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【期末专题复习】数列解答题易错精选练习-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
1．已知数列中，，，数列是等差数列，且．
（1）求，和数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
2．设数列是各项均为正实数的等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
3．已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
4．已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
5．记为等比数列的前项和.已知，.
（1）求的通项公式；
（2）求，判断，，是否成等差数列并说明理由.
6．已知公差不为零的等差数列中，，又成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设 ，求数列的前项和．
7．设等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足 ，求的前项和.
8．在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
已知为等差数列的前项和，若____.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
9．已知正项数列的前n项和为，且.
（1）求，的值及数列的通项公式；
（2）求数列的最大项；
（3）若数列满足，求数列的前30项和（，）.
10．设有穷数列的项数为，若正整数满足：，则称为数列的“点”．
（1）若，求数列的“点”；
（2）已知有穷等比数列的公比为，前项和为若数列存在“点”，求正数的取值范围；
（3）若，数列的“点”的个数为，证明：．
11．已知公差大于0的等差数列和公比大于0的等比数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求证：.
12．已知数列满足，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为d的等差数列，令，求数列的前n项和.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：因为，所以，，
又数列是等差数列，设公差为，则，
所以
（2）解：由（1）可知，所以，
，所以数列的前n项和
2．【答案】（1）解：设等比数列的公比为q.
，
或.
（2）解：，
.
3．【答案】（1）解：因为，所以，
当时，，
由于满足，所以的通项公式为，
因为数列是公差为的等差数列，，
所以，所以；
（2）解：因为，
所以.
4．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，则，
因为是和的等比中项，所以，
解得，则.
（2）解：由（1）得，
，
，
，
，
5．【答案】（1）解：设数列的首项为，公比为，
因为，，
所以，解得，
所以．
（2）解：因为，所以，
所以，，成等差数列，理由如下：
因为，，
所以
，
即，所以，，成等差数列；
6．【答案】（1）解：公差不为零的等差数列中，，又成等比数列，
所以，即，
解得，
则
（2）解：由（1）可知，，
可得数列的前项和
7．【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为.
由，得，
解得，
所以；
（2）解：由可得
当时，，
当时，
所以，，
又，
两式相减得
所以
8．【答案】（1）解：若选①，，则，
解得，所以；
若选②，，则，解得，所以；
若选③，当时，当时，所以，当时也成立，所以
（2）解：因为，
所以
9．【答案】（1）解：因为，
所以当时，解得，
当时，由，解得，
当时，，
则，
化简得，而，
所以，
所以数列为等差数列，
所以.
（2）由（1）知，，则，
所以，
因为，当或时，取最大值，
所以数列的最大项为第项或第项，其值为.
（3）由题可知，当时，
，
所以，
当时，，
所以，
，
相减得，，
所以，
所以

10．【答案】（1）因为，，，，，
所以数列的“点”为，．
（2）依题意，，
因为数列存在“点”，所以存在，使得，
所以，即．
因为，所以，所以．
又当时，取最大值，所以，又，所以．
当时，有，所以数列存在“点”，
则的取值范围为
（3）若，则数列不存在“点”，即．
由得，，所以
若存在，使得下证数列有“点”．
证明：若，则是数列的“点”
若，因为存在，使得，
所以设数列中第个小于的项为，则，
所以是数列的第个“点”．
综上，数列存在“点”．
不妨设数列的“点”由小到大依次为，，，，，
则是，，，，，中第个小于的项，
故，
因为，所以，所以，
所以
所以
个．
所以
综上，，得证．
11．【答案】（1）解：设数列的公差为，数列的公比为，
则，
由①式平方除②式得：，得（舍）或，
通项公式分别为.
（2）解：
，
两式相减可得
.
，
数列为递增数列；
又，
12．【答案】（1）证明：由，
得，
整理得，
又因为，
所以，
所以，．
所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
所以．
（2）解：依题意，得：，
所以，
则
.
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