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2025年高一年级分班考试数学模拟试卷（2）
一．选择题
1．a，b是两个连续整数，若a＜b，则a+b的值为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．13
2．已知实数a满足，那么a﹣20062的值是（　　）
A．2005 B．2006 C．2007 D．2008
3．已知二次函数y＝a（x+k）2+h（a，k，h均为常数）的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣2和5，则关于x的一元二次方程a（x+k+2）2+h＝0的两个实数根分别是（　　）
A．x1＝﹣4，x2＝3 B．x1＝3，x2＝7
C．x1＝0，x2＝7 D．x1＝0，x2＝3
4．不等式组的解集是关于x的一元一次不等式ax＞﹣1解集的一部分，则a的取值范围是（　　）
A．0＜a≤1 B．
C． D．且a≠0．
5．对于实数c、d，我们可用min{c，d}表示c、d两数中较小的数，如min{3，﹣1}＝﹣1．若关于x的函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝3对称，则a、t的值可能是（　　）
A．3，6 B．2，﹣6 C．2，6 D．﹣2，6
6．已知抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝1，若关于x的方程x2+bx﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则+3x1x2+的值为（　　）
A．﹣2 B．1 C．4 D．7
7．反比例函数y＝（k≠0）的图象上有一点A（﹣4，2），点O为坐标原点，将直线OA绕点A逆时针旋转90°，交双曲线于点B，则点B的坐标为（　　）
A．（﹣，4） B．（，6） C．（﹣2，4） D．（﹣1，8）
8．如图，标有数字①～⑨的正方形与标有字母A，B，C，D的正方形大小均相同．现从标有数字的9个正方形中等可能的任选一个，则所选正方形与标有字母的正方形所组成的图形恰可以是一个无盖的正方体的表面展开图，且没有盖的一面恰好与标有字母“A”的一面相对的概率为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
9．二元一次方程2x+3y＝11的正整数解有 　 　 组．
10．在一次引体向上测试中，某小组8名男生的成绩分别为：13，9，a，11，7，11，8，9，若这组数据的唯一众数为11，则这组数据的中位数为 　 　 ．
11．如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC＝1：2，则四边形DFEG的面积为 　 　 ．
12．如图，点P为函数y＝（x＞0）的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，⊙P半径为2，A（3，0），B（6，0），点Q是⊙P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最大值是　 　 ．
13．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点O，F为BC的中点，连接EF，DF，DE，则下列结论：①EF＝DF；②AD AC＝AE AB；③△DOE∽△COB；④若∠ABC＝45°时，BE＝FC．
其中正确的是　 　 （把所有正确结论的序号都选上）
14．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，），点E在边AB上，且AE＝1．已知点P是边CO上的一个动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从点C运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为　 　 ．
三．解答题
15．若关于xy的方程组的解满足x＞1，y≤1，求满足条件的整数a．
16．中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，恳水盆于其下，则见四邻矣”，如图1所示，其工作方法主要利用了光的反射原理．在图2中，AB呈水平状态，AE，CD为法线，∠BCD＝∠ACD＝41°，∠CAE＝37°，AE⊥AB，已知米，求镜面上点C到水盆A的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：sin82°≈0.99，cos82°≈0.14，tan82°≈7.12）
17．在 ABCD中，∠ABC＝45°，过A作AE⊥CD于E，连接BE，延长EA至F，使CE＝AF，连接DF．
（1）求证：DF＝BE；
（2）若DF＝，AD＝3，求四边形ADEB的周长．
