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期末必考题检测卷（一）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一、选择题
1．已知复数，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
3．下列命题中正确的是（　　）
A．零向量没有方向
B．共线向量一定是相等向量
C．若为实数，则向量与方向相同
D．单位向量的模都相等
4．已知 满足 (其中 是常数)，则 的形状一定是（　　）
A．正三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
5．已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（　　）
A．极差为10 B．中位数为7.5
C．平均数为8.5 D．标准差为
7．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，
8．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．在 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（　　）
A．B＝60°，c＝4，b＝5，有两解
B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解
C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解
D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解
10．已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有（　　）
A．
B．直线过边的中点
C．
D．若，则
11．维生素C又叫抗坏血酸，是种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素C的含量（单位：mg），得到数据如下.则下列说法正确的是（　　）
猕猴桃102 104 106 107 113 116 119 121 132 134
柚 子109 113 114 116 117 121 121 122 131 132
A．每100克柚子维生素C含量的众数为121
B．每100克柚子维生素C含量的75%分位数为122
C．每100克猕猴桃维生素C含量的极差高于每100克柚子维生素C含量的极差
D．每100克猕猴桃维生素C含量的平均数高于每100克柚子维生素C含量的平均数
三、填空题
12．已知向量，满足，，且，则，的夹角是　 　.
13．在山脚A测得山顶P的仰角，沿倾斜角的公路向上走600m到达B处，在B处测得山顶P的仰角，如图，若在山高的处的点S位置建造下山索道，则此索道离地面的高度为　 　m.
14．如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为　 　.
四、解答题
15．已知平面向量，且.
（1）求与的夹角的值；
（2）当取得最小值时，求实数的值.
16．2021年底某市城市公园主体建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），根据所得数据，按，，，，进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值，并估计该市市民评分的分位数；
（2）为进一步完善公园建设，按分层随机抽样的方法从评分在中抽取7人，再随机抽取其中2人进行座谈，求这2人的评分在同一组的概率.
17．记的内角的对边分别为，且．
（1）求的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
18．在中，角，，的对边分别为，，，且满足.
（1）求的大小；
（2）若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长.
19．如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
（3）若点为的中点，求点到平面的距离．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】A,B,C
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,B,C
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：由，，可得，
又，所以，又，所以；
（2）解：因为，，
所以，
所以的最小值为，此时.
16．【答案】（1）解：由题意得，，
解得.
因为，，
所以分位数位于之间，
则市民评分的分位数约为.
（2）解：由题意得，按分层随机抽样从评分在中抽取人，
其中评分在中有人，记为，；
评分在中有人，记为，，，，.
现抽取其中人进行问卷调查，共有21种情况，它们是：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
其中这2人评分在同一组有11种情况，它们是：
，，，，，，，，，，，
则所求概率.
17．【答案】（1）解：由正弦定理得，所以
，
得，因为，所以，
得，又，
所以
（2）解：由，得，
由余弦定理，得，
得，
得，
所以的周长为
18．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
又，
所以，
所以，又，所以，
所以，即，又，
所以；
（2）解：因为的面积为，即，
即，则，，
因为，所以，
在中，
即，当且仅当，即，时取等号，
所以，即的最小值为，此时，，
则，
所以，即.

19．【答案】（1）证明：因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
因为，点为中点，所以，
又因为平面平面，平面，所以平面；
（2）解：取中点，连接，，如图所示：
因为，，，点为中点，
所以四边为平行四边形，所以，
则直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，
因为平面，所以为直线与平面所成的角，
因为点为中点，，
所以，，，
则，又因为，所以，
故直线与平面所成角为；
（3）解：连结和，如图所示：
由，，，且平面，
则，，
，，，
是等边三角形，，
设点到平面的距离为，则，
即，解得，
则点到平面的距离为.
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