所示：
在中，，，
在中，，，
所以，设直线与平面所成角为，
则
，
当且仅当时取等号，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】先利用二面角的定义可得即为二面角的平面角，即可判断A、B；先由旋转，易判断出，可得轨迹为圆弧，即可判断C；利用线面角的定义可得求，，用表示，再结合三角恒等变换求出函数的最值即可判断D.
12．（2024高一下·龙马潭期末）一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为，腰和上底长均为的等腰梯形，则原平面图形的面积为　 　.
【答案】
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】在直观图等腰梯形，，且，如下图所示：
分别过点、作，，垂足分别为点、，
由题意可知，
所以，，同理可得，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，故，
将直观图还原为原图形如下图所示：
由题意可知，梯形为直角梯形，，，，
，，
因此，梯形的面积为.
故答案为：.
【分析】计算出梯形的下底的长，作出原图形，确定原图中梯形的上、下底的长以及梯形的高，利用梯形的面积公式可求得结果.
13．（2024高一下·龙马潭期末）已知，则　 　．
【答案】-7或
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，所以，所以或，
当时，，；
当时，，。
故答案为：-7或。
【分析】利用结合诱导公式得出的值，再利用同角三角函数基本关系式得出的值，再利用分类讨论的方法结合同角三角函数基本关系式得出的值，再结合两角差的正切公式得出的值。
14．（2024高一下·龙马潭期末）已知将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，则 在 上的值域为　 　．
【答案】
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 ，向左平移 个单位长度后得到 的图象，则 ， ， ， ，则 在 上的值域为 .
【分析】先利用三角变换化简函数f(x)，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换求得g（x）的解析式，再结合正弦函数的定义域和值域，即可求得g（x）在给定区间上的值域．
15．（2024高一下·龙马潭期末）已知，，与的夹角为．
（1）求；
（2）当为何值时，．
【答案】（1）解：，，与的夹角为，
则；
（2）解：若，
则
，解得.
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质求的值即可；
（2）由题意可得，利用平面向量数量积的运算性质求实数的值即可.
（1）解：因为，，与的夹角为，
则，
所以，.
（2）解：因为，则
，解得.
16．（2024高一下·龙马潭期末）已知．
（1）化简；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）解：
（2）解：因为，所以，
．
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，进而化简。
（2）因为 ，结合（1）得出的值，再结合同角三角函数基本关系式，进而求出的值。
17．（2024高一下·龙马潭期末）已知函数的一段图象过点，如图所示．
（1）求函数的表达式；
（2）将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域；
（3）若，求的值.
【答案】（1）解：由图可知：，则，易知函数在处最大值，
又因为图象经过，所以，
所以，解得，又因为，所以，
又因为函数经过，所以，解得，
则函数的表达式为；
（2）解：由题意得，，
因为，所以，
所以，所以，
则在区间上的值域为；
（3）解：由题意可得：，即，
又因为，所以，
因为，所以，所以，
则.
【知识点】简单的三角恒等变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由图求函数的周期，根据最小正周期公式求的值，将特殊点代入解析式中，求出，的值，确定函数解析式即可；
（2）根据正弦型函数的图象变换特点可以求出的解析式，由，可得，求的值域即可；
（3）根据可求出，由此求出，进而得到的值.
（1）由图知，，则.
由图可得，在处最大值，
又因为图象经过，故，
所以，故，
又因为，所以，
函数又经过，故，得.
所以函数的表达式为．
（2）由题意得，，
因为，所以，
则，所以，
所以在区间上的值域为.
（3）因为，
所以，即，
又因为，所以，
由，所以.
所以，
所以.
18．（2024高一下·龙马潭期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明：因为，O是中点，
所以，
因为平面，平面平面，
且平面平面，
所以平面，
因为平面，
所以.
(2)解：[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，
垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则，
设，
所以，
设为平面的法向量，
由，
可得平面的一个法向量为，
又因为平面的一个法向量为，
所以，
解得，
又因为点C到平面的距离为，
所以，
所以三棱锥的体积为．
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作，垂足为点G，
作，垂足为点F，连结，
则，
因为平面，
所以平面，
则为二面角的平面角，
因为，
所以，
由已知可得，
故，
又因为，
所以，
又因为，
所以
[方法三]：三面角公式
考虑三面角，记为，为，，
记二面角为，
由题意，得，
对使用三面角的余弦公式，可得，
化简可得，①
使用三面角的正弦公式，可得，
化简可得，②
将①②两式平方后相加，可得，
则，
所以，
如图可知，
则，
根据三角形相似知，点G为的三等分点，
可得，
结合的正切值，
可得，
则可得三棱锥的体积为．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角；相似三角形的性质；同角三角函数间的基本关系；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1)利用等腰三角形三线合一得出线线垂直，再利用面面垂直的性质定理证出线线垂直，即证出.
