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湖南省娄底市2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
3．在中，为线段的靠近点的一个三分点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．若，则（ ）
A． B．2 C．2023 D．2025
5．在中，角的对边分别为，则的外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则三角形为锐角三角形
8．已知单位向量、、满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递增
D．将函数的图象向右平移个单位长度后所得的图象与函数的图象重合
11．已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（ ）
A． B． C．是奇函数 D．若，则
三、填空题
12．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是 .
13．已知向量，则在上的投影向量为 .
14．已知，且，则的最小值是 .
四、解答题
15．娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转的时间（单位：年）的函数关系为.
(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？
(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
16．已知.
(1)若，求的坐标；
(2)若，求与的夹角的余弦值.
17．在中，角的对边分别为.
(1)求.
(2)若，求的面积的最大值.
18．在中，已知分别为上的点，且.
(1)求；
(2)求证：；
(3)若是线段上的动点，满足均为正常数，求的最大值.
19．已知函数.
(1)解方程；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)若函数在上只有一个零点，求的取值范围.
湖南省娄底市2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A D B B D CD ABD
题号 11
答案 ACD
1．C
【详解】由题意知.
故选：C.
2．A
【详解】，则的虚部为.
故选：A.
3．B
【详解】因为为线段的靠近点的一个三分点，所以，
所以.
故选：B
4．A
【详解】.
故选：A.
5．D
【详解】由题设，则，
所以外接圆半径，故圆的面积为.
故选：D
6．B
【详解】因为，
由于，则，令，则，于是有，
整理可得，因为，解得，即，解得.
故选：B.
7．B
【详解】A：由，错；
B：由，则，又，则，对；
C：对于钝角三角形，若，此时，错；
D：由，则，故，
所以为锐角，但不能说明三角形为锐角三角形，错.
故选：B
8．D
【详解】因为单位向量、、满足，
则，所以，
所以，，解得，同理可得，
因为
.
故选：D.
9．CD
【详解】对于A，令，则，显然无解，则向量不共线，故A不合题意；
对于B，令，则，显然无解，则向量不共线，故B不合题意；
对于C，令，则，解得，则向量共线，故C符合题意；
对于D，令，则，解得，则向量共线，故D符合题意.
故选：CD.
10．ABD
【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对；
对于B选项，因为，故函数的图象关于直线对称，B对；
对于C选项，当时，，
所以，函数在区间上不单调，C错；
对于D选项，将函数的图象向右平移个单位长度后，
得到函数的图象，D对.
故选：ABD.
11．ACD
【详解】令，则，故A正确；
令，则，则，故B错误；
令，则，所以，
又令，则，
所以是奇函数，故C正确；
令，则，
所以，故D正确；
故选：ACD
12．①
【详解】由斜二测画法规则知，斜二测画法保持平行性不变，因此原相交直线，利用斜二测画法得到的仍是相交直线，
三角形的直观图一定是三角形，①正确；
斜二测画法中只有平行于轴或在轴上的线段，长度保持不变，
因此正方形、菱形的相邻两边，利用斜二测画法得到的线段不等，②③错误.
故答案为：①
13．
【详解】在上的投影向量为.
故答案为：.
14．
【详解】因为，且，
所以
，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：
15．(1)第7年时，可获得最大利润45万元
(2)
【详解】（1）故当时，取得最大值，最大值为45，所以这批机器运转第7年时，可获得最大利润45万元；
（2）记年平均利润为，则14
当且仅当，即时，等号成立.
16．(1)的坐标为或
(2)
【详解】（1）设，由题意有，解得或.
故的坐标为或；
（2）由化简整理得，
则，解得，
=.
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，因为0，
所以，，又，所以.
（2）因为，
由余弦定理可得，所以4，
，
当且仅当时，取的面积的最大值.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1），-，，
所以，；
（2），所以，所以；
（3）因为，由三点共线可得，，
所以，所以，当且仅当时取最大值.
19．(1)
(2)偶函数，理由见解析
(3)2或
【详解】（1）由得，
所以，所以，
令，解得，所以；
（2）定义域为，关于原点对称，
，
所以函数为偶函数；
（3）函数有唯一零点等价于方程有唯一解，
即方程有唯一解，
整理得，
令，即方程有唯一正数根，
①若，此时符合题意；
②若，则
当时，符合题意，
当时，不合题意，舍去，
当时，，方程有两相异实根，符合题意，
当且时，则，
只需，
所以(舍去)，
综上，实数的取值范围是2或.

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