18．已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以边AB为直径作⊙O，与AC边交于点D，点E为边BC的中点，连接DB，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝AC CD；
（3）点P为直线BC上任意一动点，连接AP．当AB＝6，BC＝8，tan∠CAP＝时，求CP的长．
19．一超市对经营的A和B两种商品信息如下：
商品 A B
规格 12kg/箱 15kg/箱
进价（元/箱） 60 150
解答下列问题：
（1）已知今年2～5月这四个月．销售A和B共3300kg，A比B多销售了300kg，获得利润10800元，B的销售单价比A的销售单价多10元/kg：求这四个月销售A、B各多少千克，销售单价各是每千克多少元；（利润＝售价﹣进价）
（2）根据之前的销售情况，A新品六月上市，5月底要进六月要卖的货时，发现A商品成本下降到54元/箱，商店为了保持与之前相同的盈利．所以将A的售价也下调了；B的新品11月才能上市，进价设有改变，商店保持售价也不变，估计今年6月到10月这后五个月，还能至少销售A和B共3600kg：其中，A的销售量不低于2100g．假设这五个月，A销售了x（kg），销售A和B获得的总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求这五个月，最多可获得总利润多少元．
20．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C．
（1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点且在直线BC下方，连接PC，若∠BCP＝2∠ABC时，求点P的横坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK＝KF，∠KAH＝∠FKH，PF＝﹣4a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长．
答案与解析
一．选择题
1．a，b是两个连续整数，若a＜b，则a+b的值为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．13
【点拨】估算出的值的范围，即可解答．
【解析】解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∵a，b是两个连续整数，若a＜b，
∴a＝2，b＝3，
∴a+b＝2+3＝5，
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
2．已知实数a满足，那么a﹣20062的值是（　　）
A．2005 B．2006 C．2007 D．2008
【点拨】根据负数没有平方根，得到a﹣2007大于等于0，然后根据a的范围化简绝对值，移项后两边平方即可求出所求式子的值．
【解析】解：由题意可知：a﹣2007≥0，
解得：a≥2007，
则|2006﹣a|+＝a，
化为：a﹣2006+＝a，
即＝2006，
两边平方得：a﹣2007＝20062，
解得：a﹣20062＝2007．
故选：C．
【点睛】本题考查平方根的定义，化简绝对值的方法，是一道基础题．学生做题时注意负数没有平方根．
3．已知二次函数y＝a（x+k）2+h（a，k，h均为常数）的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣2和5，则关于x的一元二次方程a（x+k+2）2+h＝0的两个实数根分别是（　　）
A．x1＝﹣4，x2＝3 B．x1＝3，x2＝7
C．x1＝0，x2＝7 D．x1＝0，x2＝3
【点拨】设二次函数，根据二次函数的平移规律可得y向左平移2个单位长度得到y1，即可得出y1与x轴的交点横坐标，即可进行解答．
【解析】解：设二次函数，
∵y＝a（x+k）2+h，
∴y向左平移2个单位长度得到y1，
∵二次函数y的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣2和5，
∴二次函数y1的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣4和3，
∴一元二次方程a（x+k+2）2+h＝0的两个实数根分别是x1＝﹣4，x2＝3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，以及二次函数与x轴交点的横坐标的值等于所对应一元二次方程的根．
4．不等式组的解集是关于x的一元一次不等式ax＞﹣1解集的一部分，则a的取值范围是（　　）
A．0＜a≤1 B． C． D．且a≠0．
【点拨】先求出不等式组的解集，分为三种情况：a＞0、a＜0，a＝0，求出不等式ax＞﹣1的解集，再求出答案即可．
【解析】解：，
解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式组②，得﹣2≤x≤3，
所以不等式组的解集是﹣1＜x≤3，
分为三种情况：①当a＜0时，不等式ax＞﹣1的解集是x＜﹣，
