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2025年高一年级分班考试数学模拟试卷（3）
一．选择题
1．设a，b，c为不为零的实数，那么的不同的取值共有（　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
2．若u，ν满足v＝++，那么u2﹣uv+v2＝（　　）
A． B． C． D．
3．在解决代数问题时我们常会通过构建几何图形来分析．比如在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝．类比这种方法，可得tan22.5°的值为（　　）
A． B．﹣1 C． D．
4．甲、乙两人同时同地出发相背而行，1小时后分别到达各自的目的地A、B，若仍以原来的速度出发并互换彼此到达的目的地，则甲在乙到达A地35分钟后到达B地，则甲乙两人的速度之比是（　　）
A． B． C． D．
5．关于x的函数，当m＜x＜1时，y2＜y1．若y3＜y1，则（　　）
A．﹣m+2＜x＜1 B．m+2＜x＜1 C．1＜x＜﹣m+2 D．1＜x＜m+2
6．已知a＝m+2024，b＝m+2025，c＝m+2026，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　）
A．5 B．6 C．3 D．8
7．若关于x的方程||x﹣2|﹣1|＝a有三个整数解，则a的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（　　）
A．c＜﹣3 B．﹣3＜c＜﹣2 C．﹣2＜c＜ D．c＞
10．如图，已知矩形ABCD，点E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC＝2∠BCE，若CE＝4，CF＝5，有如下结论：①CF＝BC+AF，②DF＝，③BC＝，④∠BCE＝∠BCF，其中正确的是（　　）
A．②④ B．①②④ C．①③ D．①③④
二．填空题
11．计算：＝　 　
12．8位裁判给一位运动员打分，每个人给的分数都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余得分的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位，该运动员得8.3分，如果精确到百分位，该运动员得分应当是 　 　 ．
13．有一列数，记第n个数为an，已知a1＝2，当n＞1时，，则a2024的值为 　 　 ．
14．已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：　 　 ．
15．设max{x，y}表示x，y两个数中的最大值．例如“max{1，3}＝3，max{﹣2，0，}＝”．则关于x的函数y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}的最小值为 　 　 ．
16．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE＝9，则△ABC的面积为　 　 ．
三．解答题
17．计算：．
18．已知正数a、b满足a+b＝4．
（1）求的最小值；
（2）若xy＝6，bx+ay＝9，x+y＝11﹣2ab，求a，b，x，y的值．
19．如图，正方形BCEF的中心为O，△CBO的外接圆上有一点A（A、O在BC同侧，A、C在BO异侧），且AB＝2，AO＝4．
（1）求∠CAO的值；
（2）求tan∠ACB的值；
（3）求正方形BCEF的面积．
20．已知函数f（x）＝﹣2x2+bx+c在x＝1时有最大值1．
（1）求实数b，c的值；
（2）设0＜m＜n，若当m≤x≤n时，f（x）的最小值为，最大值为，求m，n的值．
21．已知，等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，且BP＝4，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EPF＝60°，设BE＝x，CF＝y．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）①若四边形AEPF的面积为4时，求x的值．②四边形AEPF的面积是否存在最大值？若存在，请直接写出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
22．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．
（1）已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝1，MN＝2，求BN的长；
（2）如图2，点P（a，b）是反比例函数y＝（x＞0）上的动点，直线y＝﹣x+2与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F．证明：E、F是线段AB的勾股点；
（3）如图3，已知一次函数y＝﹣x+3与坐标轴交于A、B两点，与二次函数y＝x2﹣4x+m交于C、D两点，若C、D是线段AB的勾股点，求m的值．
答案与解析
一．选择题