(2)利用三种方法求解.
方法一：通性通法—坐标法
利用已知条件建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量和平面的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式和已知条件得出m的值，再利用点C到平面的距离和三棱锥的体积公式以及等体积法，从而得出三棱锥的体积.
方法二：作出二面角的平面角
利用中位线定理得出线线平行，再利用平面得出平面，从而得出为二面角的平面角，再利用得出，再结合已知条件和三棱锥的体积公式，从而得出三棱锥的体积.
方法三：三面角公式
使用三面角的余弦公式和平方法以及同角三角函数基本关系式，从而得出二面角的平面角的正切值，再根据三角形相似知，点G为的三等分点，从而得出BG的长，再结合二面角的正切值得出EG、OA的长，再利用三棱锥体积公式，从而得出三棱锥的体积.
19．（2024高一下·龙马潭期末）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
（1）设函数，试求的伴随向量的坐标；
（2）记向量的伴随函数为，当且时，求的值；
（3）设向量，的伴随函数为，的伴随函数为，记函数，求在上的最大值.
【答案】（1）解：，
则；
（2）解：由题意可得：，
当时，，
当时，，所以，
则；
（3）解：易知，，
，
因为，，所以，
令，
问题转化为函数的最值问题，
因为函数的对称轴为，
所以当，即时，的最大值在处取得，最大值为；
当，即时，的最大值在处取得，
最大值为；
当，即时，的最大值在处取得，最大值为；
综上，在上的最大值为.
【知识点】函数的最大（小）值；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）化简的解析式，求伴随向量即可；
（2）先求得，由求得，进而求得，再求即可；
（3）先求得，然后根据三角函数的值域与二次函数最值分类讨论求解即可.
（1）解：
，
所以.
（2）解：依题意，
由得，
因为，
所以，
所以.
（3）解：由题知，，
所以
因为，，
所以，，
令，
所以，问题转化为函数的最值问题.
因为函数的对称轴为，
所以，当，即时，的最大值在处取得，为；
当，即时，的最大值在处取得，为；
当，即时，的最大值在处取得，为；
综上，在上的最大值为.
1 / 1四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题
1．（2024高一下·龙马潭期末）设全集 ，集合 ，则 （　　）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·龙马潭期末）已知是第二象限角，
A． B． C． D．
3．（2024高一下·龙马潭期末）在平行四边形中，为边的中点，记，，则（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024高一下·龙马潭期末）如果函数的一个零点是，那么可以是(　　)
A． B． C． D．
5．（2024高一下·龙马潭期末）在中，内角，，所对应的边分别是，，，若的面积是，则(　　)
A． B． C． D．
6．（2024高一下·龙马潭期末）已知，，，若，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·龙马潭期末）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·龙马潭期末）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·龙马潭期末）已知复数z，下列说法正确的是（　　）
A．若，则z为实数 B．若，则
C．若，则的最大值为2 D．若，则z为纯虚数
10．（2024高一下·龙马潭期末）已知，，满足，且，则下列选项中恒成立的是(　　)
A． B． C． D．
11．（2024高一下·龙马潭期末）如图，在中，，，，过中点的直线与线段交于点．将沿直线翻折至，且点在平面内的射影在线段上，连接交于点，是直线上异于的任意一点，则（　　）
A．
B．
C．点的轨迹的长度为
D．直线与平面所成角的余弦值的最小值为
12．（2024高一下·龙马潭期末）一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为，腰和上底长均为的等腰梯形，则原平面图形的面积为　 　.
13．（2024高一下·龙马潭期末）已知，则　 　．
14．（2024高一下·龙马潭期末）已知将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，则 在 上的值域为　 　．
15．（2024高一下·龙马潭期末）已知，，与的夹角为．
（1）求；
（2）当为何值时，．
16．（2024高一下·龙马潭期末）已知．
（1）化简；
（2）已知，求的值．
17．（2024高一下·龙马潭期末）已知函数的一段图象过点，如图所示．
（1）求函数的表达式；
（2）将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域；
（3）若，求的值.
18．（2024高一下·龙马潭期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
19．（2024高一下·龙马潭期末）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
（1）设函数，试求的伴随向量的坐标；
（2）记向量的伴随函数为，当且时，求的值；
（3）设向量，的伴随函数为，的伴随函数为，记函数，求在上的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算；补集及其运算；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：由题意得， ，所以A∪B={-1，1，2，3} ，
所以 .
