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2024—2025 学年度下学期期末考试高二试题
数 学
考试时间：120 分钟 满分：150 分
第 I 卷（选择题，共 58 分）
一、单项选择题（本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项
是符合题目要求的。）
1．设集合 A x y x 1 ， B x x Z, 1≤x＜2 ，则 A B
A. 0,2 B. 1 C. 0,1 D. 1,0,1
a2 b2 a b
2．“ ≥ ”是“ a b≥2 ab ”的
2 2
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不
必要条件
3．已知 f x 1 x2 1 2 4 ，则 f x x x
A. x2
1
2 B. x2 2 C. x x≥2 D. x2 2 x≥2x
4． min a,b,c 表示 a,b,c 三个数中的最小值，则函数 f x min 2 x,14 x, 2x x≥0 的
最大值为
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5．若定义在R 上的函数 f x 满足：对于任意 x1, x2 R，有 f x1 x2 x1 f x2 x2 f x1 ，
则下列说法一定正确的是
A. f x 是奇函数 B. f x 是偶函数 C. f x 1 是奇函数 D. f x 1 是 偶
函数
6．已知函数 f x log2 x ，若 0 a b且 f a f b ，则 2a 3b 的范围是
A. 5, B. 5, C. 2 6, D. 2 6,
ax ln x 2 1
7．已知函数 f x 在 0,1 上仅有一个零点，则 a的取值范围为
x
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A. 4 4
2 2
2 B. 2 ,1 C.
e
D. 1,
e
e e 4 4


