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四川省绵阳市江油市2025年中考二模数学试题
1．（2025·江油模拟）2的算术平方根是（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：2的算术平方根是．
故答案为：A
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案.
2．（2025·江油模拟）下列图标中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故答案为：A．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．（2025·江油模拟）下列几何体中，主视图是三角形的几何体是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条竖线，故此选项错误；
B、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；
C、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；
D、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误．
故答案为：C．
【分析】根据几何体的三视图逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025·江油模拟）随着中国“一带一路”朋友圈的不断扩大，对外贸易持续快速增加，截至2024年底中欧班列（成渝）累计开行超36000列，将36000用科学记数法表示应是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：36000用科学记数法表示应是；
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，它等于原数的整数数位与1的差．
5．（2025·江油模拟）以下说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，正确，符合题意；
B、当时，，原说法错误，不符合题意；
C、若，，则，原说法错误，不符合题意；
D、若，，则，原说法错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025·江油模拟）已知二次函数，将其函数图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的抛物线所对应的解析式应是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：二次函数变为顶点式为．
顶点坐标为．
由题意得平移后顶点坐标为，即．
新顶点坐标为．
新顶点式为．
新解析式展开为．
故答案为：C．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
7．（2025·江油模拟）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．且 B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当时，方程化为，解得，故原方程有实数根，符合题意；
当时，当，即时，原方程有两个实数根，
综上，满足条件的k的取值范围为，
故答案为：B．
【分析】分情况讨论：当时，可得一次方程，解方程即可求出答案； 当时 ，为二次方程，要使方程有实根，则判别式，解方程即可求出答案.
8．（2025·江油模拟）如图，是的一条弦，直径于点．若，，则的直径为（　　）
A．5 B．6 C． D．13
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
设的半径为，则，
，
，
是的一条弦，直径于点，，
，
，即，
解得，
的直径为，
故答案为：D．
【分析】连接，设的半径为，则，根据边之间的关系可得OE=r-4，再根据垂径定理可得AE=6，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
9．（2025·江油模拟）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，受西风的影响，以的速度沿与地面成角的方向飞行，后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为，则小山东西两侧A，B两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，作于D，
在中，，，
∴，
在中，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】作于D，由题意可得，， 根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得AD，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
10．（2025·江油模拟）如图，D为中边上的中点，，若，与交于点F，，则的长是（　　）
A．4 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：，
，，，，
∴，
，
，
，
，
∴，
∵D为中边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据全等三角形判定定理可得，，，，则，根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，则，根据线段中点可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
11．（2025·江油模拟）二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴是直线，且该图象过点．有下列说法：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．其中正确的是（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，则，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，，
所以①②正确；
∵对称轴是直线，且该图象过点．
∴抛物线过点
∴时，，
∴，所以③错误；
∵点离对称轴要比点离对称轴要远，
∴，所以④正确．
综上可知，①②④正确，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
12．（2025·江油模拟）如图，在中，，，与交于点C，与相切，过点C作，交于点D，M是边上一动点，则当的周长最小时，的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，延长交于点E，连接，交于点M，
∵，，
∴垂直平分，则，
∴，此时周长最小．
设，，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
设于相切于点F，连接，
则，又，
∴，
∴，即，
解得，
∴
故答案为：B．
【分析】延长交于点E，连接，交于点M，根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，根据边之间的关系可得，此时周长最小，设，，根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，即，根据正切定义可得，根据勾股定理可得BD，设于相切于点F，连接，根据切线性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据正切定义即可求出答案.
13．（2025·江油模拟）因式分解：x3-9x=　 　.
【答案】x（x+3）（x-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3﹣9x=x（x2-9）=x（x+3）（x-3）
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解。
14．（2025·江油模拟）如图，直线，，交于一点，直线，若，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据对顶角相等可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
15．（2025·江油模拟）一个不透明的袋中共有6个小球，分别为3个红球和3个黄球，它们除颜色外无其他差别．随机摸出两个小球，摸出两个颜色均为红色小球的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表表示所有可能的结果如下表所示，
（黄球用m表示，红球用n表示）．
　 m m m n n n
m 　 m，m m，m m，n m，n m，n
m m，m 　 m，m m，n m，n m，n
m m，m m，m 　 m，n m，n m，n
n n，m n，m n，m 　 n，n n，n
n n，m n，m n，m n，n 　 n，n
n n，m n，m n，m n，n n，n 　
所有等可能的结果有30种，两个都是红球的结果有6种，
∴恰好都是红球的概率为．
故答案为：．
【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再求出 两个都是红球的结果，再根据概率公式即可求出答案.