故选：D
【分析】先求解方程求出集合B，再由集合的并集、补集运算即可得解.
2．【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为cosα＝±＝±，
又∵α是第二象限角，
∴cosα＝－.
【分析】利用是第二象限角和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
3．【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：如图所示，
故选：D．
【分析】结合图形和向量的线性运算法则即可求得 .
4．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为函数的一个零点是，所以，
解得，当，.
故答案为：D.
【分析】由题意，可得，解方程即可求解.
5．【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：的面积为，
解得，则．
故答案为：A.
【分析】由题意，根据三角形面积公式，结合正余弦定理化简求值即可.
6．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；简单的三角恒等变换；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，，
若，则，解得，
因为，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】利用向量平行的坐标表示结合倍角公式求出，再根据同角三角函数基本关系求，代入计算即可.
7．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：将四面体补形成长方体，长方体的长 宽 高分别为、、，
则四面体的外接球为长方体的外接球，
因为长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，
设外接球的半径为，
所以，
所以外接球表面积为.
故答案为：B.
【分析】将四面体补形成长方体，长方体的长 宽 高分别为、、，则长方体的外接球为四面体的外接球，再利用长方体外接球的直径为其体对角线，再结合勾股定理求出此四面体的外接球的直径，从而得出此四面体的外接球的半径长，再结合球的表面积公式得出此四面体的外接球表面积.
8．【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：如图所示，，
由题意可知：，
由勾股定理可得，
当点位于直线异侧时或PB为直径时，
设，
则
，
因为，
所以，
当时，有最大值，
当点位于直线同侧时，设，
则
，
因为，
所以，
当时，有最大值，
综上可得，的最大值为.
故答案为：A.
【分析】由题意作出示意图，再进行分类讨论，再利用数量积的定义和三角恒等变换可得或，再结合和不等式的基本性质以及三角型函数求最值的方法，从而得出的最大值.
9．【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：对于选项A，设，则，
因为，即，即，所以z为实数，故A正确；
对于选项B，若，即，
化简可得，即，即，
当时，，，此时不一定满足，
当时，，，此时不一定满足，故B错误；
对于选项C，因为，所以，
所以，即表示以为圆心，以为半径的圆上的点，
且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确；
对于选项D，因为，所以，
，即，
化简可得，则且，
此时可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；
故选：AC
【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果.
10．【答案】A,B,C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：因为，且，所以，而b与0的大小关系不确定，
所以，，均恒成立，而与的大小关系不确定.
故答案为：ABC.
【分析】根据已知条件可得，b与0的大小关系不确定判断即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：将沿直线翻折至，连接，如图所示：
故，又在平面内的射影在线段上，
所以平面，平面，所以，
，平面，平面
所以平面.
平面，平面，平面，
，
，且即为二面角的平面角
A、由题意可知，为与平面所成的线面角，
故由线面角最小可知，故A选项错误；
B、即为二面角的平面角，故由二面角最大可知，
故B选项正确；
C、恒成立，故的轨迹为以为直径的圆弧夹在内的部分，
易知其长度为，故C选项正确；
D、设，如图所示：
在中，，，
在中，，，
所以，设直线与平面所成角为，
则
，
当且仅当时取等号，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】先利用二面角的定义可得即为二面角的平面角，即可判断A、B；先由旋转，易判断出，可得轨迹为圆弧，即可判断C；利用线面角的定义可得求，，用表示，再结合三角恒等变换求出函数的最值即可判断D.
12．【答案】
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】在直观图等腰梯形，，且，如下图所示：
分别过点、作，，垂足分别为点、，
由题意可知，
所以，，同理可得，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，故，
将直观图还原为原图形如下图所示：
由题意可知，梯形为直角梯形，，，，
，，
因此，梯形的面积为.
故答案为：.
【分析】计算出梯形的下底的长，作出原图形，确定原图中梯形的上、下底的长以及梯形的高，利用梯形的面积公式可求得结果.
13．【答案】-7或
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，所以，所以或，
当时，，；
当时，，。
故答案为：-7或。
【分析】利用结合诱导公式得出的值，再利用同角三角函数基本关系式得出的值，再利用分类讨论的方法结合同角三角函数基本关系式得出的值，再结合两角差的正切公式得出的值。
14．【答案】
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 ，向左平移 个单位长度后得到 的图象，则 ， ， ， ，则 在 上的值域为 .
【分析】先利用三角变换化简函数f(x)，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换求得g（x）的解析式，再结合正弦函数的定义域和值域，即可求得g（x）在给定区间上的值域．
15．【答案】（1）解：，，与的夹角为，
则；
（2）解：若，
则
，解得.
