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2025年高一年级分班考试数学模拟试卷（1）
一．选择题
1．下列计算中，结果正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．20﹣1＝﹣1 C． D．a6÷a2＝a3
2．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是（　　）
A． B．1 C． D．
3．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（　　）
A．2 B．8 C．2 D．2
4．设的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b的值为（　　）
A． B． C． D．
5．濮阳为中华上古文明的重要发祥地，地下文物丰富，“中华第一龙”就出土自中国颛顼的老家濮阳．这些珍贵的文物记载着华夏民族的伟大历史．下列四件文物中，不考虑纹路，仅考虑外观，主视图与左视图不一致的是（　　）
A． B． C． D．
6．小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．已知等腰三角形三边的长为a、b、c，且a＝c．若关于x的一元二次方程的两根之差为，则等腰三角形的一个底角是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
8．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（　　）
A．a2﹣π B．（4﹣π）a2 C．π D．4﹣π
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：
①b＝﹣2；
②该二次函数图象与y轴交于负半轴；
③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上；
④若a＝1，则OA OB＝OC2．
以上说法正确的有（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE＝5，CE＝3，则DF的长是（　　）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
二．填空题
11．因式分解：a3﹣9a＝ 　 　 ．
12．甲、乙两台机床生产同一种零件，并且每天产量相等，在随机抽取的6天的生产中，每天生产零件中的次品数依次是：
甲 3 0 0 2 0 1
乙 1 0 2 1 0 2
则甲、乙两台机床中，性能较稳定的为 　 　 机床．（填“甲”或“乙”）
13．已知二次函数y＝3x2﹣6x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围为　 　 ．
14．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的面积为 　 　 ．
15．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D是AC上一点，将△BCD沿着BD折叠得到△BED．（1）若DE⊥AC，则∠BDE的度数为 　 　 ；
（2）设BE与AC交于点F，若△DEF是直角三角形，AB＝5，AC＝12，则CD的长为 　 　 ．
16．如图，在Rt△ABC中，AC＝15，BC＝20，AM＝2CM，CD⊥AB，I为△BCD内心，则IM＝　 　 ．
三．解答题
17．先化简（1﹣），再从﹣3＜a＜3中选取一个你喜欢的整数a的值代入求值．
18．如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝k2x+b的图象相交于点A、C两点，其中点A的横坐标为﹣2，点C的纵坐标为﹣1，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）根据图象直接回答：当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值．
（3）若A点关于x轴的对称点A′在二次函数y3＝﹣x2+mx+n的图象上，请判断二次函数y4＝x2+mx﹣n﹣3与x轴的交点个数，并说明理由．
19．为创建“国家园林城市”，某校举行了以“爱我黄石”为主题的图片制作比赛，评委会对200名同学的参赛作品打分发现，参赛者的成绩x均满足50≤x＜100，并制作了频数分布直方图，如图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全频数分布直方图；
（2）若依据成绩，采取分层抽样的方法，从参赛同学中抽40人参加图片制作比赛总结大会，则从成绩80≤x＜90的选手中应抽多少人？
（3）比赛共设一、二、三等奖，若只有25%的参赛同学能拿到一等奖，则一等奖的分数线是多少？
20．某超市准备购进野生木耳和人工培育木耳，已知购进一斤野生木耳比一斤人工培育木耳多15元，若用1200元购进的野生木耳的数量是用500元购进的人工培育木耳数量的倍，请解答下列问题：
（1）求该超市购进的野生木耳和人工培育木耳单价各为多少元；
（2）该超市预计购进野生木耳和人工培育木耳共100斤（野生木耳和人工培育木耳的数量都是整数），总资金不超过3040元，人工培育木耳的数量不超过野生木耳的数量的2倍，求有哪几种购进方案；
（3）在（2）的条件下，该超市野生木耳每斤售价70元，人工木耳每斤售价40元，若全部售出，则该超市获得的最大利润是多少元？
21．在△ABC中，∠C＝90°．
（1）如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F，求证：∠1＝∠2；