8．已知单调递增数列 an 的通项公式为 an 3n 2
n 1 ，则实数 的取值范围为
A. 3 , 1 B.
1 , 1 C. 3 3 1 3
4 2
, D. ,
2 2 4 4 2 4
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题
目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。）
9．已知函数 f x x ，则下列说法正确的是
A. 0, , f 1 1
B. ,0 , f 0 0
C. 两个幂函数的图像最多只有 5 个交点，且交点关于原点中心对称
D. 当 x 0,1 时， 越小， f x 越大
10．已知函数 F x 和其导函数 f x 的定义域均为R ,若函数 F 2 x 是偶函数, f x 2 是
奇函数,则
A. F 3 F 3 B. f x 的一个周期为 32
2026
C. f 2026 0 D. f i 0
i 1
11．已知 a,b,c 0, ，则下列不等式正确的是
A. a b ≥ a b
b a
B. 若 1 1 1 1，则 a 4b 9c≥38
a b c
C. a3 b3 c3≥3abc
D. 若 a 9 b c 2 ，则 ab ac bc≥ abc
2
第 II 卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。）
12 ． 已 知 函 数 f x 为 函 数 f x 的 导 函 数 ， 且 f x f 1 x2 3xex f 1 x ， 则
f 1 ．
13．已知正项等比数列 an ， 3a14a16 a9a21 2e 4 ，则 lna1 lna2 lna29 ．
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14．已知函数 f x ln a x ，若 x2 f x ≤af x 恒成立，则 a ．
x
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（本题满分 13 分）
已知函数 f x a 1 x ax .
（1）当 a 2 时，求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
（2）当 a 0 时， x 0,1 ， f x 1恒成立，求 a的取值范围.
16．（本题满分 15 分）
已知数列 an 首项为1，且 an 2 ， 2n ， an 1 成等差数列．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）求数列 an 的前 n 项和 Sn ．
17．（本题满分 15 分）
自 2021 年起，我国居民的储蓄存款逐年增长。设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年
底余额）如下表所示：
年份 2021 2022 2023 2024 2025
时间代号 x 1 2 3 4 5
储蓄存款 y（千亿元） 4.76 4.61 5.32 5.41 5.38
n n n
x 2 y 2 y2i xi y
2
i xi yi
i 1 i 1 i 1
9 25.9692 130.4246 78.48 1554.2872
（表中部分数据已精确至 0.0001，表中数据可直接代入公式进行运算）
可能用到的估计值： 109.6166 10.46 0.5786 0.76 10 3.16
（1）求 y关于 x的回归方程 y b x a ；
（2）用（1）所求回归方程预测该地 2027 年（ x 7 ）的人民币储蓄存款额；
（3）求样本 xi , yi i 1,2,3,4,5 的相关系数 r ．（精确至 0.01）
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n n
xi x yi y xi x yi y
附： b i 1 n ， a y b x， r
i 1
n n
x 2 x x2i i nx 2 yi y 2
i 1 i 1 i 1
18．（本题满分 17 分）
已知函数 f x 1 4a2 ln x， a 0．
x
（1）证明： f x 在 0, 上存在唯一极值点；
2 x 1 , 1 （ ） ， f
2
e
≥2a x 1 恒成立，求实数 a的取值范围．
x
19．（本题满分 17 分）
k 为实数，无穷数列 xn 为 k 数列时满足： x1≥x2 k； xt 1 xt t 4n,n N ；
m,n N , xm n
{xm xn k , xm xn k 1}．
（1）若数列 an 前四项分别为 4， 4 ， 4 ， 3，判断数列 an 是否有可能为 4 数列；
（2）若数列 an 为 0 数列，求 a6 的值；
（3）数列 an 前 n 项和为 Sn ，则是否存在 k值， n N ，Sn≥S10恒成立。如果有，求
出所有符合要求的 k值；如果没有，请说明原因．
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2024—2025 学年度下学期期末考试高二试题
数 学
参考答案
第I卷 （选择题 共58分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D D A B C A
二、多项选择题（本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对
的得部分分,有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 AD BC ACD
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
11. 6e 12. 58 13. 4
四、解答题:（本题共6小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （本题满分 13 分）
（ 1 ） f x 3x 2x ， f 1 3 2 1 ， f x 3x ln 3 2 ， f 1 3ln3 2 ， 故 切 线 方 程 ：
y 1 3ln3 2 x 1 3ln 3 2 x y 3ln 3 3 0 .
（ 2 ） x 0,1 , f x 1 0 恒 成 立 ， 即 a 1 x ax 1 0 x恒 成 立 。 令 g x a 1 ax 1 ， 求 导 得
g 0 0 g 0 ln a 1 a≤0
g x (a 1)x ln a 1 a ，因为 ，故 解得 a 0 .当 a 0 时，导函数
g 1 0 g 1 (a 1) ln a 1 a≥0
g x 递增，g 0 0 ，g 1 0，所以必存在唯一 x0 0,1 使得 g x0 0 。故 g x 在 0, x0 上递减，在 x0 ,1
上递增。又因为 g 0 g 1 0 ，所以 g x 0在 0,1 上恒成立，所以 a的取值范围为 0, .
16. （本题满分 15 分）
（1）且 an 2 ， 2n， an 1成等差数列，则 4n an an 1 2 4n 2 an an 1○1 4n 2 a 2n 1 an 2 ○
数学答案 共 6 页 第 5 页
令 n 1，得： a1 a2 2 a1 a 2 12 1.由○ ○，得 an 2 an 4 .
（i）令 n 2k 1，则 a2k 1 a2k 1 4 ， a2k 1 1 4 k 1 4k 3，即 an 2n 1.
（ii）令 n 2k ，则 a2k 2 a2k 4， a2k 1 4 k 1 4k 3，即 an 2n 3.
2n 1,n为奇数
综上所述，数列 an 的通项公式为 an .
2n 3,n为偶数
1 4k 3 k 1 4k 3 k
（2）令 n 2k ， S S 2n 2k a1 a3 ... a2k 1 a2 a4 ... a2k 4k 2k ，即2 2
S n2n n，令 n 2k 1，则 Sn S2k 1 S2k a2k 4k
2 2k 4k 3 4k 2 6k 3，即 S n2n n 1 .
n2 n,n为偶数
综上所述，数列 an 的前 n 项和 S