∵不等式组是关于x的一元一次不等式ax＞﹣1解集的一部分，
∴﹣＞3，
∴a＞﹣，
②当a＞0时，不等式ax＞﹣1的解集是x＞﹣，
∵不等式组的解集是关于x的一元一次不等式ax＞﹣1解集的一部分，
∴﹣≤﹣1，
∴a≤1，
③当a＝0时，ax＞﹣1变成0＞﹣1，此时不是一元一次不等式，舍去，
即a的取值范围是﹣a≤1且a≠0，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能求出符合的所以情况是解此题的关键．
5．对于实数c、d，我们可用min{c，d}表示c、d两数中较小的数，如min{3，﹣1}＝﹣1．若关于x的函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝3对称，则a、t的值可能是（　　）
A．3，6 B．2，﹣6 C．2，6 D．﹣2，6
【点拨】根据x的函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝3对称，对于四个选项一一判断即可解决问题．
【解析】解：A、当a＝3，t＝6时，函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象不关于直线x＝3对称，故本选项不符合题意．
B、当a＝2，t＝﹣6时，函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝﹣3对称，故本选项不符合题意．
C、当a＝2，t＝6时，函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝3对称，故本选项符合题意．
D、当a＝﹣2，t＝6时，函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝6对称，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，先根据题意分别代入验证a和t的值，是解答此题的关键．
6．已知抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝1，若关于x的方程x2+bx﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则+3x1x2+的值为（　　）
A．﹣2 B．1 C．4 D．7
【点拨】先根据二次函数的对称轴公式求出b，则得到一元二次方程为x2﹣2x﹣3＝0，两根即可求解，再代入求值即可，亦可根据根与系数的关系求解．
【解析】解：由题意得，，
∴b＝﹣2，
则方程为：x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，解一元二次方程，以及代数式求值，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
7．反比例函数y＝（k≠0）的图象上有一点A（﹣4，2），点O为坐标原点，将直线OA绕点A逆时针旋转90°，交双曲线于点B，则点B的坐标为（　　）
A．（﹣，4） B．（，6） C．（﹣2，4） D．（﹣1，8）
【点拨】先求出两个函数的解析式，再求交点．
【解析】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象上有一点A（﹣4，2），
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数为：y＝﹣．
设直线OA的表达式为：y＝mx，代入点A（﹣4，2）得：2＝﹣4m．
∴m＝﹣．
∴y＝﹣x．
∵直线OA⊥直线AB．
∴设直线AB的解析式为：y＝2x+b，
代入点A（﹣4，2）得：2＝﹣8+b，
∴b＝10．
∴直线AB：y＝2x+10．
由解得：或．
∴B（﹣1，8）．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，分别求出一次函数和反比例函数的解析式是求解本题的关键．
8．如图，标有数字①～⑨的正方形与标有字母A，B，C，D的正方形大小均相同．现从标有数字的9个正方形中等可能的任选一个，则所选正方形与标有字母的正方形所组成的图形恰可以是一个无盖的正方体的表面展开图，且没有盖的一面恰好与标有字母“A”的一面相对的概率为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】共有9个数字，其中所选正方形与标有字母的正方形所组成的图形恰可以是一个无盖的正方体的表面展开图，且没有盖的一面恰好与标有字母“A”的一面相对的⑦⑧⑨三种情况，又只能选①②⑥能拼成正方体，根据概率公式即可求解．
【解析】解：标有数字①～⑨的正方形共有9个，
∵所选正方形与标有字母的正方形所组成的图形恰可以是一个无盖的正方体的表面展开图，且没有盖的一面恰好与标有字母“A”的一面相对的⑦⑧⑨三种情况，又只能选①②⑥能拼成正方体，
∴没有盖的一面恰好与标有字母“A”的一面相对的概率为3÷9＝．
故选：B．
【点睛】本题考查专题：正方体相对两个面上的文字，灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．