（2）在图②中作⊙M，使它满足以下条件：①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切；（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
（3）在（2）问条件下，若∠A＝30°，⊙M的半径为2，求线段BC的长．
22．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图2，连接CB，DB，若抛物线上存在点E，满足∠CBD＝∠BDE，求点E的坐标；
（3）如图3，点F为x轴上一动点，连接CF，DF，当∠CFD最大时，请直接写出点F的坐标．
答案与解析
一．选择题
1．下列计算中，结果正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．20﹣1＝﹣1 C． D．a6÷a2＝a3
【点拨】运用幂运算法则，二次根式的化简方法计算．
【解析】解：A、根据幂的乘方法则，（a2）3＝a6，故不对；
B、因为0任何不等于0的数的0次幂等于1，所以20﹣1＝1﹣1＝0，故不对；
C、把二次根式化简，故正确；
D、a6÷a2＝a4，故不对．
故选：C．
【点睛】本题考查的是实数的运算能力．注意：要正确掌握各种运算法则．
2．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是（　　）
A． B．1 C． D．
【点拨】根据圆周角定理，可得∠AED与∠ABD的关系，根据勾股定理，可得BC的长，再根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．
【解析】解：由圆周角定理，得
∠AED＝∠ABD．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC＝＝，
cos∠AED＝cos∠ABC＝＝＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，利用圆周角定理得出∠AED＝∠ABD是解题关键，注意余弦是在直角三角形中邻边比斜边．
3．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（　　）
A．2 B．8 C．2 D．2
【点拨】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE＝90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长．
【解析】解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，
∴AC＝AB＝4，
设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC＝4，OC＝r﹣2，
∴OA2＝AC2+OC2，即r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，
∴AE＝2r＝10，
连接BE，如图．
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，
∵AE＝10，AB＝8，
∴BE＝＝＝6，
在Rt△BCE中，
∵BE＝6，BC＝4，
∴CE＝＝＝2．
故选：D．
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4．设的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】≈1.414，由此可得出的整数部分a，再用4﹣减整数部分可得出小数部分b，从而求出a﹣b的值．
【解析】解：≈1.414，
∴整数部分a＝2，小数部分b＝4﹣﹣2＝2﹣，
∴a﹣b＝2﹣（2﹣）
＝．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小的知识，注意应先判断所给的无理数的近似值然后解题．
5．濮阳为中华上古文明的重要发祥地，地下文物丰富，“中华第一龙”就出土自中国颛顼的老家濮阳．这些珍贵的文物记载着华夏民族的伟大历史．下列四件文物中，不考虑纹路，仅考虑外观，主视图与左视图不一致的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据三视图的概念求解即可．
【解析】解：A、物体的主视图与左视图相同，故选项不符合题意；
B、选项物体的主视图与左视图不相同，故选项符合题意；
C、物体的主视图与左视图相同，故选项不符合题意；
D、物体的主视图与左视图相同，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够熟练掌握概率计算公式．
6．小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】先画出树状图，从而可得她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上的所有等可能的结果，再找出恰好是白色上衣和白色裤子的结果，然后利用概率公式求解即可得．
【解析】解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，小颖随机拿出一件上衣和一条裤子穿上的所有等可能的结果共有4种，其中，恰好是白色上衣和白色裤子的结果有1种，
则恰好是白色上衣和白色裤子的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
7．已知等腰三角形三边的长为a、b、c，且a＝c．若关于x的一元二次方程的两根之差为，则等腰三角形的一个底角是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【点拨】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把两根之差变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，得到a、b的关系后，再根据特殊角的三角函数值求得底角的度数．