1．设a，b，c为不为零的实数，那么的不同的取值共有（　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
【点拨】根据绝对值的定义，分情况讨论，从而得出不同的取值的种数．
【解析】解：①当a＞0，b＞0，c＞0时，原式＝1+1+1＝3；
②当a＞0，b＞0，c＜0时，原式＝1+1﹣1＝1；
③当a＞0，b＜0，c＞0时，原式＝1﹣1+1＝1；
④当a＞0，b＜0，c＜0时，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1；
⑤当a＜0，b＞0，c＞0时，原式＝﹣1+1+1＝1；
⑥当a＜0，b＞0，c＜0时，原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1；
⑦当a＜0，b＜0，c＞0时，原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1；
⑧当a＜0，b＜0，c＜0时，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．
∴的不同的取值共有4种．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的定义，分类讨论的思想，注意不要遗漏，不要重复．
2．若u，ν满足v＝++，那么u2﹣uv+v2＝（　　）
A． B． C． D．
【点拨】依据与互为相反数，它们都是非负数，即可得到2u＝v，代入等式即可得到u和v的值，进而得出结论．
【解析】解：由题可得，与互为相反数，
又∵它们都是非负数，
∴＝＝0，
∴2u＝v，
∴v＝0+0+＝，
∴u＝，
∴u2﹣uv+v2＝﹣+＝，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
3．在解决代数问题时我们常会通过构建几何图形来分析．比如在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝．类比这种方法，可得tan22.5°的值为（　　）
A． B．﹣1 C． D．
【点拨】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，根据tan22.5°＝计算即可．
【解析】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型．
4．甲、乙两人同时同地出发相背而行，1小时后分别到达各自的目的地A、B，若仍以原来的速度出发并互换彼此到达的目的地，则甲在乙到达A地35分钟后到达B地，则甲乙两人的速度之比是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】设甲，乙的速度为未知数，那么可得到达目的地的路程．根据甲用的时间﹣乙用的时间＝，得到相应方程，整理即可．
【解析】解：设甲，乙的速度为x千米/时，y千米/时，则甲的行程为x千米，乙的行程为y千米．
﹣＝，
设＝a，则原方程变为﹣a＝，
a2+a﹣1＝0，
（a+）（a﹣）＝0，
解得a＝﹣（不合题意，舍去）；或a＝，
即甲乙两人的速度之比为．
故选：C．
【点睛】本题综合考查了一元二次方程及分式方程的应用；得到甲乙两人交换目的地所用的时间的等量关系是解决本题的关键；利用换元法求得甲乙两人的速度之比是解决本题的难点．
5．关于x的函数，当m＜x＜1时，y2＜y1．若y3＜y1，则（　　）
A．﹣m+2＜x＜1 B．m+2＜x＜1 C．1＜x＜﹣m+2 D．1＜x＜m+2
【点拨】抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1，再得出直线y2＝kx﹣k+4、y3＝（m﹣1）x+5﹣m都经过定点（1，4）根据当m＜x＜1时，y2＜y1，求得k＝1﹣m，从而得出y3＝（m﹣1）x+5﹣m，抛物线与直线y2＝kx﹣k+4的交点坐标为（m，km﹣k+4），求得抛物线与直线y3＝（m﹣1）x+5﹣m的另一交点横坐标为2﹣m，根据y3＜y1，利用数形结合思想即可求解．
【解析】解：∵，
∴顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1，
把x＝1代入y2＝kx﹣k+4，得y2＝4，
∴直线y2＝kx﹣k+4经过定点（1，4），
∵当m＜x＜1时，y2＜y1．
∴抛物线与直线y2＝kx﹣k+4的交点横坐标为m，
设抛物线与直线y2＝kx﹣k+4的交点坐标为（m，km﹣k+4），
把（m，km﹣k+4）代入，得
km﹣k+4＝﹣m2+2m+3
∴m＝1﹣k或m＝1（舍去），
∴k＝1﹣m
∴y3＝﹣kx+k+4＝﹣（1﹣m）x+1﹣m+4＝（m﹣1）x+5﹣m
把x＝1代入，得y3＝4
∴y3＝（m﹣1）x+5﹣m经过定点（1，4），
设抛物线与直线y3的交点坐标为（n，（m﹣1）n+5﹣m），代入到，得：
（m﹣1）n+5﹣m＝﹣n2+2n+3，
∴n2+（m﹣3）n+2﹣m＝0，
∴n＝2﹣m或n＝1，
∴抛物线与直线y3＝（m﹣1）x+5﹣m的另一交点横坐标为2﹣m，
∵y3＜y1，
∴1＜x＜2﹣m．
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线的图象性质，一次函数图象性质，根据交点确定不等式的解集，数形结合思想的应用是解题的关键．