二．填空题
9．二元一次方程2x+3y＝11的正整数解有 　2　 组．
【点拨】找出符合条件的正整数解即可．
【解析】解：二元一次方程2x+3y＝11的正整数解有，，共2组，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，根据方程的正整数解确定组数是解题的关键．
10．在一次引体向上测试中，某小组8名男生的成绩分别为：13，9，a，11，7，11，8，9，若这组数据的唯一众数为11，则这组数据的中位数为 　10　 ．
【点拨】先根据众数的定义得出a＝11，再根据中位数的定义求解即可．
【解析】解：∵数据13，9，a，11，7，11，8，9的唯一众数为11，
∴a＝11，
则这组数据为：7，8，9，9，11，11，11，13，
所以这组数据的中位数为＝10，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
11．如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC＝1：2，则四边形DFEG的面积为 　4cm2　 ．
【点拨】，BE＝CE＝4cm，即得△DEF∽△BAF，所以，即可求出，再由DG：GC＝1：2可求得，由此即得答案．
【解析】解：如图所示，连接DE，
∵D、E分别为AC、BC中点，
∴DE∥AB，，，
∴△DEF∽△BAF，
∴，
∴，
∵∠ABC＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴，
∴，
∵DG：GC＝1：2，
∴，
∴，
∴四边形DFEG的面积＝．
故答案为：4cm2．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线的性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．连结DE，利用三角形中位线定理可得DE∥AB，
12．如图，点P为函数y＝（x＞0）的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，⊙P半径为2，A（3，0），B（6，0），点Q是⊙P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最大值是　2+1　 ．
【点拨】易求点P（4，4），连接OP交⊙P于点Q′，连接BQ′．因为OA＝AB，CB＝CQ，所以AC＝OQ，所以当OQ最大时，AC最大，Q运动到Q′时，OQ最大，由此即可解决问题．
【解析】解：∵点P为函数y＝（x＞0）的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，
∴可设P（x，x）（x＞0），则x＝，解得x＝±4（负值舍去），
∴点P（4，4）．
∴OP＝4，
如图，连接OP交⊙P于点Q′，连接BQ′，取BQ′的中点C′，连接AC′，此时AC′最小．
∵A（3，0），B（6，0），点C是QB的中点，
∴OA＝AB，CB＝CQ，
∴AC＝OQ．
当Q运动到Q′时，OQ最大，
此时AC的最大值AC′＝OQ′＝（OP+PQ′）＝2+1．
故答案为2+1．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最大值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
13．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点O，F为BC的中点，连接EF，DF，DE，则下列结论：①EF＝DF；②AD AC＝AE AB；③△DOE∽△COB；④若∠ABC＝45°时，BE＝FC．
其中正确的是　①②③④　 （把所有正确结论的序号都选上）
【点拨】①由EF和DF均是斜边BC边上的中线可迅速作出判断；
②由B、C、D、E四点共圆及割线定理迅速作出判断；
③由B、C、D、E四点共圆可得出对应圆周角相等，从而得出结论；
④若∠ABC＝45°，则△BEC是等腰直角三角形，而F是BC中点，从而结论显然．
【解析】解：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F为BC的中点，
∴EF＝BC，DF＝BC，
∴EF＝DF，故①正确；
∵∠BEC＝∠BDC＝90°，
∴B、C、D、E四点共圆，
由割线定理可知AD AC＝AE AB，故②正确；
∵B、C、D、E四点共圆，
∴∠OED＝∠OBC，∠ODE＝∠OCB，
∴△DOE∽△COB，故③正确；
若∠ABC＝45°，则△BEC为等腰直角三角形，
∴BC＝BE，
∵F为BC中点，
∴FC＝BC＝BE，
∴BE＝FC，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理、四点共圆的判定与性质、割线定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，难度不大，属于常规题型．解答的关键是明确题目所给条件（比如中点，垂直）与所学几何定理的联系．