【解析】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝，x1 x2＝，
又知（x1﹣x2）＝，
则（x1﹣x2）2＝2，
即（x1+x2）2﹣4x1 x2＝2，
∴2×﹣4×＝2，
解得b＝a，
∴底角的余弦cosC＝＝＝，
∴底角为30度．
故选：B．
【点睛】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，特殊角的三角函数值．
8．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（　　）
A．a2﹣π B．（4﹣π）a2 C．π D．4﹣π
【点拨】这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是就是小正方形的面积与扇形的面积的差．
【解析】解：小正方形的面积是：1；
当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形BAO，它的面积是：．
则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4（1﹣）＝4﹣π．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形和圆的面积的计算公式，正确记忆公式是关键．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：
①b＝﹣2；
②该二次函数图象与y轴交于负半轴；
③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上；
④若a＝1，则OA OB＝OC2．
以上说法正确的有（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【点拨】①二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），因而将M、N两点坐标代入即可消去a、c解得b值．
②根据图象的特点及与直线MN比较，可知当﹣1＜x＜1时，二次函数图象在直线MN的下方．
③同②理．
④当y＝0时利用根与系数的关系，可得到OA OB的值，当x＝0时，可得到OC的值．通过c建立等量关系求证．
【解析】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），
∴，
解得b＝﹣2．
故该选项正确．
②方法一：∵二次函数y＝ax2+bx+c，a＞0
∴该二次函数图象开口向上
∵点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），
∴直线MN的解析式为y﹣2＝，
即y＝﹣2x，
根据抛物线的图象的特点必然是当﹣1＜x＜1时，二次函数图象在y＝﹣2x的下方，
∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；
方法二：由①可得b＝﹣2，a+c＝0，即c＝﹣a＜0，
所以二次函数图象与y轴交于负半轴．
故该选项正确．
③根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上．
故该选项错误．
④当a＝1时，c＝﹣1，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1
当y＝0时，0＝x2﹣2x+c，利用根与系数的关系可得 x1 x2＝c，
即OA OB＝|c|，
当x＝0时，y＝c，即OC＝|c|＝1＝OC2，
∴若a＝1，则OA OB＝OC2，
故该选项正确．
总上所述①②④正确．
故选：C．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的图象性质及特点、一元二次方程根与系数的关系、直线解析式的确定．
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE＝5，CE＝3，则DF的长是（　　）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【点拨】首先延长EF，过点B作直线平行AC和EF相交于P，由菱形的性质，可求得OE的长，证得AC是⊙M的切线，然后由切线长定理，求得EN的长，易证得△DMN∽△DEO，△EFC∽△PFB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
【解析】解：延长EF，过点B作直线平行AC和EF相交于P，
∵AE＝5，EC＝3，
∴AC＝AE+CE＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝4，AC⊥BD，
∴OE＝OC﹣CE＝4﹣3＝1，
∵以OB为直径画圆M，
∴AC是⊙M的切线，
∵DN是⊙M的切线，
∴EN＝OE＝1，MN⊥AN，
∴∠DNM＝∠DOE＝90°，
∵∠MDN＝∠EDO，
∴△DMN∽△DEO，
∴DM：MN＝DE：OE，
∵MN＝BM＝OM＝OB，
∴DM＝OD+OM＝3MN，
∴DE＝3OE＝3，
∵OE∥BP，
∴OD：OB＝DE：EP，
∵OD＝OB，
∴DE＝EP＝3，
∴BP＝2OE＝2，
∵OE∥BP，
∴△EFC∽△PFB，
∴EF：PF＝EC：BP＝3：2，
∴EF：EP＝3：5，
∴EF＝EP×＝1.8，
∴DF＝DE+EF＝3+1.8＝4.8．
故选：C．
【点睛】此题属于圆的综合题，考查了切线的判定与性质、菱形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
二．填空题
11．因式分解：a3﹣9a＝ 　a（a+3）（a﹣3）　 ．