16．（2025·江油模拟）如图，某农场拟建造由甲．乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的一面靠长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造　 　
【答案】48
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设宽为x米，则长为米，
则，
解得：
由题意得：，
∵，
∴当时，取得最大值，
即该羊圈最大面积可以建造，
故答案为：48．
【分析】设宽为x米，则长为米，先求出的取值范围，再根据面积公式建立函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
17．（2025·江油模拟）已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得，
，
∵不等式的解都能使不等式成立，
∴当，即时
不等式，
，
，
可以取任意实数，那么的解必然能使该不等式成立，
所以满足条件．
当，即时
不等式其解为．
因为的解都能使成立，
所以．
解不等式：
，结合前提，这种情况满足条件．
当，即时
不等式其解为．
要使的解都能使成立，那么．
解不等式：
，结合前提，得到．
综合以上三种情况．
故答案为：．
【分析】求出不等式的解，分类讨论求出不等式的解集，得出关于a的不等式，解不等式即可求出答案.
18．（2025·江油模拟）如图，在菱形中，与交于点O，F为．上一点，且，连接与交于点M，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，则，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作，交的延长线于点，则，根据菱形性质可得，，则，根据角之间的关系可得，根据哈30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得BH，再根据勾股定理可得EH，BE，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得OA，OC，OE，OB，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
19．（2025·江油模拟）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）
；
（2）
；
当时，原式
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据二次根式性质，负整数指数幂，0指数幂，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将x值代入，进行分母有理化化简即可求出答案.
20．（2025·江油模拟）“低碳生活，绿色出行”的理念逐渐深入人心，更多居民选择共享单车作为出行的交通工具，某中学课外兴趣小组为了解某小区居民每周使用共享单车时间的情况，随机抽取了该小区部分使用共享单车的居民进行调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①、图②两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：
（1）本次接受问卷调查的共有___________人；在扇形图中，“A”选项所占的百分比为___________．
（2）扇形图中，“B”选项所对应的扇形圆心角的度数为___________．
（3）请补全条形图．
（4）若该小区共有1200名居民使用共享单车，请你估计这1200名居民使用共享单车的时间在“D”选项的有多少人．
【答案】（1），
（2）
（3）解：“”选项的人数为，补全条形图如图所示
（4）解：（人）．
答：估计这名居民使用共享单车的时间在“”选项的有人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人）．．
本次接受问卷调查的共有人，在扇形图中，“”选项所占的百分比为%．
故答案为：；.
（2）扇形图中，“”选项所对应的扇形圆心角的度数为．
故答案为：72°.
【分析】（1）根据组的百分比和人数即可求出总人数，再由组的人数除以总人数即可求出组所占百分比；
（2）根据圆心角=百分比计算即可；
（3）求出组人数，画出条形图即可；
（4）用样本估计总体的思想即可求解．
（1）解：（人）．．
本次接受问卷调查的共有人，在扇形图中，“”选项所占的百分比为%．
（2）扇形图中，“”选项所对应的扇形圆心角的度数为．
（3）“”选项的人数为，补全条形图如图所示
（4）（人）．
答：估计这名居民使用共享单车的时间在“”选项的有人．
21．（2025·江油模拟）随着汽车拥有量的持续增加，城市交通堵塞情况日益严重，为优化交管措施，相关部门对一城市主干道交通情况进行了调研．通常情况下，当主干道上的车流密度达到200辆时，造成堵塞，此时车流平均速度为；当车流密度不高于50辆时，车流平均速度为．研究表明：当时，车流平均速度v（单位：）是车流密度x（单位：辆）的一次函数．
（1）当时，求v关于x的函数解析式；
（2）已知车流量车流密度车流速度（车流量为单位时间内通过主干道上某观测点的车辆数，单位：辆），设车流量为y，请写出y关于车流密度x的函数解析式，并求出当车流密度x为多少时车流量y可以达到最大，求出最大值（精确到1辆）．
【答案】（1）解：由题意，得当时，
设．
当时，；当时，．
∴，
解得．
∴v关于x的函数解析式为
（2）解：由题意，得．
①当时，，当时，y取得最大值为．
②当时，．
当时，y有最大值，最大值为．
综上所述，当时，车流量y可以达到最大，最大值约为3333
【知识点】二次函数的最值；函数实际问题中的最值
【解析】【分析】（1）当时，设，根据待定系数法将，，，代入解析式即可求出答案.