n .2
n n 1,n为奇数
17. （本题满分 15 分）
n n
xi x yi y xi yi xi y yix x y
i 1 i 1
n n n n n
xi x yi y xi yi xi y yix x y
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
n n n n n
xi x yi y xi yi y xi x yi x y
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
n n
xi x yi y xi yi y nx x ny nx y
i 1 i 1
n n
xi x yi y xi yi nx y
i 1 i 1
n n n n
2 2
同理， x x x2 nx 2 ， y y y2 ny 2i i i i .
i 1 i 1 i 1 i 1
n
x y nx y
1 y 4.76 4.61 5.32 5.41 5.38
i i
5.096 b i 1 78.48 76.44 2.04（ ） ， 0.204 ，
5 n x2 2 55 45 10i nx
i 1
a y b x 5.096 0.204 3 4.484 .所以 y 0.204x 4.484 .
（2）当 x 7 时， y 0.204 7 4.484 5.912 .
n n
xi x yi y xi yi nx y
3 r i 1 i 1 2.04 2.04 2.04（ ） 0.85 .
n n n n
2 2 2 2 2 10 0.5786 3.16 0.76 2.4016 xi nx yi y xi nx y2i ny 2
i 1 i 1 i 1 i 1
18. （本题满分 17 分）
2 2
1 1 4a 4a x 1 1 （ ）证明： f x 2 2 ，易知 f
2
2 0 且 y 4a x 1为单调递增函数，故 f x 在 0, 上存x x x 4a
在唯一极值点。
2 f 1 2 2 1 2 2 1 （ ） x
x 4a ln x≥2a x 1在 , 上恒成立。原问题等价于 g x 4a ln x 2a x 1 x≤0在 , e e
数学答案 共 6 页 第 6 页

上恒成立，故 g 1 ≤0 成立 a 0,
2
.
4

【解法一】原问题等价于 h1 a 2ln x a
x
x 2 1≤0 ，其中 a 0,
2
.
2a 4


2
（i）当 x 1时， h1 a 在 0, 上单调递增，故：
4

h1 a
2 2
h 21 lnx 2x x 1≤0max
4 2
2 2 2
令 u x ln x 2x x 2 1 ，则 u x x 1 2x x 1 2x ，对 u x 分子化简得：
2 2x x2 1
x2 1 x 1 2x x2 1 x
分子 1 x x2 1 x 2x x2 1 1 x2 1 x2
1 x x
2 1 2x 1 x x2 1 2x
当 x 1时： 2x x2 1 x 0，则u x ≤0 ，故u x 在 1, 上单调递减，即u x ≤u 1 0 ，故 h1 a ≤0成
立。
（ii）当 x 1时， h1 a 2
1
，显然 h1 a ≤0 恒成立。2a
1 x
（ iii ） 当 ≤x 1 时 ， h1 a ln x 2a x
2 1 ， 令 v x x ，
e 2a 2 ln x
2 ln x 1
v x 1 1 1 2 2 0 v x

在 ,1

8 x ln x ln x
上单调递增，且 x 1， v x ； v ，故
e e 2 e 4
v x 2 0 1在 ,1

上 存在 唯 一零 点， 设 该零 点 为 x 10 . ○若 x≥x0 ， 则 v x ≥v x0
2
， 此时
4 e 4

h1 a h
2 h 1 1 ， 1 a ≤0 成立结论与（i）中过程相仿，这里不过多赘述。 ○2 若 x , x0 ， 此 时max
4 e

h1 a
x
h 21 x 1 2 x lnx ，证明：h1 a max ≤0 证明：
2
max x 1 2 x ln x ≤0 ，变形得：
2 ln x
x 1 1 x
2 4x 1
4ln x≤0 ，令 w x x 4ln x ，求导得： w x 2 0 成立，显然 w x x x x max w x0 ，即：
x0 2
2 ln x0 4 w x
1 1 1 2
0 7x0 .接下来证明 x0≥ ，即证明 v ≤ ，即证明 7 ln 7≥4，因
1 x 7 7 4
w x0 x0 4ln x
0
0
x0
数学答案 共 6 页 第 7 页

为 ln 7 ln 2e 1 ln 2 1 2 5 7 ln 7 5 5 ，且 ≥ 4 .故 h1 a ≤0
2
成立。综上所述，a的取值范围为 0, .
3 3 3 2 4
x 2
【解法二】原问题等价于 h2 a 2a 2 ln x a x 2 1 ≤0 ， 其中 a 0, .2 4