6．已知a＝m+2024，b＝m+2025，c＝m+2026，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　）
A．5 B．6 C．3 D．8
【点拨】因为a＝m+2024，b＝m+2025，c＝m+2026，求出a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，将原式化简成，代入数据计算即可．
【解析】解：因为a＝m+2024，b＝m+2025，c＝m+2026，
所以a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝×（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）
＝
＝
＝3．
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式．
7．若关于x的方程||x﹣2|﹣1|＝a有三个整数解，则a的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【点拨】根据绝对值的性质可得|x﹣2|﹣1＝±a，然后讨论x≥2及x＜2的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出a的值．
【解析】解：①若|x﹣2|﹣1＝a，
当x≥2时，x﹣2﹣1＝a，解得：x＝a+3，a≥﹣1；
当x＜2时，2﹣x﹣1＝a，解得：x＝1﹣a；a＞﹣1；
②若|x﹣2|﹣1＝﹣a，
当x≥2时，x﹣2﹣1＝﹣a，解得：x＝﹣a+3，a≤1；
当x＜2时，2﹣x﹣1＝﹣a，解得：x＝a+1，a＜1；
又∵方程有三个整数解，
∴可得：a＝﹣1或1，根据绝对值的非负性可得：a≥0．
即a只能取1．
故选：B．
【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，掌握绝对值的性质及不等式的解集的求法是关键．
8．一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据题意，按照A位不动，逆时针排列，列举出B、C、D随机而坐的情况，得出所有可能的情况数，然后找出符合题意的情况数，最后根据概率公式求出结果即可．
【解析】解：如图，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，
按从A开始，逆时针排列如下：
ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，
根据列举情况可知：A先坐，B，C，D随机坐其他三个座位的结果数共有6种，
其中A与B不相邻而坐的结果有2种，为：ACBD，ADBC，
∴A与B不相邻而坐的概率为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．
9．对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（　　）
A．c＜﹣3 B．﹣3＜c＜﹣2 C．﹣2＜c＜ D．c＞
【点拨】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由Δ＞0且x＝1时y＞0，即可求解．
【解析】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1，
整理，得：x2+x+c＝0，
由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根知：Δ＞0，即1﹣4c＞0①，
令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：
而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x＝1时，y＝x2+x+c＝2+c＞0②，
联立①②并解得：﹣2＜c＜；
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．
10．如图，已知矩形ABCD，点E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC＝2∠BCE，若CE＝4，CF＝5，有如下结论：①CF＝BC+AF，②DF＝，③BC＝，④∠BCE＝∠BCF，其中正确的是（　　）
A．②④ B．①②④ C．①③ D．①③④
【点拨】过E作EH⊥CF于H，利用矩形的性质和全等三角形的判定和性质判断即可．
【解析】解：过E作EH⊥CF于H，连接EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∵∠DFC+∠DCF＝90°，∠DCF+∠FCE+∠BCE＝90°，
∴∠DFC＝∠FCE+∠BCE，
∵∠DFC＝2∠BCE，
∴∠FCE＝∠BCE，
在△CHE与△CBE中，
，
∴△CHE≌△CBE（AAS），
∴CH＝CB，HE＝BE，∠CEH＝∠CEB，∠BCE＝∠ECF，
∴∠BCE＝∠BCF，④正确；
∵AE＝EB，
∴AE＝EH，
在Rt△FAE与Rt△FHE中，
，
∴Rt△FAE≌Rt△FHE（HL），
∴AF＝FH，∠AEF＝∠HEF，