（2）根据题意得出车流量y关于车流密度x的函数解析式，分为①当时；②当时，结合一次函数与二次函数性质即可求出答案.
（1）解：由题意，得当时，
设．
当时，；当时，．
∴，
解得．
∴v关于x的函数解析式为．
（2）解：由题意，得．
①当时，，当时，y取得最大值为．
②当时，．
当时，y有最大值，最大值为．
综上所述，当时，车流量y可以达到最大，最大值约为3333．
22．（2025·江油模拟）如图，B是反比例函数图象上的一点，点A的坐标为是等边三角形．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若D为反比例函数图象上位于点B右边的一点，C为x轴上的点，是等边三角形，求点D的坐标．
【答案】（1）解：如图①，过点B作轴，垂足为H，
∵点A的坐标为是等边三角形．
∴是线段的垂直平分线．．
∴．
在中，，
∴，即．
∵点B在反比例函数的图象上，
将代入，得，
∴反比例函数的解析式为
（2）解：如图②，过点D作轴，垂足为K．
∵是等边三角形，
∴．
∵点D在反比例函数的图象上，
∴设．
在中，，，，
∴，
∴，
整理得，
解得，．
∵，
∴，
∴，
∴点D的坐标为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点B作轴，垂足为H，根据等边三角形性质可得是线段的垂直平分线．，则，再根据含30°角的直角三角形性质可得，即，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）过点D作轴，垂足为K，根据等边三角形性质可得，设，根据边之间的关系可得，建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：如图①，过点B作轴，垂足为H，
∵点A的坐标为是等边三角形．
∴是线段的垂直平分线．．
∴．
在中，，
∴，即．
∵点B在反比例函数的图象上，
将代入，得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：如图②，过点D作轴，垂足为K．
∵是等边三角形，
∴．
∵点D在反比例函数的图象上，
∴设．
在中，，，，
∴，
∴，
整理得，
解得，．
∵，
∴，
∴，
∴点D的坐标为．
23．（2025·江油模拟）如图，为的直径，D，E为上的点，=，延长至点C，连接，，延长与交于点F，，
（1）求证：与相切．
（2）求的值．
【答案】（1）证明：如图①，连接．
∵，
∴，
∴．
又，
∴．
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，即．
∵为的直径，
∴与相切
（2）解：如图②，连接，过点作，垂足为．
为的直径，
．
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
，
，
．
在中，，，
，解得．
，则．
又，，
，
，
．
，
，
，
．
设，则，
，解得，即．
在中，，，，
，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，则，即，再根据直角所对的圆周角为直角可得，则，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，过点作，垂足为，根据圆周角定理可得。根据全等三角形判定定理可得，则，即，再根据正切定义可得，则，根据勾股定理可得，则，则，再根据勾股定理可得，则，根据直线平行判定定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，代入等式，解方程可得，即，再根据勾股定理可得CF，再根据正弦定义即可求出答案.
（1）证明：如图①，连接．
∵，
∴，
∴．
又，
∴．
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，即．
∵为的直径，
∴与相切．
（2）解：如图②，连接，过点作，垂足为．
为的直径，
．
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
，
，
．
在中，，，
，解得．
，则．
又，，
，
，
．
，
，
，
．
设，则，
，解得，即．
在中，，，，，
．
24．（2025·江油模拟）如图，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，E为x轴负半轴上的点，F为抛物线第一象限上的点，，D为直线上的点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，若四边形是平行四边形，求直线的解析式；
（3）如图②，直线满足（2）中的条件，M为直线上的点，当点D在第一、象限中，且，求点D的坐标．
【答案】（1）解：点在抛物线上，
．
将代入，
得，
抛物线的解析式为．
（2）解：如图③，过点作，垂足为．
由（1）可得抛物线的解析式为，
，
是等腰直角三角形，
．
设直线的解析式为，则，
直线的解析式为．
四边形是平行四边形，
，，，
，
，，
，
．
点在直线上，把代入中，
得，解得，
直线的解析式为
（3）解：如图④，过点D作，垂足为H，过点B作，垂足为N，过点N作，垂足为K．
∵，
∴，
∴，
∴，则．
，则，
由直线EF的解析式为，得．
∵，，
∴直线BN的解析式为，
∴，
∴，
∴，
，
∴，，
整理可得，
解得．
∵点D在第一象限内，
∴，
∴，
即当△ADE∽△DBM时，点D的坐标为．
【知识点】解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊四边形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点C，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）过点作，垂足为，根据x轴上点的坐标特征可得，则是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可得，设直线的解析式为，则，即直线的解析式为，根据平行四边形性质可得，，，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据边之间的关系可得OG，则，再根据待定系数法将点D坐标代入直线EF解析式即可求出答案.
