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【期末专题复习】一元函数的导数及其应用解答题易错精选练习-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
1．已知函数．
（1）若，求函数在上的最大值和最小值；
（2）讨论函数的单调性．
2．已知函数.
（1）若关于的方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围.
3．已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数在上的单调区间和最小值.
4．已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .
（1）求 的值；
（2）求 在区间 上的最大值与最小值.
5．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）当时，证明：当时，恒成立．
6．已知函数在处取得极值．
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最小值．
7．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若恒成立，求实数的最大值．
8．已知函数，，，
（1）设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求；
（2）设函数，讨论的单调性．
9．已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值；
（3）若关于的方程有两个实根，，求证：．
10．已知函数.
（1）若在处的切线与直线垂直，求实数m的值；
（2）若，求函数的极值.
11．已知函数．
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）若（为函数的导函数），求在区间上的最大值和最小值．
12．已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，若在区间上的最小值为，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
令，解得或，
因为，所以当，，在单调递减，
当，，在单调递增，
故在时取到极小值，且，
又因为，，所以函数在上的最大值为，最小值为；
（2）解：函数定义域为，，
当，即时，，则函数在单调递增，
当，即时，令，解得，
当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增，
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减.
2．【答案】（1）解：因为的定义域为，
又当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
所以的单调减区间为；单调增区间为，
又因为时，，
故.
（2）解：设，
令则，
考查这个函数发现在恒正，
即当时，单调递增，
在上单调递增，
，
即实数的取值范围为.
3．【答案】（1）解：当时，定义域为，则，
故，，
故切线方程为，即.

（2）解：函数，则且，
当时，，的增区间为，；
当时，若时，，若时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时，，所以的减区间为，，
综上所述：当时，的增区间为，；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时，的减区间为，.
4．【答案】（1）解：函数定义域为，，
因为函数在点处的切线方程为，所以，
解得；
（2）解：由（1）知：，
令，解得，
随x的变换变换如下表所示：
x 1 3
10 6 10
由表知：函数在区间上的最大值为10，最小值为-10.
5．【答案】（1）解：因为定义域为，
所以
当时，，
则函数在上单调递减；
当时，时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上所述，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：当，且时，
则，
令，下证即可，
因为，
令，则，
显然在上单调递增，
则，
则在上递增，
所以，
则在上单调递增，
所以，得证.
6．【答案】（1）解：函数的定义域，，
由题意可得：，解得，
则，
令，解得或，令，解得，
则函数在，上单调递增，在上单调递减，
函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意，
故；
（2）解：由（1）得函数，，，
令，得，函数在单调递增，
令，得，函数在单调递减，
函数在处取极小值，则当时，的最小值为.
7．【答案】（1）解：函数的定义域为，且，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，，
令，解得；
令，解得，
所以在上单调递增，
在上单调递减；
综上可得：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，
在上单调递减．
（2）解：由，得，
显然，从而恒成立，
令，，
则，
令，，
因为在上单调递增，且，，
所以，，
所以当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为，所以，
所以，
所以，即实数的最大值为．
8．【答案】（1）解：函数定义域为，，则，，
即曲线在处的切线为，
联立，消元整理得，
因为与相切，所以，解得；
（2）解：函数的定义域为，
，
因为，令，得或，
当时，，则当和时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减增，
当时，，则当和时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减增，
当时，，当时取等号，函数在上单调递增，
综上所述，时，的单调增区间为，，单调减区间为，
时，的单调增区间为，没有单调递减区间，
时，的单调增区间为，，单调减区间为.
9．【答案】（1）解：，，
又，
则有，
即曲线在处的切线方程为；
（2）解：由题意可得在上恒成立，令，
则，
令，
则，
则当时，，
故在上单调递增，
则当时，，
当时，，
故在上单调递增，
有，符合要求，
当时，由，，
则存在，使，
即当时，，
当，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，不符合要求，故舍去，
综上所述，，故实数的最大值为；
（3），
由，即有有两个实根，，
令，，
当时，恒成立，不可能有两个实根，故舍去；
当，则时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则有，即，
又，
不妨令，则有，
有，令，，即有，
则有，即，
即，则要证，只需证，
即证， 令，即证，
令，，
则恒成立，
故在上单调递减，故，
即有在时恒成立，故得证；
由（2）可知，当时，在上恒成立，
即在上恒成立，
则当时，，即，
由，则、，
故，，
则，，
又，即，即，
即，则有，
整理得，即，即，
即；
综上，得证.
10．【答案】（1）
（2）极小值为，无极大值.
11．【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
12．【答案】（1）解：当时，，
则，，所以，
所以曲线在处的切线方程为：，
即．

（2）解：因为，
令，解得或，
当时，时，，则在上单调递减，
所以，考虑，；
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以的极大值为，所以由得；
当时，时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，则，不合题意；
当时，时，，则在上单调递减，
所以，不合题意；
综上所述，．
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