14．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，），点E在边AB上，且AE＝1．已知点P是边CO上的一个动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从点C运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为　　 ．
【点拨】H经过的路径是以OE为直径的弧，当点P与点C重合时，连接CE，首先求得△OPE的面积，然后利用三角形面积公式求得OH的长，然后在直角△OEH中，利用三角函数求得∠OEH的度数，然后利用弧长公式即可求解．
【解析】解：∵矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，），
∴OA＝BC＝3，OC＝AB＝，
当点P与点C重合时，
S△OPE＝OC×OA＝×3＝，
在Rt△OAE中，AE＝1，OA＝3，
∴OE＝＝，
在Rt△PBE中，BE＝，BC＝3，
∴PE＝＝，
∴S△OPE＝PE×OH，
即×OH＝
∴OH＝，
∴在Rt△OEH中，sin∠OEH＝＝＝，
∴∠OEH＝45°，
∴点H的运动路径为以OE为直径，从点H到点O的四分之一的圆弧，
所以点H的运动路径长是：＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轨迹、坐标与图形性质、矩形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
三．解答题
15．若关于xy的方程组的解满足x＞1，y≤1，求满足条件的整数a．
【点拨】把a当作已知数，解方程组求出方程组的解（x y的值）根据已知得出不等式组，求出a的取值范围即可．
【解析】解：整理得：，
①﹣②得：3y＝a﹣5，
∴y＝，
①×2+②得：3x＝2a+5，
∴x＝，
∵x＞1，y≤1，
∴＞1，≤1，
解得：﹣1＜a≤8，
∴满足条件的整数a有0，1，2，3，4，5，6，7，8．
【点睛】本题综合考查了解方程组和解不等式组的应用，关键是根据题意求出关于a的不等式组．
16．中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，恳水盆于其下，则见四邻矣”，如图1所示，其工作方法主要利用了光的反射原理．在图2中，AB呈水平状态，AE，CD为法线，∠BCD＝∠ACD＝41°，∠CAE＝37°，AE⊥AB，已知米，求镜面上点C到水盆A的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：sin82°≈0.99，cos82°≈0.14，tan82°≈7.12）
【点拨】过点A作AF⊥BC，由∠BCD＝∠ACD＝41°可得∠ACB＝82°，由EA⊥AB，∠CAE＝37°可得∠CAB＝53°，进而得到∠ABC＝45°，分别解Rt△ABF和Rt△ACF即可求解．
【解析】解：过点A作AF⊥BC，垂足为F，则∠AFB＝∠AFC＝90°，
∵EA⊥AB，
∴∠EAB＝90°，
∵∠BCD＝∠ACD＝41°，
∴∠ACB＝82°，
∵∠CAE＝37°，
∴∠CAB＝∠EAB﹣∠EAC＝53°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CAB﹣∠ACB＝45°，
在Rt△ABF中，∠ABC＝45°，
∴（米），
在Rt△ACF中，∠ACB＝82°，
∴AC＝AF÷sin82°≈11÷0.99≈11.1（米），
∴镜面上点C到水盆A的距离约为11.1米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键．
17．在 ABCD中，∠ABC＝45°，过A作AE⊥CD于E，连接BE，延长EA至F，使CE＝AF，连接DF．
（1）求证：DF＝BE；
（2）若DF＝，AD＝3，求四边形ADEB的周长．
【点拨】（1）由已知证得AB＝EF，DE＝AE，根据全等三角形的判定证得△FDE≌△BEA，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）由勾股定理得求得DE＝3，EF＝5，由（1）知，AB＝EF，BE＝DF，即可求得结论．
【解析】（1）证明：∵AE⊥CD，
∴∠FED＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AB＝DC，
∴∠BAE＝∠FED＝90°，∠ADE＝∠ABC＝45°，
∴AE＝DE，
∵CE＝AF，
∴AB＝EF，
△FDE和△BEA中，，
∴△FDE≌△BEA（SAS），
∴DF＝BE；
（2）在Rt△ADE中，AE＝DE，AD＝3，
由勾股定理得：DE＝3，
在Rt△FDE中，DE＝3，DF＝，
∴EF＝＝＝5，
由（1）知，AB＝EF＝5，BE＝DF＝，