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质求的值即可；
（2）由题意可得，利用平面向量数量积的运算性质求实数的值即可.
（1）解：因为，，与的夹角为，
则，
所以，.
（2）解：因为，则
，解得.
16．【答案】（1）解：
（2）解：因为，所以，
．
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，进而化简。
（2）因为 ，结合（1）得出的值，再结合同角三角函数基本关系式，进而求出的值。
17．【答案】（1）解：由图可知：，则，易知函数在处最大值，
又因为图象经过，所以，
所以，解得，又因为，所以，
又因为函数经过，所以，解得，
则函数的表达式为；
（2）解：由题意得，，
因为，所以，
所以，所以，
则在区间上的值域为；
（3）解：由题意可得：，即，
又因为，所以，
因为，所以，所以，
则.
【知识点】简单的三角恒等变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由图求函数的周期，根据最小正周期公式求的值，将特殊点代入解析式中，求出，的值，确定函数解析式即可；
（2）根据正弦型函数的图象变换特点可以求出的解析式，由，可得，求的值域即可；
（3）根据可求出，由此求出，进而得到的值.
（1）由图知，，则.
由图可得，在处最大值，
又因为图象经过，故，
所以，故，
又因为，所以，
函数又经过，故，得.
所以函数的表达式为．
（2）由题意得，，
因为，所以，
则，所以，
所以在区间上的值域为.
（3）因为，
所以，即，
又因为，所以，
由，所以.
所以，
所以.
18．【答案】(1)证明：因为，O是中点，
所以，
因为平面，平面平面，
且平面平面，
所以平面，
因为平面，
所以.
(2)解：[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，
垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则，
设，
所以，
设为平面的法向量，
由，
可得平面的一个法向量为，
又因为平面的一个法向量为，
所以，
解得，
又因为点C到平面的距离为，
所以，
所以三棱锥的体积为．
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作，垂足为点G，
作，垂足为点F，连结，
则，
因为平面，
所以平面，
则为二面角的平面角，
因为，
所以，
由已知可得，
故，
又因为，
所以，
又因为，
所以
[方法三]：三面角公式
考虑三面角，记为，为，，
记二面角为，
由题意，得，
对使用三面角的余弦公式，可得，
化简可得，①
使用三面角的正弦公式，可得，
化简可得，②
将①②两式平方后相加，可得，
则，
所以，
如图可知，
则，
根据三角形相似知，点G为的三等分点，
可得，
结合的正切值，
可得，
则可得三棱锥的体积为．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角；相似三角形的性质；同角三角函数间的基本关系；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1)利用等腰三角形三线合一得出线线垂直，再利用面面垂直的性质定理证出线线垂直，即证出.
(2)利用三种方法求解.
方法一：通性通法—坐标法
利用已知条件建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量和平面的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式和已知条件得出m的值，再利用点C到平面的距离和三棱锥的体积公式以及等体积法，从而得出三棱锥的体积.
方法二：作出二面角的平面角
利用中位线定理得出线线平行，再利用平面得出平面，从而得出为二面角的平面角，再利用得出，再结合已知条件和三棱锥的体积公式，从而得出三棱锥的体积.
方法三：三面角公式
使用三面角的余弦公式和平方法以及同角三角函数基本关系式，从而得出二面角的平面角的正切值，再根据三角形相似知，点G为的三等分点，从而得出BG的长，再结合二面角的正切值得出EG、OA的长，再利用三棱锥体积公式，从而得出三棱锥的体积.
19．【答案】（1）解：，
则；
（2）解：由题意可得：，
当时，，
当时，，所以，
则；
（3）解：易知，，
，
因为，，所以，
令，
问题转化为函数的最值问题，
因为函数的对称轴为，
所以当，即时，的最大值在处取得，最大值为；
当，即时，的最大值在处取得，
最大值为；
当，即时，的最大值在处取得，最大值为；
综上，在上的最大值为.
【知识点】函数的最大（小）值；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）化简的解析式，求伴随向量即可；
（2）先求得，由求得，进而求得，再求即可；
（3）先求得，然后根据三角函数的值域与二次函数最值分类讨论求解即可.
（1）解：
，
所以.
（2）解：依题意，
由得，
因为，
所以，
所以.
（3）解：由题知，，
所以
因为，，
所以，，
令，
所以，问题转化为函数的最值问题.
因为函数的对称轴为，
所以，当，即时，的最大值在处取得，为；
当，即时，的最大值在处取得，为；
当，即时，的最大值在处取得，为；
综上，在上的最大值为.
1 / 1

展开更多......

收起↑