【点拨】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解析】解：原式＝a（a2﹣9）
＝a（a+3）（a﹣3），
故答案为：a（a+3）（a﹣3）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．甲、乙两台机床生产同一种零件，并且每天产量相等，在随机抽取的6天的生产中，每天生产零件中的次品数依次是：
甲 3 0 0 2 0 1
乙 1 0 2 1 0 2
则甲、乙两台机床中，性能较稳定的为 　乙　 机床．（填“甲”或“乙”）
【点拨】先计算出甲乙的平均数，甲的平均数＝乙的平均数＝1，再根据方差的计算公式分别计算出它们的方差，然后根据方差的意义得到方差小的性能较稳定．
【解析】解：甲的平均数＝（3+0+0+2+0+1）＝1，
乙的平均数＝（1+0+2+1+0+2）＝1，
∴S2甲＝[（3﹣1）2+3×（0﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2]＝
S2乙＝[（2×（1﹣1）2+2×（0﹣1）2+2×（2﹣1）2]＝，
∴S2甲＞S2乙，
∴乙台机床性能较稳定．
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了方差的计算公式和意义：一组数据x1，x2，…，xn，其平均数为，则这组数据的方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]；方差反映一组数据在其平均数左右的波动大小，方差越大，波动就越大，越不稳定，方差越小，波动越小，越稳定．
13．已知二次函数y＝3x2﹣6x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围为　m≤3　 ．
【点拨】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4×3×m≥0，然后解不等式即可．
【解析】解：根据题意得，Δ＝（﹣6）2﹣4×3×m≥0，
解得，m≤3，
∴m的取值范围为m≤3，
故答案为：m≤3．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
14．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的面积为 　　 ．
【点拨】根据AAS可以证明△ABE≌△ECF，得AB＝CE，BE＝CF；根据两角对应相等，可以证明△ECF∽△FDG，则DF：CE＝FG：EF＝1：2．设BE＝x，则AB＝2x，根据勾股定理求得x的值，进而求得矩形的面积．
【解析】解：根据等角的余角相等，得
∠BAE＝∠CEF＝∠DFG．
又∠B＝∠C＝∠D＝90°，AE＝EF＝4，FG＝2，
∴△ABE≌△ECF，△ECF∽△FDG．
∴AB＝CE，BE＝CF，DF：CE＝FG：EF＝1：2．
设BE＝x，则AB＝2x，根据勾股定理，得
x2+4x2＝16，
x＝．
则矩形ABCD的面积为：2x×3x＝6x2＝．
故答案为：．
【点睛】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，能够用一个未知数表示矩形的长和宽，根据勾股定理列方程求解．
15．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D是AC上一点，将△BCD沿着BD折叠得到△BED．（1）若DE⊥AC，则∠BDE的度数为 　135°　 ；
（2）设BE与AC交于点F，若△DEF是直角三角形，AB＝5，AC＝12，则CD的长为 　7或　 ．
【点拨】（1）由折叠可知，代入已知条件即可求解；
（2）分两种情况：当∠EDF＝90°时，当∠DFE＝90°时，BE与BA共线，分别用勾股定理求出对应的值即可．
【解析】解：（1）∵DE⊥AC，
∴∠CDE＝90°．
由折叠可知．
故答案为：135°；
（2）如图1，当∠EDF＝90°时，
由（1）可知∠BDE＝135°，
则∠AOB＝∠ABD＝45°，
∴AB＝AD＝5，
∴CD＝AC﹣AD＝7．
如图2，当∠DFE＝90°时，BE与BA共线．
在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝12，
由勾股定理得BC＝13，
∴BE＝13，
∴AE＝BE﹣AB＝13﹣5＝8，
设CD＝DE＝x，则AD＝12﹣x．
由勾股定理得DE2＝AE2+AD2，
即x2＝82+（12﹣x）2，
解得．
综上，CD的长为7或．
故答案为：7或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等，关键是设边长，根据勾股定理列方程求解．
16．如图，在Rt△ABC中，AC＝15，BC＝20，AM＝2CM，CD⊥AB，I为△BCD内心，则IM＝　　 ．
【点拨】作IE⊥BC于E，IF⊥CD于F，IG⊥AB于G，IH⊥AC于H，连接BI，由条件求出IE，CE的长，得到CH，IH的长，由勾股定理即可求出IM的长．
【解析】解：作IE⊥BC于E，IF⊥CD于F，IG⊥AB于G，IH⊥AC于H，连接BI，
∵I为△BCD内心，
∴IE＝IF＝IG，
∵BI＝BI，IG＝IE，
∴Rt△BIG≌Rt△BIE（HL），
∴BE＝BG，
同理DG＝DF，CF＝CE，
∵CD⊥AB，
∴四边形DGIF是正方形，
∴DG＝DF＝IG，
∵AC⊥BC，
∴四边形IECH是矩形，
∴CH＝IE，IH＝EC，
在Rt△ABC中，AC＝15，BC＝20，
∴AB＝＝＝25，
∵AB CD＝AC BC，
∴25CD＝15×20，
∴CD＝12，
∴BD＝＝＝16，
∵DB+DC﹣BC＝DG+BG+DF+FC﹣（BE+CE）＝16+12﹣20＝8，
∴2DG＝8，
同理可得：2CE＝（BC+CD﹣BD）＝（20+12﹣16）＝16，
