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【期末专题复习】立体几何初步解答题易错精选练习-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
1．（2024高一下·镇江期末）如图，在正方体中.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
2．（2024高一下·南充期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，是与的交点，平面，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正切值．
3．（2024高一下·吉林期末）四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
4．（2024高一下·柳州期末）在正方体中
（1）若分别为和的中点，求证：平面
（2）求二面角的正切值
（3）如图，为的中点，问：在棱上是否存在一点，使平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
5．（2024高一下·韶关期末）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点.
（1）求证：平面
（2）求证：平面平面
（3）若，求二面角 的余弦值.
6．（2024高一下·辽宁期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求三棱锥的体积．
7．（2024高一下·温州期末）如图，绕边BC旋转得到，其中，平面ABC，∥．
（1）证明：平面ACD；
（2）若二面角的平面角为，求锐二面角平面角的正弦值．
8．（2024高一下·辛集期末）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成的角；
(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
9．（2024高一下·即墨期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积.
10．（2024高一下·广州期末）如图，是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
11．（2024高一下·衡阳期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点F在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，.
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求二面角的余弦值.
12．（2024高一下·衡阳期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，为线段上的动点.
（1）若为的中点，求三棱锥的体积；
（2）若，问上是否存在点，使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由；
（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：在正方体中，
又平面，平面，所以平面；
（2）证明：连接、，在正方体中为正方形，
所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以.
2．【答案】（1）证明：连接，在平行四边形中，
因为为与的交点，所以为的中点，又因为为的中点，所以，
又因为平面平面，所以平面；
（2）证明：因为平面平面，所以，
在中，因为，，，所以，
因为平面平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（3）解：取的中点，连接，，如图所示：

因为为的中点，所以，且
由平面，得平面，
则是直线与平面所成的角，
因为，所以，
在Rt中，，则，，
在Rt中，，
则直线与平面所成角的正切值为.
3．【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
因为且，所以分别是的中点，所以且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：因为平面，平面，所以，
因为，所以，令，
又因为，，所以，
以为原点，所在方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
设点坐标为，则，
由得，则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，即平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
即平面的一个法向量为，
，故平面与平面夹角的余弦值为；
（3）解：存在，，理由如下：
设，
设，，
则，
因为与平面所成角的正弦值为，所以，
整理得，解得，
故存在满足条件的点，，则.
4．【答案】（1）证明：取中点，连接，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面；
（2）解：连接，设正方体边长为1，
由正方体性质可得，
又平面，平面，所以，
平面，所以平面，
又平面，则，
所以为二面角的平面角，
中，.
（3）解：在棱上存在一点M，使平面平面，
连接，如图所示：
则O是AC的中点，，
因为O是正方体中，BD的中点，所以，
所以，因为平面平面，所以面MBD，
所以，所以，
又，
则，
则，所以，
即.
5．【答案】（1）证明：取的中点，连接，
因为为棱的中点，
所以，，
又因为，，为的中点，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）证明：因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为，，平面，平面
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（3）解：取的中点，连接，
因为为的中点，
所以，
又因为，
所以，
因为直三棱柱的几何特征可得面，又因为面，
所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
所以二面角的平面角为，
因为，
所以，，
在中，，
所以，
所以二面角的余弦值为．
6．【答案】（1）证明：设与交于点，为的中点，连接，如图所示：
在中，是的中位线，则，
因为平面，平面，所以平面；
（2）证明：在中，，，，
由余弦定理，解得，
则，即，为直角三角形，，
又因为平面，平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（3）解：在中过点作，垂足为，
因为平面平面，且平面平面，所以平面，
易知，，
由，可得．
7．【答案】（1）证明：因为，且，平面，所以平面；
（2）解：过作，垂足为，连接，如图所示：
即，因为平面ACD，平面，则，
且，平面，则平面，
由平面，可得，
可知二面角的平面角为，且，可得，
由（1）可知：，则锐二面角平面角为，
且∥，可知，
可得，
则锐二面角平面角的正弦值为.
8．【答案】解：(1)证明：因为，是的中点，所以，
故四边形是菱形，从而，
所以沿着翻折成后，，，
又因为，
所以平面，
由题意，易知，，
所以四边形是平行四边形，故，
所以平面；
(2) 因为平面，
所以与平面所成的角为，
由已知条件，可知，，
所以是正三角形，所以，
所以与平面所成的角为30°；
(3) 假设线段上是存在点，使得平面，
过点作交于，连结，，如下图：
所以，所以，，， 四点共面，
又因为平面，所以，
所以四边形为平行四边形，故，
所以为中点，
故在线段上存在点，使得平面，且.
9．【答案】（1）证明：连结和交于，连结，
∵为正方形，
∴为中点，
∵为中点，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
（2）解：作于，
∵平面，平面，
∴，
∵为正方形，
∴，
∵，平面，
∴平面，
∴，
∵，
∴平面，
∵平面，平面，
∴，
∵，
∴，，
∴四棱锥的体积为：.
10．【答案】（1）证明：因为 为半球 的直径， 为 半球底面圆周上一点，
所以，
因为、 平面，
所以 平面，
又因为 平面，
所以，
又因为 为半球面上一点，
所以，
又因为 平面
所以 平面，
又因为 平面，
所以.
（2）解：因为三角形 为直角三角形，，
所以，
又因为 平面，
所以 ，
又因为三角形 也是直角三角形，
所以，
所以，
设点 到平面 的距离为，
则 ，
所以，
所以，
设直线 与平面 所成的角为，
则.
11．【答案】（1）证明：因为底面，底面，所以，
因为四边形为正方形，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
在中，，E是PC的中点，则，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：连接交于点，如图所示：
则，
因为底面，平面，所以，
又因为，则平面，
则点C到平面的距离为，
因为E是PC的中点，所以，
且，，，
所以，，
所以.
（3）解：由（1）可得平面，
因为平面，平面，
所以，，
则为二面角的平面角，
所以，，
因为，
所以，解得，
因为，则，
所以，
所以二面角的余弦值为.
12．【答案】（1）因为为的中点，所以点与点到平面的距离之比为，
故.

（2）存在，取AB的中点，连接DM交AC于点，连接EG，
则EG为面AEC与面PMD的交线.
易得，
在三角形中，，所以，所以平面EAC，
即存在点，且当为AB中点时，平面.

（3）过点P作，因为，
所以，面面，
因为面，所以，
又，，
所以面，
又因为，所以面，，，
所以是面与面所成锐二面角的平面角，
因为是等腰直角三角形，所以.
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