∵CE＝4，CF＝5，
∴CF＝CH+FH＝BC+AF，①正确；
∵∠AEF＝∠HEF，∠CEH＝∠CEB，
∴∠FEH+∠CEH＝90°，
∴EF＝，
∴HE＝，
∴AE＝，
∴AB＝2AE＝，
∴AF＝，
∴DF＝AD﹣AF＝CH﹣AF＝CF﹣FH﹣AF＝CF﹣AF﹣AF＝5﹣＝，②正确；
∴BC＝CH＝CF﹣FH＝5﹣＝，③错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
二．填空题
11．计算：＝　123454321　
【点拨】把分母写成123452﹣（12345+1）（12345﹣1）的形式，再利用平方差公式计算．
【解析】解：原式＝＝123 454 321．
【点睛】本题考查了平方差公式法分解因式，灵活应用平方差公式计算，看似复杂的问题变得简单了．
12．8位裁判给一位运动员打分，每个人给的分数都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余得分的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位，该运动员得8.3分，如果精确到百分位，该运动员得分应当是 　8.33　 ．
【点拨】应根据得8.3分得到6位裁判的准确打分和，除以6，再保留2位小数即可．
【解析】解：用四舍五入取近似值的方法精确到一位小数能得到8.3的数值范围是：（大于等于8.25和小于8.35之间），
∴8个裁判去掉最高和最低得分后，实际取值就是6个人的分数，
∴该运动员的有效总得分在大于或等于8.25×6＝49.5分和小于8.35×6＝50.1之间．
∵每个裁判给的分数都是整数，
∴得分总和也是整数，
在49.5和50.1之间只有50是整数，
∴该运动员的有效总得分是50分．
∴得分为：50÷6≈8.33．
故答案为：8.33．
【点睛】本题考查了算术平均数，近似数和有效数字．得到得分为两位小数的准确分值的范围，及得到8位裁判的准确打分和是难点．
13．有一列数，记第n个数为an，已知a1＝2，当n＞1时，，则a2024的值为 　　 ．
【点拨】根据题意，依次求出a2，a3，a4，…，发现规律即可解决问题．
【解析】解：由题知，
因为a1＝2，
所以，
，
，
…，
由此可见，，
因为2024为偶数，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现是解题的关键．
14．已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：　a2+b2＝c2+d2　 ．
【点拨】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin2θ+cos2θ＝1，即可找到这四个数的关系．
【解析】解：由①得 asinθ+bcosθ＝c，
两边平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ＝c2③
由②得 acosθ﹣bsinθ＝﹣d，
两边平方，a2cos2θ+b2sin2θ﹣2absinθcosθ＝d2④
③+④得
a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）＝c2+d2
∴a2+b2＝c2+d2．
故答案为：a2+b2＝c2+d2．
【点睛】本题考查了sin2θ+cos2θ＝1的应用．
15．设max{x，y}表示x，y两个数中的最大值．例如“max{1，3}＝3，max{﹣2，0，}＝”．则关于x的函数y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}的最小值为 　﹣1　 ．
【点拨】根据题目信息将y＝2x，y＝﹣x﹣2和y＝﹣x2画在同一个坐标系中，利用数形结合确定图形的三个组成部分，进而确定最小值．
【解析】解：将y＝2x，y＝﹣x﹣2和y＝﹣x2画在同一个坐标系中，如图所示，
易得点A的坐标为（﹣1，﹣1），点B的坐标为（0，0），
由题意可知，
关于x的函数y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}，即y＝2x，y＝﹣x﹣2和y＝﹣x2的不同范围内的部分图形，
即当x≤﹣1时，y＝﹣x﹣2，当x＝﹣1时，有最小值，为﹣1；
当﹣1≤x≤0时，y＝﹣x2，当x＝﹣1时，有最小值，为﹣1；
当x＞0时，y＝2x，当x＝0时，有最小值，为0．
综上关于x的函数y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}的最小值为﹣1．
【点睛】本题考查二次函数和一次函数的性质，能够准确画出图形是第一步，能够根据题意分类讨论从而获得不同范围内y的表达式进而求出y的最小值，能够熟练运用数形结合是解答本题的关键．
16．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE＝9，则△ABC的面积为　81　 ．
【点拨】根据切线的性质得到AD＝AM，CM＝CN＝r，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，于是得到AD DB＝AC BC，由射影定理得AD DB＝DE2＝81，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】解：设⊙I切AC与M，切BC于N，半径为r，