∴CE＝8，
∴IE＝DG＝4，IH＝CE＝8，
∴CH＝IE＝4，
∵AM＝2CM，
∴CM＝AC＝＝5，
∴MH＝CM﹣CH＝5﹣4＝1，
∴IM＝＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的内心，勾股定理，关键是掌握三角形内心的性质，通过作辅助线构造直角三角形．
三．解答题
17．先化简（1﹣），再从﹣3＜a＜3中选取一个你喜欢的整数a的值代入求值．
【点拨】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解析】解：原式＝×
＝
∵a≠﹣2，2，1
∴a＝0时，
原式＝2
【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
18．如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝k2x+b的图象相交于点A、C两点，其中点A的横坐标为﹣2，点C的纵坐标为﹣1，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）根据图象直接回答：当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值．
（3）若A点关于x轴的对称点A′在二次函数y3＝﹣x2+mx+n的图象上，请判断二次函数y4＝x2+mx﹣n﹣3与x轴的交点个数，并说明理由．
【点拨】（1）根据反比例函数|k1|的几何意义，知S△AOB＝|k1|，得k1＝﹣4，可求得A、C两点坐标，代入一次函数解析式得关于k2、b的二元一次方程组，求得一次函数解析式；
（2）观察图象，y2＞y1，即表示y2的图象位于y1的图象上方，直接找出对应的x的取值范围；
（3）由题意可得到n＝2m+2，再根据二次函数图象与x轴交点情况与对应的一元二次方程根的情况有关，求出Δ＝b2﹣4ac的值即可判断．
【解析】解：（1）∵S△AOB＝2，
∴|k1|＝4，
∵y1＝的图象位于第二、四象限，
∴k1＝﹣4，
∴，
∴A（﹣2，2），C（4，﹣1），
由题意得：，解得；
∴
（2）观察图象得：当x＜﹣2或0＜x＜4时，y2＞y1；
（3）由题意得A′（﹣2，﹣2）在y3＝﹣x2+mx+n的图象上，
∴﹣（﹣2）2﹣2m+n＝﹣2，
∴n＝2m+2，
在y4＝x2+mx﹣n﹣3中，令y4＝0，得x2+mx﹣n﹣3＝0，
∴△＝m2﹣4×1×（﹣n﹣3）＝m2+4n+12＝m2+4（2m+2）+12＝（m+4）2+4，
∵（m+4）2≥0，
∴（m+4）2+4＞0，即Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程x2+mx﹣n﹣3＝0有两个不相等的实数根，即二次函数y4＝x2+mx﹣n﹣3的图象与x轴有两个交点．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、反比例函数|k|的几何意义、二次函数图象与x轴交点情况等；解题关键是理解和应用反比例函数|k|的几何意义以及抛物线与坐标轴交点情况的判断方法．
19．为创建“国家园林城市”，某校举行了以“爱我黄石”为主题的图片制作比赛，评委会对200名同学的参赛作品打分发现，参赛者的成绩x均满足50≤x＜100，并制作了频数分布直方图，如图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全频数分布直方图；
（2）若依据成绩，采取分层抽样的方法，从参赛同学中抽40人参加图片制作比赛总结大会，则从成绩80≤x＜90的选手中应抽多少人？
（3）比赛共设一、二、三等奖，若只有25%的参赛同学能拿到一等奖，则一等奖的分数线是多少？
【点拨】（1）利用总人数200减去其它各组的人数即可求得第二组的人数，从而作出直方图；
（2）设抽了x人，根据各层抽取的人数的比例相等，即可列方程求解；
（3）利用总人数乘以一等奖的人数，据此即可判断．
【解析】解：（1）200﹣（35+40+70+10）＝45，如图：
（2）设抽了x人，则，解得x＝8；
（3）依题意知获一等奖的人数为200×25%＝50（人）．
则一等奖的分数线是80分．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20．某超市准备购进野生木耳和人工培育木耳，已知购进一斤野生木耳比一斤人工培育木耳多15元，若用1200元购进的野生木耳的数量是用500元购进的人工培育木耳数量的倍，请解答下列问题：
（1）求该超市购进的野生木耳和人工培育木耳单价各为多少元；
（2）该超市预计购进野生木耳和人工培育木耳共100斤（野生木耳和人工培育木耳的数量都是整数），总资金不超过3040元，人工培育木耳的数量不超过野生木耳的数量的2倍，求有哪几种购进方案；
（3）在（2）的条件下，该超市野生木耳每斤售价70元，人工木耳每斤售价40元，若全部售出，则该超市获得的最大利润是多少元？
【点拨】（1）设购进一斤野生木耳a元，则购进一斤人工培育木耳（a﹣15）元，根据用1200元购进的野生木耳的数量是用500元购进的人工培育木耳数量的倍，列出关于a的分式方程，解方程即可；
（2）设购进野生木耳x斤，则购进人工培育木耳（100﹣x）斤，根据总资金不超过3040元，人工培育木耳的数量不超过野生木耳的数量的2倍，列出关于x的一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题；
（3）设总利润为w元，根据题意得w＝15x+1500，再根据一次函数的性质结合（2）的结论可得答案．
【解析】解：（1）设该超市购进的野生木耳的单价为x元，则人工培育木耳单价的单价为（a﹣15）元，
由题意得：，
解得：a＝40，
经检验，a＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣15＝40﹣15＝25，