2
（i）当 x 1时，此时 h2 a
x 1
为开口向上的二次函数，对称轴为 a 0，故 h2 a
2
在 0,4ln x 4
上单调递

增，即：

h a h 2 1 2x 2 x 22 1 lnxmax 2 4 4
2 2 2
令 u x ln x 2x 2 x2 1 x 1 2x x 1 2x，求导可得： u x ，对 u x 分子化简得：
x x2 1
x2
2
1 x x2 1 x 2x x2 1 1 x2 1 x 1 x2 1 2x x 1 x分子 .
1 x x
2 1 2x 1 x x2 1 2x
当 x 1时： 2x x2 1 x 0，则 u x ≤0 ，故 u x 在 1, 上单调递减，即 u x ≤u 1 0 ，故 h2 a ≤0成
立。
1
（ii）当 x 1时， h2 a 2a ，显然 h2 a ≤0恒成立。2
1 2 2
（iii）当 ≤x 1 h a x 1 x 1 时，此时 2 开口向下，对称轴为 a .令 v x ，求导可得e 4ln x 4ln x
x2 1
1 x2
ln x 2
v x 1 0 ，故 v x 在 ,1 上单调递增，且 x 1,v x v
1 e 1 2
，
4 1 e e
，故
x2 1 ln x 2 4e 4
x
v x 2 1 2 0 在 ,1

上 存 在 唯 一 零 点 ， 设 该 零 点 为 x 14 0
. ○ 若 x≥x0 ， 则 v x ≥v x0 , 此 时
e 4

h2 a h
2
2 ， h2 a 0
1
≤ 成立结论与（i）中过程相仿，这里不过多赘述。若
max x , x4 e 0
，此时

2
h a h x 1
x2 1 x 2h x 1 x 12 max 2 证明 4ln x 8ln x 2 2
a max ≤0 证明： ≤0 ，变形得：x 4ln x≤0 ，令
8ln x 2 x
1 x2w x 4x 1 x 4ln x ， 求 导 得 ： w x 2 0 成 立 ， 显 然 w x max w xx x 0 ， 即 ：
x
0
2

2 ln x0 4 w x
1 7x x 1 v 1 20 0 .接下来证明 0≥ ，即证明 ≤ ，即证明 7 ln 7≥4，因
1 x0 7 7 4
w x0 x0 4ln x0
x0
数学答案 共 6 页 第 8 页

为 ln 7 ln 2e 1 ln 2 1 2 5 5 5 2 ，且 7 ln 7≥ 4 .故 h1 a ≤0 成立。综上所述，a的取值范围为 0, .3 3 3 2 4
2
【 解 法 三 】 原 问 题 等 价 于 h3 a 2ln x
1 x 1 2 1
x2 1
a 2 a
≤0 ， 其 中 a 0, ， 令 b ， 4 a
b x
2
b2 x2 1 b 2ln x .需证明 b 0 1≤ 在 , x 1 上恒成立。因为 b 的对称轴为 b ，开2 e x2
口向下且 b 2 2, .
x2 1 1
（ i ） 若 2 ≤2 2 ， 即 x≥ ， 此 时 b 在 b 2 2 处 取 得 最 大 值 ， 即x 7
b ≤ 2 2 4x 2 2 x 2 1 2ln x ， 令 u x 4x 2 2 x 2 1 2ln x ， 求 导 得 ：
2 2 2
u x 2 x 1 2x x 1 2x ，对 u x 分子化简得：
x x2 1
2 2
分子 1 x x2 1 x 2x x2 1 1 x2 x 1 x 1 x2 1 2x x 1 x .
1 x x
2 1 2x 1 x x2 1 2x
当 x 1时： 2x x2 1 x 0，则 u x ≤0 ，故 u x 在 1, 上单调递减，即 u x ≤u 1 0 ，故 h3 a ≤0 成
立。
x2 1 1 1 x2 1
（ ii ） 若 2 2 2 ， 即 ≤x ， 此 时 b 在 在 b x e 7 x2
处 取 得 最 大 值 ， 即

b x
2 1 x2 1 x2 1 x22ln x v x 2ln x v x 4x 1 1 1≤ 2 .令

，求导得：
x 2x 2x 2x2
0，故 v x 在 ,
e 7


1 4
上单调递增，故 v x v ln 7 .因为 ln 7 ln 2e 1 ln 2 1
2 5 5 5
，且 7 ln 7≥ 4 .故
7 7 3 3 3 2