（3）过点D作，垂足为H，过点B作，垂足为N，过点N作，垂足为K，根据相似三角形性质可得，则，根据正切定义可得，根据x轴上点的坐标特征可得在，求出直线BN的解析式为，则，根据两点间距离可得，则，，正切定义可得，解方程，结合第一象限内点的坐标特征即可求出答案.
（1）解：点在抛物线上，
．
将代入，
得，
抛物线的解析式为．
（2）如图③，过点作，垂足为．
由（1）可得抛物线的解析式为，
，
是等腰直角三角形，
．
设直线的解析式为，则，
直线的解析式为．
四边形是平行四边形，
，，，
，
，，
，
．
点在直线上，把代入中，
得，解得，
直线的解析式为
（3）如图④，过点D作，垂足为H，过点B作，垂足为N，过点N作，垂足为K．
∵，
∴，
∴，
∴，则．
，则，
由直线EF的解析式为，得．
∵，，
∴直线BN的解析式为，
∴，
∴，
∴，
，
∴，，
整理可得，
解得．
∵点D在第一象限内，
∴，
∴，
即当△ADE∽△DBM时，点D的坐标为．
25．（2025·江油模拟）如图，在四边形中，，点M在上，点N在上，且，，，．
（1）求证：．
（2）如图①，当时，求的长．
（3）如图②，点E在线段上，且，过点E作，交于点F，在的延长线上有一点P，射线上有一点Q，且．若，求的值．
【答案】（1）证明：如图③，连接，过点C作于点H，过点B作于点G．
∵，，
∴．
∴，即，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
又，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：如图④，连接，过点C作于点T，在上取点K，使，连接．
令，，
设．由（1）可得．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，即，
∴，
∴，．
在中，，，
∴，
∴，，．
在等腰三角形中，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
解得，
即当时，的长为；
（3）解：如图⑤，在的延长线取点W，且，过点C作于点J．设与的交点为R．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
在中，由（2）可得．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，过点C作于点H，过点B作于点G，根据直线平行性质可得，再根据正弦定义可得，根据勾股定理可得AG，再根据边之间的关系可得AH，则，再根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）连接，过点C作于点T，在上取点K，使，连接，令，，设．由（1）可得．根据直线平行性质可得，根据等边对等角可得，则，再根据直线平行性质可得，则，再根据角之间的关系可得，根据边之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据勾股定理可得CD，解直角三角形可得，，，，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（3）在的延长线取点W，且，过点C作于点J．设与的交点为R，根据正弦定义可得，根据边之间的关系可得，再根据直线平行性质可得，根据正切定义可得，根据边之间的关系可得EF，PF，EP，AW，再根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）证明：如图③，连接，过点C作于点H，过点B作于点G．
∵，，
∴．
∴，即，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
又，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：如图④，连接，过点C作于点T，在上取点K，使，连接．
令，，
设．由（1）可得．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，即，
∴，
∴，．
在中，，，
∴，
∴，，．
在等腰三角形中，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
解得，
即当时，的长为；
（3）解：如图⑤，在的延长线取点W，且，过点C作于点J．设与的交点为R．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
在中，由（2）可得．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
1 / 1四川省绵阳市江油市2025年中考二模数学试题
1．（2025·江油模拟）2的算术平方根是（　　）
A． B． C．4 D．
2．（2025·江油模拟）下列图标中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·江油模拟）下列几何体中，主视图是三角形的几何体是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·江油模拟）随着中国“一带一路”朋友圈的不断扩大，对外贸易持续快速增加，截至2024年底中欧班列（成渝）累计开行超36000列，将36000用科学记数法表示应是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·江油模拟）以下说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
6．（2025·江油模拟）已知二次函数，将其函数图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的抛物线所对应的解析式应是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·江油模拟）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．且 B． C． D．
8．（2025·江油模拟）如图，是的一条弦，直径于点．若，，则的直径为（　　）
A．5 B．6 C． D．13
9．（2025·江油模拟）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，受西风的影响，以的速度沿与地面成角的方向飞行，后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为，则小山东西两侧A，B两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·江油模拟）如图，D为中边上的中点，，若，与交于点F，，则的长是（　　）
A．4 B．3 C． D．
11．（2025·江油模拟）二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴是直线，且该图象过点．有下列说法：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．其中正确的是（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④
12．（2025·江油模拟）如图，在中，，，与交于点C，与相切，过点C作，交于点D，M是边上一动点，则当的周长最小时，的值为（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·江油模拟）因式分解：x3-9x=　 　.