答：该超市购进的野生木耳的单价为40元，人工培育木耳单价的单价为25 元；
（2）设购进野生木耳x斤，则购进人工培育木耳（100﹣x）斤，
由题意得：，
解得：，
∵x是正整数，
∴x＝34，35，36，
∴100﹣x＝66，65，64，
∴有3种购进方案：
①野生木耳34斤，人工培育木耳66斤；
②野生木耳35斤，人工培育木耳65斤；
③野生木耳36斤，人工培育木耳64斤；
（3）设总利润为w元，
由题意得：w＝（70﹣40）x+（40﹣25）（100﹣x）＝15x+1500，
∵15＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝36时，w由最大值，w最大＝15×36+1500＝2040，
答：该超市获得的最大利润是2040元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找出数量关系，正确列出一次函数关系式．
21．在△ABC中，∠C＝90°．
（1）如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F，求证：∠1＝∠2；
（2）在图②中作⊙M，使它满足以下条件：①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切；（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
（3）在（2）问条件下，若∠A＝30°，⊙M的半径为2，求线段BC的长．
【点拨】（1）连接OF，可证得OF∥BC，结合平行线的性质和圆的特性可求得∠1＝∠OFB＝∠2，可得出结论；
（2）由（1）可知切点是∠ABC的角平分线和AC的交点，圆心在BF的垂直平分线上，由此即可作出⊙M．
（3）先求出AB长，利用直角三角形30°所对直角边＝斜边的一半，即可得答案．
【解析】（1）证明：如图①，连接OF，
∵AC是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴OF∥BC，
∴∠1＝∠OFB，
∵OF＝OB，
∴∠OFB＝∠2，
∴∠1＝∠2．
（2）解：如图②所示⊙M为所求．
①作∠ABC平分线交AC于F点，
②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆，
即⊙M为所求．
证明：∵M在BF的垂直平分线上，
∴MF＝MB，
∴∠MBF＝∠MFB，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠MBF＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠MFB，
∴MF∥BC，
∵∠C＝90°，
∴FM⊥AC，
∴⊙M与边AC相切．
（3）∵⊙M与AC相切，
∴∠AFM＝90°，
∴AM＝2FM＝4，
∴AB＝AM+BM＝4+2＝6，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝＝3．
【点睛】本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用．掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键．
22．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图2，连接CB，DB，若抛物线上存在点E，满足∠CBD＝∠BDE，求点E的坐标；
（3）如图3，点F为x轴上一动点，连接CF，DF，当∠CFD最大时，请直接写出点F的坐标．
【点拨】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，再将抛物线一般式化成顶点式即可得出点D的坐标．
（2）分两种情况，当点E在x轴上方的抛物线上，和点E在x轴下方的抛物线上，画出图形，根据∠CBD＝∠BDE分解求解即可．
（3）延长CD到点M，利用待定系数法求出CD的解析式，进而可得出点M的坐标，根据题意可知，当点C，D，F所在的圆与x轴相切时，∠CFD取得最大值，再证明△MCF∽△MFD，由相似三角形的性质即可求解．
【解析】解：（1）由条件可得，
解得，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4）；
（2）如图，
由条件可知CB∥DE，
设直线DE的解析式为y＝﹣x+m，将点D的坐标代入得：m＝5，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x+5，
联立，
解得：（舍）或，
∴E1（2，3）；
②∵y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3），
∵B（3，0），
∴直线CB：y＝﹣x+3，
如图，设DE交CB于点G，
由条件可知GD＝GB，
设G（n，﹣n+3），
，
解得，
解得，
设直线DG的解析式为y＝ax+b，
则，
解得：，
∴直线DG的解析式为y＝﹣7x+11，
联立，
解得：（舍）或，
∴E2（8，﹣45）；
（3）延长DC交x轴于点M，则 D（1，4），C（0，3），
∴设CD的解析式为：y＝mx+3，
由条件可得出m＝1，
∴CD的解析式为：y＝x+3，
∴M（﹣3，0），
∴，
根据题意可知，当点C，D，F所在的圆与x轴相切时，∠CFD取得最大值，
∵∠M＝∠M，∠MFC＝∠MDF，
∴△MCF∽△MFD，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数角度综合题，相似三角形的判定和性质等知识，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
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