∴四边形ADEB的周长为：AD+DE+BE+AB＝3+3++5＝8+3+．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得AB＝EF，DE＝AE，是解决问题的关键．
18．已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以边AB为直径作⊙O，与AC边交于点D，点E为边BC的中点，连接DB，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝AC CD；
（3）点P为直线BC上任意一动点，连接AP．当AB＝6，BC＝8，tan∠CAP＝时，求CP的长．
【点拨】（1）连接OD，利用圆周角定理，直角三角形的斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①当点P在线段BC上时，过点P作 PT⊥AC于点T，利用勾股定理求得AC，设PT＝x，利用直角三角形的边角关系定理得到，则AT＝4PT＝4x，在Rt△PCT和Rt△ABC中利用直角三角形的边角关系定理列出x的方程，解方程求得x值，进而求得CP；②当点P在BC的延长线上时，过点C作CG⊥AP于点G，设CG＝a，则AG＝4a，利用勾股定理求得a值，设CP＝m，则，再利用勾股定理解答即可得出结论．
【解析】（1）证明：连接OD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝180°﹣∠ADB＝90°，
∵点E为边BC的中点，
∴EB＝ED，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠ABC＝90°，
即∠EBD+∠OBD＝90°，
∴∠EDB+∠ODB＝∠EBD+∠OBD＝90°．
即∠ODE＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）证明：∠ABC＝∠BDC＝90°，∠BCD＝∠BCA，
∴△BCA∽△DCB，
∴，
∴BC2＝AC CD；
（3）解：①当点P在线段BC上时，过点P作 PT⊥AC于点T，如图，
在Rt△ABC中，
∵AB＝6，BC＝8，
∴，
设PT＝x，
∵tan∠CAP＝，tan∠CAP＝，
∴，
∴AT＝4PT＝4x，
∴CT＝AC﹣AT＝10﹣4x，
∵，
∴，
解得：．
∴，
∵，
∴，
∴；
②当点P在BC的延长线上时，过点C作CG⊥AP于点G，如图，
∵，tan∠CAP＝，
∴，
设CG＝a，则AG＝4a，
在Rt△ACG中，
∵AG2+CG2＝AC2，
∴（4a）2+a2＝102，
解得 ，（负数不合题意，舍去）．
∴，．
∵，
∴，
设CP＝m，则，
在Rt△ABP中，
∵AB2+BP2＝AP2，
∴
解得： （负数不合题意，舍去），，
∴．
综上所述，CP的长为或．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，直角三角形的斜边上的中线的性质，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径，作出垂线段构造直角三角形是解题的关键．
19．一超市对经营的A和B两种商品信息如下：
商品 A B
规格 12kg/箱 15kg/箱
进价（元/箱） 60 150
解答下列问题：
（1）已知今年2～5月这四个月．销售A和B共3300kg，A比B多销售了300kg，获得利润10800元，B的销售单价比A的销售单价多10元/kg：求这四个月销售A、B各多少千克，销售单价各是每千克多少元；（利润＝售价﹣进价）
（2）根据之前的销售情况，A新品六月上市，5月底要进六月要卖的货时，发现A商品成本下降到54元/箱，商店为了保持与之前相同的盈利．所以将A的售价也下调了；B的新品11月才能上市，进价设有改变，商店保持售价也不变，估计今年6月到10月这后五个月，还能至少销售A和B共3600kg：其中，A的销售量不低于2100g．假设这五个月，A销售了x（kg），销售A和B获得的总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求这五个月，最多可获得总利润多少元．
【点拨】（1）先设销售A为akg，根据题意列出方程，解出a的值即可，然后算出A、B每千克的成本，设A的销售单价为m元/kg，根据题中获得利润10800元列出方程，解出m的值即可；
（2）根据题意可知A与B商品每千克的利润都不发生变化，则可列出：y＝（6﹣5）x+（3600﹣x）（16﹣10），整理即可得函数关系式，注意自变量的取值范围，再根据一次函数的性质即可的获利最大值．
【解析】解：（1）设销售A为akg，则销售B为（a﹣300）kg，
根据题意列方程得：a+a﹣300＝3300，
解得：a＝1800，则1800﹣300＝1500（kg），
A商品的成本：60÷12＝5（元/kg），B商品的成本：150÷15＝10（元/kg），
设A的销售单价为m元/kg，则B的销售单价为（m+10）元/kg，
根据题意可列方程得：1800（m﹣5）+1500（m+10﹣10）＝10800，
解得：m＝6，则6+10＝16（元/kg），