则AD＝AM，CM＝CN＝r，BD＝BN，r＝（AC+BC﹣AB），
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴AD DB＝AM BN＝（AC﹣r）（BC﹣r）＝[AC﹣（AC+BC﹣AB）][BC﹣（AC+BC﹣AB）]
＝（AC﹣BC+AB）（AB+BC﹣AC）＝（AB2﹣AC2﹣BC2+2AC BC）＝AC BC，
由射影定理得AD DB＝DE2＝81，
∴S△ABC＝AC BC＝81，
故答案为：81．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，射影定理，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
三．解答题
17．计算：．
【点拨】根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解．
【解析】解：原式＝
＝
＝4+1
＝5．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂是解题的关键．
18．已知正数a、b满足a+b＝4．
（1）求的最小值；
（2）若xy＝6，bx+ay＝9，x+y＝11﹣2ab，求a，b，x，y的值．
【点拨】（1）将已知式子化为＝＝，再由b＝4﹣a得原式转化为求的最小值，只要分母最大时即可得解；
（2）将b＝4﹣a分别代入x+y＝11﹣2ab，bx+ay＝9，整理得x﹣y＝4（a﹣2）﹣，x+y＝2（a﹣2）2+3，令a﹣2＝t，则（2t2+3）2﹣（4t﹣）2＝24，解得t＝±1，即可求a＝1，b＝3，x＝2，y＝3或a＝3，b＝1，x＝3，y＝2．
【解析】解：（1）＝＝＝＝，
∵﹣≤，
∴的最小值为＝．此时a＝，b＝4﹣a＝4﹣＝．
（2）∵a+b＝4，
∴b＝4﹣a，
∴x+y＝11﹣2ab＝2a2﹣8a+11，bx+ay＝（4﹣a）x+ay＝9，
∴（2﹣a）（x﹣y）＝﹣4a2+16a﹣13＝﹣4（a﹣2）2+3，
∴x﹣y＝4（a﹣2）﹣，x+y＝2（a﹣2）2+3，
令a﹣2＝t，
则（2t2+3）2﹣（4t﹣）2＝24，
解得t＝±1，
∴a＝1，b＝3，x＝2，y＝3或a＝3，b＝1，x＝3，y＝2．
【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握配方法，利用换元法求出a﹣2的值是解题的关键．
19．如图，正方形BCEF的中心为O，△CBO的外接圆上有一点A（A、O在BC同侧，A、C在BO异侧），且AB＝2，AO＝4．
（1）求∠CAO的值；
（2）求tan∠ACB的值；
（3）求正方形BCEF的面积．
【点拨】（1）根据同弧所对的圆周角相等，即可求解；
（2）作BH⊥OA，交OA的延长线于H，可以得到∠ACB＝∠BOH，根据三角函数的定义即可求解；
（3）根据三角函数即可求得AC的长，然后根据勾股定理即可求得BC的长，则正方形的面积即可求解．
【解析】解：（1）∠CAO＝∠CBO＝45°；
（2）作BH⊥OA，交OA的延长线于H，
则∠BAH＝45°
∴AH＝2，BH＝2
∴tan∠BOH＝＝
又∠ACB＝∠BOH
∴tan∠ACB＝．
（3）∵tan∠ACB＝，又AB＝2
∴AC＝6
∴BC2＝80
∴正方形BCEF的面积是80．
【点睛】本题考查了正方形的性质，以及三角函数，正确作出辅助线求得AC的长度是解题关键．
20．已知函数f（x）＝﹣2x2+bx+c在x＝1时有最大值1．
（1）求实数b，c的值；
（2）设0＜m＜n，若当m≤x≤n时，f（x）的最小值为，最大值为，求m，n的值．
【点拨】（1）x＝1时函数有最大值，得x＝﹣＝1，故b＝4，代入（1，1）得c＝﹣1，
（2）由f（x）＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1，得m、n是关于x的方程﹣2（x﹣1）2+1＝的两个根，再计算即可．
【解析】解：（1）x＝1时函数有最大值，
∴x＝﹣＝1，
∴b＝4，
又x＝1时有最大值1，代入得﹣2+4+c＝1，
∴c＝﹣1，
故b＝4，c＝﹣1．
（2）f（x）＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1，
∴f（x）≤1，
又0＜m＜n，
∴≤1，
∴m≥1．
∵m≤x≤n，
∴f（m）＝﹣2（m﹣1）2+1＝，
f（n）＝﹣2（n﹣1）2+1＝，
∴m、n是关于x的方程﹣2（x﹣1）2+1＝的两个根，
∴（x﹣1）（2x2﹣2x﹣1）＝0，
∴x＝1或或，
∵1≤m＜n，
∴m＝1，n＝．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，采用配方法是解题关键．
21．已知，等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，且BP＝4，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EPF＝60°，设BE＝x，CF＝y．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）①若四边形AEPF的面积为4时，求x的值．②四边形AEPF的面积是否存在最大值？若存在，请直接写出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【点拨】（1）求出△BEP∽△CPF，得出比例式，代入求出即可；
