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期末必考题检测卷（二）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一、选择题
1．在中，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与 垂直的是（　　）
A． B． C． D．
3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（　　）
A． B． C． D．
4．若复数 ，其中i为虚数单位，则 =（　　）
A．1+i B．1 i C． 1+i D． 1 i
5．某疾病全球发病率为0.03%，该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为5%，检测的误诊率（未患病者判定为阳性的概率）为1%，则某人检测成阳性的概率约为（　　）
A．0.03% B．0.99% C．1.03% D．2.85%
6．某实验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田（种植环境相同）连续次的产如下：
甲
乙
则下列结论错误的是（　　）
A．甲种水稻产量的众数为
B．乙种水稻产的极差为
C．甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数
D．甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差
7．已知的三个内角A、B、C满足，当的值最大时，的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
8．已知 为空间两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题中不正确的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
二、多项选择题
9．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（　　）
A．“至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件
B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件
D．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
10．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（　　）
A．
B．的取值范围为
C．的取值范围为
D．的取值范围为
11．已知四边形ABCD是等腰梯形（如图1），，，，将沿DE折起，使得（如图2），连接AC，AB，设M是AB的中点.下列结论中正确的是（　　）
A．
B．点D到平面AMC的距离为
C．∥平面ACD
D．四面体ABCE的外接球表面积为
三、填空题
12．已知 ， ， ，则 的形状是　 　．
13．设的内角的对边分别为，若，则　 　．
14．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则　 　
四、解答题
15．已知，，且与的夹角为，求：
（1）；
（2）与的夹角；
（3）若向量与平行，求实数的值.
16．如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点．
（1）若，求实数x，y的值；
（2）若，求实数的值；
（3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值．
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若的面积为，且，求a，c．
18．2023年10月22日，2023襄阳马拉松成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数．
（2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差．
19．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.为的中点，点在上，且.
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为，若存在求出点的位置，不存在请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】B,C
10．【答案】A,C
11．【答案】A,B,D
12．【答案】直角三角形
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）
（2）
（3）
16．【答案】（1）
（2）
（3）
17．【答案】（1）解：由，
根据正弦定理可得：，
，
即，解得，
即，．
（2）解：由，，解得，
由余弦定理可得：，解得，
则，或，．
18．【答案】（1）解：由题意可知，
解得
可知每组的频率依次为，，
所以这100名候选者面试成绩的平均数为：
．
（2）解：设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为，
且各组频率之为：
，
所以，用分层抽样的方法抽取第二组面试者人，
第四组面试者人，
则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数，
则第二组、第四组面试者的面试成绩的方差为
故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是．
19．【答案】（1）证明：取的中点，连结，则四边形是正方形，
则，，所以，且
∴，所以，
∵平面平面，平面平面，PA在面PAB内，
∴平面；
（2）
在上取点，使，连结，在上取点，使，
在上取点，使，连结，则，且，则，
即，且，
则四边形是平行四边形，所以，且，即，
则，所以四点四点共面，连结，
，
∵，所以点三点共线，
∴五点共面，
即与平面交于点，
由（1）可知，平面，平面，
∴，且，，且平面，
∴平面，平面，
∴，
且是等腰直角三角形，点为的中点，
即，且，平面，
∴平面，
，
即，
，，，
∴，即，
∵，
∴，
设点到平面的距离为，则，
即，
∴，
∵点是的中点，
∴点到平面的距离也是，
若点到平面的距离为，则，
即存在点，使得点到平面的距离为，点为靠近点的三等分点.
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