14．（2025·江油模拟）如图，直线，，交于一点，直线，若，，则的度数为　 　．
15．（2025·江油模拟）一个不透明的袋中共有6个小球，分别为3个红球和3个黄球，它们除颜色外无其他差别．随机摸出两个小球，摸出两个颜色均为红色小球的概率为　 　．
16．（2025·江油模拟）如图，某农场拟建造由甲．乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的一面靠长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造　 　
17．（2025·江油模拟）已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是　 　．
18．（2025·江油模拟）如图，在菱形中，与交于点O，F为．上一点，且，连接与交于点M，则的长为　 　．
19．（2025·江油模拟）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中．
20．（2025·江油模拟）“低碳生活，绿色出行”的理念逐渐深入人心，更多居民选择共享单车作为出行的交通工具，某中学课外兴趣小组为了解某小区居民每周使用共享单车时间的情况，随机抽取了该小区部分使用共享单车的居民进行调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①、图②两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：
（1）本次接受问卷调查的共有___________人；在扇形图中，“A”选项所占的百分比为___________．
（2）扇形图中，“B”选项所对应的扇形圆心角的度数为___________．
（3）请补全条形图．
（4）若该小区共有1200名居民使用共享单车，请你估计这1200名居民使用共享单车的时间在“D”选项的有多少人．
21．（2025·江油模拟）随着汽车拥有量的持续增加，城市交通堵塞情况日益严重，为优化交管措施，相关部门对一城市主干道交通情况进行了调研．通常情况下，当主干道上的车流密度达到200辆时，造成堵塞，此时车流平均速度为；当车流密度不高于50辆时，车流平均速度为．研究表明：当时，车流平均速度v（单位：）是车流密度x（单位：辆）的一次函数．
（1）当时，求v关于x的函数解析式；
（2）已知车流量车流密度车流速度（车流量为单位时间内通过主干道上某观测点的车辆数，单位：辆），设车流量为y，请写出y关于车流密度x的函数解析式，并求出当车流密度x为多少时车流量y可以达到最大，求出最大值（精确到1辆）．
22．（2025·江油模拟）如图，B是反比例函数图象上的一点，点A的坐标为是等边三角形．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若D为反比例函数图象上位于点B右边的一点，C为x轴上的点，是等边三角形，求点D的坐标．
23．（2025·江油模拟）如图，为的直径，D，E为上的点，=，延长至点C，连接，，延长与交于点F，，
（1）求证：与相切．
（2）求的值．
24．（2025·江油模拟）如图，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，E为x轴负半轴上的点，F为抛物线第一象限上的点，，D为直线上的点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，若四边形是平行四边形，求直线的解析式；
（3）如图②，直线满足（2）中的条件，M为直线上的点，当点D在第一、象限中，且，求点D的坐标．
25．（2025·江油模拟）如图，在四边形中，，点M在上，点N在上，且，，，．
（1）求证：．
（2）如图①，当时，求的长．
（3）如图②，点E在线段上，且，过点E作，交于点F，在的延长线上有一点P，射线上有一点Q，且．若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：2的算术平方根是．
故答案为：A
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故答案为：A．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条竖线，故此选项错误；
B、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；
C、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；
D、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误．
故答案为：C．
【分析】根据几何体的三视图逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：36000用科学记数法表示应是；
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，它等于原数的整数数位与1的差．
5．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，正确，符合题意；
B、当时，，原说法错误，不符合题意；
C、若，，则，原说法错误，不符合题意；
D、若，，则，原说法错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：二次函数变为顶点式为．
顶点坐标为．
由题意得平移后顶点坐标为，即．
新顶点坐标为．
新顶点式为．
新解析式展开为．
故答案为：C．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当时，方程化为，解得，故原方程有实数根，符合题意；
当时，当，即时，原方程有两个实数根，
综上，满足条件的k的取值范围为，
故答案为：B．
【分析】分情况讨论：当时，可得一次方程，解方程即可求出答案； 当时 ，为二次方程，要使方程有实根，则判别式，解方程即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
设的半径为，则，
，
，
是的一条弦，直径于点，，
，
，即，
解得，
的直径为，
故答案为：D．
【分析】连接，设的半径为，则，根据边之间的关系可得OE=r-4，再根据垂径定理可得AE=6，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，作于D，
在中，，，
∴，
在中，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】作于D，由题意可得，， 根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得AD，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：，
，，，，
∴，
，
，
，
，
∴，
∵D为中边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据全等三角形判定定理可得，，，，则，根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，则，根据线段中点可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，则，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，，
所以①②正确；
∵对称轴是直线，且该图象过点．
∴抛物线过点
∴时，，
∴，所以③错误；
∵点离对称轴要比点离对称轴要远，
∴，所以④正确．
综上可知，①②④正确，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】切线的性质；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，延长交于点E，连接，交于点M，
∵，，
∴垂直平分，则，
∴，此时周长最小．
设，，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
设于相切于点F，连接，
则，又，
∴，
∴，即，
解得，
∴
故答案为：B．
【分析】延长交于点E，连接，交于点M，根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，根据边之间的关系可得，此时周长最小，设，，根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，即，根据正切定义可得，根据勾股定理可得BD，设于相切于点F，连接，根据切线性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据正切定义即可求出答案.