（2）①过A作AD⊥BC于D，过E作EN⊥BC于N，过F作FM⊥BC于M，求出AD＝3，EN＝x，CF＝y＝，FM＝，根据S四边形AEPF＝S△ABC﹣S△BEP﹣S△CFP得出方程，求出x即可；
②四边形AEPF的面积存在最大值，把9﹣x﹣化成﹣（﹣）2+5，即可得出答案．
【解析】解：（1）∵∠EPF＝60°，
∴∠BPE+∠CPF＝120°，
∵等边三角形ABC，
∴∠B＝60°，
∴∠BPE+∠BEP＝120°，
∴∠BEP＝∠CPF，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△BEP∽△CPF，
∴＝，
∴＝，
∴y＝；
∵当F和A重合时，y＝CF＝6，x＝，
即x的取值范围是≤x≤6；
（2）①过A作AD⊥BC于D，
过E作EN⊥BC于N，过F作FM⊥BC于M，
∵∠B＝60°，AB＝6，BE＝x，
∴AD＝sin60°×6＝3，EN＝sin60°×x＝x，
∵∠C＝60°，CF＝y＝，
∴FM＝sin60°×＝，
∴S四边形AEPF＝S△ABC﹣S△BEP﹣S△CFP＝×6×3﹣×4×x﹣×2×＝9﹣x﹣＝4，
x2﹣5x+4＝0，
x＝1（舍去），x＝4，
∴当四边形AEPF的面积为4时，x＝4；
②四边形AEPF的面积存在最大值，
9﹣x﹣＝﹣（+x﹣9）＝﹣[（﹣）2﹣5]＝﹣（﹣）2+5
即最大值是5．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形性质，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，函数的最值等知识点的应用，题目综合性比较强，难度偏大．
22．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．
（1）已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝1，MN＝2，求BN的长；
（2）如图2，点P（a，b）是反比例函数y＝（x＞0）上的动点，直线y＝﹣x+2与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F．证明：E、F是线段AB的勾股点；
（3）如图3，已知一次函数y＝﹣x+3与坐标轴交于A、B两点，与二次函数y＝x2﹣4x+m交于C、D两点，若C、D是线段AB的勾股点，求m的值．
【点拨】（1）根据勾股点的定理，即可求出BN的长度；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征结合反比例函数图象上点的坐标特征，找出点A、B、E、F的坐标，利用两点间的距离公式可求出BF、EF、AE的长度，由BF2+AE2＝EF2即可证出E、F是线段AB的勾股点；
（3）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，将一次函数解析式代入二次函数解析式中利用解一元二次方程可得出点C、D的横坐标，进而可得出AC、CD、BD的长度，结合C、D是线段AB的勾股点，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】解：（1）∵点M、N是线段AB的勾股点，
∴BN＝＝或BN＝＝，
∴BN的长为或．
（2）∵点P（a，b）是反比例函数y＝（x＞0）上的动点，
∴b＝．
∵直线y＝﹣x+2与坐标轴分别交于A、B两点，
∴点B的坐标为（0，2），点A的坐标为（2，0）；
当x＝a时，y＝﹣x+2＝2﹣a，
∴点E的坐标为（a，2﹣a）；
当y＝时，有﹣x+2＝，
解得：x＝2﹣，
∴点F的坐标为（2﹣，）．
∴BF＝＝（2﹣），EF＝＝|2﹣a﹣|，AE＝＝（2﹣a）．
∵BF2+AE2＝16+2a2﹣8a+﹣＝EF2，
∴以BF、AE、EF为边的三角形是一个直角三角形，
∴E、F是线段AB的勾股点．
（3）∵一次函数y＝﹣x+3与坐标轴交于A、B两点，
∴点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（3，0）．
将y＝﹣x+3代入y＝x2﹣4x+m中，整理得：x2﹣3x+m﹣3＝0，
解得：xC＝，xD＝，
∴AC＝（xC﹣0）＝，CD＝（xD﹣xC）＝，BD＝（3﹣xD）＝．
∵C、D是线段AB的勾股点，AC＝BD，
∴CD2＝AC2+BD2，即42﹣8m＝30﹣4m﹣6，
整理得：4m2+12m﹣153＝0，
解得：m1＝（舍去），m2＝，
∴m的值为．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标、勾股定理、两点间的距离公式以及解无理方程，解题的关键是：（1）利用勾股定理求出BN的长度；（2）利用勾股定理逆定理证出以BF、AE、EF为边的三角形是一个直角三角形；（3）利用勾股定理找出关于m的无理方程．
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