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2025年浙江省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．（3分）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）如图所示，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝91°，则（　　）
A．∠2＝91° B．∠3＝91° C．∠4＝91° D．∠5＝91°
3．（3分）国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数2629300000000用科学记数法表示为（　　）
A．26.293×1011 B．2.6293×1012
C．0.26293×1013 D．2.6293×1013
4．（3分）底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）已知反比例函数y.下列选项正确的是（　　）
A．函数图象在第一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限
D．y随x的增大而增大
6．（3分）如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）．若DE的长为3，则D′E′的长为（　　）
A． B．4 C． D．5
7．（3分）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如表．
材料类别 彩色纸（张） 细木条（捆）
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）某书店某一天图书的销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（　　）
A．科技类图书销售了60册
B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比30%
D．其他类图书销售占比18%
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E．若AB＝2，则的长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
10．（3分）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　）
A．m＝12
B．n＝24
C．点C的纵坐标为240
D．点（15，85）在该函数图象上
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）|﹣5|　 　 ．
12．（3分）不等式组的解集是　 　 ．
13．（3分）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为500m，从点A观测点P的仰角为α，cosα＝0.98，则A处到B处的距离为　 　 m．
14．（3分）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是　 　 ．
15．（3分）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
【应用体验】
已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为 　 　 ．
16．（3分）如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为 　 　 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）化简求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2．
18．（8分）解分式方程：0．
19．（8分）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．（2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数．
20．（8分）2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自救防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如表．
班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5
（1）若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：83，91，83，90，83，88，91，求该班获奖选手成绩的众数与中位数．
（2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数．
21．（8分）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
（a±b）2＝a2±2ab+b2
近似计算算术平方根的方法．
例如求的近似值．
因为64＜67＜81，
所以89，
则可以设成以下两种形式：
①8+s，其中0＜s＜1；
②9﹣t，其中0＜t＜1．
小明以①的形式求的近似值的过程如表．
因为8+s， 所以67＝（8+s）2， 即67＝64+16s+s2． 因为s2比较小， 将s2忽略不计， 所以67≈64+16s， 即16s≈67﹣64， 得s， 故8.19．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD，OE．
（1）求证：OD⊥OE．
（2）若AB＝BC，OB，求四边形ODCE的面积．
23．（10分）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．
（1）求a的值．
（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值．
24．（12分）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8．
（1）如图1，求sin∠BAC的值．
（2）如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP．
①当EF⊥AC时，求AE的长．
②求PA﹣PB的最小值．
2025年浙江省中考数学试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．A 2．B 3．B 4．A 5．C
6．C 7．C 8．D 9．B 10．D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．2 12．﹣2≤x＜4 13．490 14． 15．8 16．2
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解：x（5﹣x）+x2+3
＝5x﹣x2+x2+3
＝5x+3，
当x＝2时，
原式＝5×2+3＝13．
18．解：，
方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得3（x﹣1）﹣（x+1）＝0，
去括号，得3x﹣3﹣x﹣1＝0，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝2．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，
∵DE＝DA，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝22.5°．
20．解：①班获奖选手的成绩从小到大排列为：83，83，83，88，90，91，91，
排在中间的两个数都是88，故该班获奖选手成绩的中位数为88；
83出现的次数最多，故该班获奖选手成绩的众数为83；
（2）随机抽取的10个班级获奖人数的平均数为：（7+8+6+8+6+6+9+7+8+5）＝7（人），
120×7＝840（人），
答：估计全县九年级参赛选手获奖的总人数为840人．
21．解：（1）设，其中0＜t＜1，
∴，
∴67＝81﹣18t+t2，
∵t2比较小，将t2忽略不计，
∴67≈81﹣18t，
∴，
∴；
（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下；
∵8.18×8.18＝66.9124，8.19×8.19＝67.0761，，
∴，
∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高．
22．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
由作图可知：OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵以点O为圆心，OB长为半径的半圆与AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴OD⊥OE；
（2）解：∵AB＝AC，AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
在Rt△AEO中，OE＝OD＝OB，
则OA2，AE1，
∴AB＝2，
∴EC＝AC﹣AE＝21＝1，
则四边形ODCE的面积为：（1）3．
23．解：（1）把（1，0）代入y＝x2﹣ax+5，
得：1﹣a+5＝0，
解得：a＝6；
（2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5，
∴对称轴为直线，
∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，
又∵点B为线段AC的中点，
∴xc＝2xB，
∴，
∴xB＝2，
∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5，
得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3，
∴t＝﹣3；
（3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4），
当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，m，n为直线与抛物线的交点，
∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称，
又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图：
∴当x2﹣6x+5＝12时，
解得：x1＝7，x2＝﹣1，
即：n＝7，m＝﹣1，
∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8．
24．解：（1）如图，设AC，BD交于点O，
∵在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，
∴AC⊥BC，，
∴，
∴；
（2）①如图，设AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BC，，BD＝2OB，AD＝AB＝5，
∴，
∴BD＝6；
∵EF⊥AC，AC⊥BC，
∴EF∥BD，
∴∠DBE＝∠FEB，
由轴对称的性质可得∠AEB＝∠FEB，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DE＝DB＝6，
∴AE＝AD+DE＝11；
②在 Rt△BOP中，由勾股定理得，
∵PA＝OA+OP＝4+OP，
∴PA﹣PB＝4+OP
，
∵，
∴要使 PA﹣PB的值最小，则要最大，
∴要有最小值，
又∵的值随着OP的值增大而增大，
∴的值随着OP的值增大而增大，
∴当OP有最小值时，有最小值，即此时有最大值，
∴当OP有最小值时，PA﹣PB有最小值；
如图所示，过点B作BH⊥AD于H，BT⊥FE于T，
∵，
∴，
∴由轴对称的性质可得，
在Rt△POB中，由勾股定理得，
∴当PB有最小值时，OP有最小值，
由垂线段最短可知，
∴当点P与点T重合时，BP有最小值，最小值为，
∴，
∴．
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