答：销售A为1800kg，销售B为1500kg，A的销售单价为6元/kg，B的销售单价为16元/kg；
（2）根据题意可知，A商品和之前的利润相同，B商品也保持不变，
则y＝（6﹣5）x+（3600﹣x）（16﹣10），
整理得：y＝﹣5x+21600（2100≤x＜3600），
∵﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝2100时，y有最大值，最大值为11100，
综上所述：y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+21600（2100≤x＜3600），这五个月最多可获得总利润为11100元．
【点睛】本题考查主要是一元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题关键：一是找出题中的等量关系列方程，二是利用函数的增减性求最值．
20．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C．
（1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点且在直线BC下方，连接PC，若∠BCP＝2∠ABC时，求点P的横坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK＝KF，∠KAH＝∠FKH，PF＝﹣4a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长．
【点拨】（1）通过解方程ax2﹣5ax+4a＝0可得到A（1，0），B（4，0），然后利用三角形面积公式求出OC得到C点坐标，再把C点坐标代入y＝ax2﹣5ax+4a中求出a即可得到抛物线的解析式；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，如图2，设P（x，ax2﹣5ax+4a），则PD＝﹣ax2+5ax，通过证明Rt△PCD∽Rt△CBO，利用相似比可得到（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）＝x：4，然后解方程求出x即可得到点P的横坐标；
（3）过点F作FG⊥PK于点G，如图3，先证明∠HAP＝∠KPA得到HA＝HP，由于P（6，10a），则可得到﹣10a＝6﹣1，解得a＝﹣，再判断Rt△PFG单位等腰直角三角形得到FG＝PG＝PF＝2，接着证明△AKH≌△KFG，得到KH＝FG＝2，则K（6，2），然后利用待定系数法求出直线KB的解析式为y＝x﹣4，再通过解方程组得到Q（﹣1，﹣5），利用P、Q点的坐标可判断PQ∥x 轴，于是可得到QP＝7．
【解析】解：（1）当y＝0时，ax2﹣5ax+4a＝0，解得x1＝1，x2＝4，则A（1，0），B（4，0），
∴AB＝3，
∵△ABC的面积为3，
∴ 3 OC＝3，解得OC＝2，则C（0，﹣2），
把C（0，﹣2）代入y＝ax2﹣5ax+4a得4a＝﹣2，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣2；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，如图2，设P（x，ax2﹣5ax+4a），则PD＝4a﹣（ax2﹣5ax+4a）＝﹣ax2+5ax，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠BCP＝2∠ABC，
∴∠PCD＝∠ABC，
∴Rt△PCD∽Rt△CBO，
∴PD：OC＝CD：OB，
即（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）＝x：4，解得x1＝0，x2＝6，
∴点P的横坐标为6；
（3）过点F作FG⊥PK于点G，如图3，
∵AK＝FK，
∴∠KAF＝∠KFA，
而∠KAF＝∠KAH+∠PAH，∠KFA＝∠PKF+∠KPF，
∵∠KAH＝∠FKP，
∴∠HAP＝∠KPA，
∴HA＝HP，
∴△AHP为等腰直角三角形，
∵P（6，10a），
∴﹣10a＝6﹣1，解得a＝﹣，
在Rt△PFG中，∵PF＝﹣4a＝2，∠FPG＝45°，
∴FG＝PG＝PF＝2，
在△AKH和△KFG中
，
∴△AKH≌△KFG，
∴KH＝FG＝2，
∴K（6，2），
设直线KB的解析式为y＝mx+n，
把K（6，2），B（4，0）代入得，
解得，
∴直线KB的解析式为y＝x﹣4，
当a＝﹣时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣2，
解方程组，
解得或，
∴Q（﹣1，﹣5），
而P（6，﹣5），
∴PQ∥x 轴，
∴QP＝7．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用全等三角形的知识证明线段相等和相似比计算线段的长．
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