b ≤0 2成立。综上所述， a的取值范围为 0, .
4


19. （本题满分 17 分）
（1）数列 an 不可能为 4 数列，理由如下：
因为 k 4，a1 4，a2 4 ，所以 a1 a2 k 4，a1 a2 k 1 5。因为 a3 4 ，所以 a3 4,5 ，所以数列
an 不可能为 4 数列。
（2）由 0 数列定义，可知 an 满足：a1≥0 ，a2 0；a4n 1 a4n；am n am an或 am n am an 1。由 an 1 an a1
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或 an 1 an a1 1以及 a1≥0 ，可知 an 1≥an，所以 a1 0 。由 a3 a1 a2 0 或 a3 a1 a2 1 1，a4 a2 a2 0
或 a4 a2 a2 1 1，以及 a3 a4 ，可得 a3 0 ， a4 1。由 a5 a2 a3 0 或 a5 a2 a3 1 1，以及 a5≥a4 ，
可知 a5 1，同理，由 a6 a3 a3 0 或 a6 a3 a3 1 1，以及 a6≥a5 ，可知 a6 1。
（3）假设数列 an 是满足“ Sn≥S10恒成立”的 k 数列。
因为 an 1 an a1 k 或 an 1 an a1 k 1，且 a1 k≥0 ，所以 an 1≥an，由 k≤a1≤a2 k ，可知 a1 k，从
而 a4n a4n 1 a1 k a4n 1 或 a4n a4n 1 a1 k 1 a4n 1 1 。又因为 a4n 1 a4n ，所以 a4n a4n 1 1 。因为
a4 a3 1，且 a3≥a2 k ，所以 a4≥ k 1，又因为 a4≤a2 a2 k 1 k 1 ，所以 a4 k 1,a3 k。因
为 a12≤a6 a6 k 1，且 a6≤a3 a3 k 1 k 1，所以 a12≤ k 3。因为 a11 a12 1，所以 a11≤ k 2。由
S11≥S10 可知 a11≥0 ，所以 k≤2 ，由 a10≥a8 a7 1及 a7≥a4 k 1，可知 a10≥ k 2。由 S9≥S10 可知 a10≤0 ，
所以 k≥2。综上可知，若数列 an 是满足“ Sn≥S10恒成立”的 k 数列，则 k 2。当 k 2时，考虑数列 an ：
2 p,n 4 p 1,4 p 2,4 p 3 an * p N 。
1 p,n 4p 4
下面验证数列 an 满足 k 数列的要求：
由 a1 2 ， a2 2 可知 a1≥a2 k。因为 a4n 1 n 3， a4n n 2 ，所以 a4n 1 a
*
4n。 m,n N , p1, p2 N，
r1, r2 0,1,2,3 ，使得m 4 p1 r1，n 4 p2 r2 ，所以 am 2 p1，an 2 p2 ，所以 am an k 2 p1 p2 ，
am an k 1 1 p1 p2 ，又m n 4 p1 p2 r1 r2 ，所以：
当 0≤r1 r2 4 时 ， am n 2 p1 p2 ； 当 4≤r1 r2≤6 时 ， am n 1 p1 p2 。 所 以
am n {am an k ,am an k 1}。由通项公式可知，当 n≤9时， an≤a10 0 ；当 n≥11时， an≥a10 0，所以
Sn≥S10恒成立。综上所述，存在 k 数列 an ，使得 Sn≥S10恒成立，此时 k 2 .
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2024—2025 学年度下学期期末考试高二试题 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
数学 答题卡 15．（13 分） 16 题续
满分 150分，考试时间 120分钟
姓 名 准 考 证 号
学 校
0000000000
1111111111
2222222222
3333333333
4444444444
条 形 码 粘 贴 区 5555555555
（正立贴放，切勿贴出虚线框） 6666666666
7777777777
8888888888
9999999999
注 意 事 项
1. 答题前，考生先将自己的姓名、学校和准考证号填写清楚，并认真核对条 17．（15 分）
形码上的姓名、学校和准考证号。
2. 选择题必须使用 2B铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5毫米的黑色笔记签字
笔书写，字体工整、笔迹清晰。
3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无
效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4. 保持清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸
刀。
正确填涂 ▆ 错误填涂 w ` 缺考标记 ` （由监考员填涂，严禁考生填）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
第Ⅰ卷 选择题（共 58 分）
一、单项选择题（共 8 小题；每小题 5 分，共 40 分）
1 A B C D 5 A B C D
2 A B C D 6 A B C D
3 A B C D 7 A B C D
4 A B C D 8 A B C D 16．（15 分）
二、多项选择题（共 3 小题；每小题 6 分，共 18 分）
9 A B C D
10 A B C D
11 A B C D
第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分）
三、填空题（共 3 小题；每小题 5 分，共 15 分）
12
13
14
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
17 题续 18 题续 19．（17 分）
18．（17 分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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