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2024-2025学年（下）高一年级摸底考试
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知事件互斥，且，则（ ）
A 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.9
2. 已知复数满足，则的虚部为 （ ）
A. B. C. D. 2
3. 已知数据的分位数是8，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知在平行四边形中，，，记，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，正四面体棱长均为2，是棱的中点，是棱上一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6. 某同学课后进行“抛掷一枚质地均匀的硬币次”的实验，每次抛掷硬币的结果互不影响.设事件次中反面朝上的次数大于0且小于，则（ ）
A B. C. D.
7. 魏晋时期的数学家刘徽撰写的《海岛算经》是中国最早的一部关于测量的数学著作，其中给出了测量建筑物高度的方法.如图，是某球形建筑物与水平地面的接触点（即切点），若在地面上与点共线的点处测得球形建筑物上点的最大仰角分别为和，且，则该球形建筑物的表面积为（ ）参考数据：，.
A. B. C. D.
8. 在中，内角的对边分别为，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 2020年至2024年某地植被面积的年增加量（单位：万公顷）如图所示，则（ ）
A. 这组数据的极差为0.7
B. 这组数据的平均数为3.7
C. 从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据与中位数之差大于0.2的概率为
D. 从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据大于3.5的概率为
10. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方形内一动点（含边界），且平面，则（ ）
A. 正方体的外接球半径为
B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 动点的轨迹是一条线段
11. 已知复数，（均为非零实数）在复平面内对应点分别为，定义运算，记复数的实部为，虚部为，则下列结论中正确的是（ ）
A 若，则
B. 若，则向量的夹角为锐角
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若的面积，则__________.
13. 将面积为1的直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周得到的几何体体积的最大值为____________.
14. 在中，已知，O是的外心，且，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量.
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若，求在上的投影向量的坐标.
16. 已知复数是方程的两根，且在复平面内，对应的点在对应的点的上方.
（1）求；
（2）求；
（3）求在复平面内对应的点的坐标.
17. 在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛.某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：，绘制了如下的频率分布直方图 .
（1）求的值；
（2）若参赛学生共有2000名，估计其中成绩小于70分的人数；
（3）已知样本中在内的成绩的平均数为52，方差为105，在内的成绩的平均数为72，方差为503，估计所有参赛学生成绩的方差.
18. 记的内角的对边分别为，已知，.
（1）证明：为等腰三角形；
（2）若，为的中点，求的最大值.
19. 如图，三棱锥的体积为，二面角为锐角，为的中点，平面平面，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）若分别是直线上一点，且平面，记平面平面，与所成角的正弦值为，求的值.
2024-2025学年（下）高一年级摸底考试
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【17题答案】
【答案】（1）；
（2）；
（3）467.6.
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）或

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