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期末必考题检测卷（三）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一、选择题
1．已知向量，满足：，，，则（　　）
A． B．5 C． D．
2．长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为 ， ， ，则（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，某校数学兴趣小组对古塔AB进行测量，AB与地面垂直，从地面C点看塔顶A的仰角为，沿直线BC前行20米到点D此时看塔顶A的仰角为，根据以上数据可得古塔AB的高为（　　）米.
A． B．20 C．10 D．
4．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（　　）
A． B． C． D．
5．三棱锥中，平面平面ABC，是边长为2的正三角形，，则三棱锥外接球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（　　）
A． B．
C． D．为钝角三角形
7．设m，n是两条不同的直线， 是平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，则
8．如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（　　）
A．1 B． C． D．
二、多项选择题
9．已知复数是方程的两根，则（　　）
A．
B．
C．
D．在复平面内所对应的点位于第四象限
10．若的内角，，对边分别是，，，，且，则（　　）
A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为
C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为
11．如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（　　）
A．存在点，使得平面
B．周长的最小值为
C．三棱锥的外接球的体积为
D．平面与平面的夹角正弦值的最小值为
三、填空题
12．某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下：
性别 人数 平均数 方差
男生 100 172 18
女生 60 164 30
根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差　 　.
13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则　 　.
14．如图，在四面体中，与所成的角为，分别为的中点，则线段的长为　 　.
四、解答题
15．为普及抗疫知识 弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲 乙胜出的概率分别为 ， ；在第二轮比赛中，甲 乙胜出的概率分别为 ， .甲 乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）从甲 乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲 乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
16．如图，已知是边长为2的正三角形，点是边的四等分点．
（1）求的值；
（2）若为线段上一点，且，求实数的值；
（3）若为边上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置．
17．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率％时，求临界值c和误诊率；
（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．
18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，目．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积；
（3）若，，求中边上的中线长．
19．如图，在三棱柱中，与交于点，平面，，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】A,C
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】或
15．【答案】（1）解：设 “甲在第一轮比赛中胜出”， “甲在第二轮比赛中胜出” “乙在第一轮比赛中胜出”， “乙在第二轮比赛中胜出”，则 “甲赢得比赛”， “乙赢得比赛”，
， ， ，
，
同理
因为 ，所以，派甲参赛获胜的概率更大.
（2）解：由（1）知，设 “甲赢得比赛”， “乙赢得比赛”，
， ；
于是 “两人中至少有一人赢得比赛”.
.
16．【答案】（1）6
（2）
（3）
17．【答案】（1），；
（2），最小值为．
18．【答案】（1）解：在中，，由正弦定理得，
因为，，所以，
由，解得；
（2）解：在中，，，
由余弦定理，可得，解得，
由（1）知，则的面积；
（3）解：设为的中点，则，
即，解得，
故中边上的中线长为．

19．【答案】（1）证明：因为在三棱柱中，与交于点，
所以为的中点，又是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）证明：因为，是的中点，所以，
又因为平面，，所以平面，又平面，
所以，
又，平面，所以平面；
（3）解：取的中点，连接、、，如图所示：
则且，又因为且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成角的平面角，
因为平面，平面，所以，
设，则，，
所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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