13．【答案】x（x+3）（x-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3﹣9x=x（x2-9）=x（x+3）（x-3）
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解。
14．【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据对顶角相等可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表表示所有可能的结果如下表所示，
（黄球用m表示，红球用n表示）．
　 m m m n n n
m 　 m，m m，m m，n m，n m，n
m m，m 　 m，m m，n m，n m，n
m m，m m，m 　 m，n m，n m，n
n n，m n，m n，m 　 n，n n，n
n n，m n，m n，m n，n 　 n，n
n n，m n，m n，m n，n n，n 　
所有等可能的结果有30种，两个都是红球的结果有6种，
∴恰好都是红球的概率为．
故答案为：．
【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再求出 两个都是红球的结果，再根据概率公式即可求出答案.
16．【答案】48
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设宽为x米，则长为米，
则，
解得：
由题意得：，
∵，
∴当时，取得最大值，
即该羊圈最大面积可以建造，
故答案为：48．
【分析】设宽为x米，则长为米，先求出的取值范围，再根据面积公式建立函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得，
，
∵不等式的解都能使不等式成立，
∴当，即时
不等式，
，
，
可以取任意实数，那么的解必然能使该不等式成立，
所以满足条件．
当，即时
不等式其解为．
因为的解都能使成立，
所以．
解不等式：
，结合前提，这种情况满足条件．
当，即时
不等式其解为．
要使的解都能使成立，那么．
解不等式：
，结合前提，得到．
综合以上三种情况．
故答案为：．
【分析】求出不等式的解，分类讨论求出不等式的解集，得出关于a的不等式，解不等式即可求出答案.
18．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，则，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作，交的延长线于点，则，根据菱形性质可得，，则，根据角之间的关系可得，根据哈30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得BH，再根据勾股定理可得EH，BE，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得OA，OC，OE，OB，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
19．【答案】解：（1）
；
（2）
；
当时，原式
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据二次根式性质，负整数指数幂，0指数幂，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将x值代入，进行分母有理化化简即可求出答案.
20．【答案】（1），
（2）
（3）解：“”选项的人数为，补全条形图如图所示
（4）解：（人）．
答：估计这名居民使用共享单车的时间在“”选项的有人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人）．．
本次接受问卷调查的共有人，在扇形图中，“”选项所占的百分比为%．
故答案为：；.
（2）扇形图中，“”选项所对应的扇形圆心角的度数为．
故答案为：72°.
【分析】（1）根据组的百分比和人数即可求出总人数，再由组的人数除以总人数即可求出组所占百分比；
（2）根据圆心角=百分比计算即可；
（3）求出组人数，画出条形图即可；
（4）用样本估计总体的思想即可求解．
（1）解：（人）．．
本次接受问卷调查的共有人，在扇形图中，“”选项所占的百分比为%．
（2）扇形图中，“”选项所对应的扇形圆心角的度数为．
（3）“”选项的人数为，补全条形图如图所示
（4）（人）．
答：估计这名居民使用共享单车的时间在“”选项的有人．
21．【答案】（1）解：由题意，得当时，
设．
当时，；当时，．
∴，
解得．
∴v关于x的函数解析式为
（2）解：由题意，得．
①当时，，当时，y取得最大值为．
②当时，．
当时，y有最大值，最大值为．
综上所述，当时，车流量y可以达到最大，最大值约为3333
【知识点】二次函数的最值；函数实际问题中的最值
【解析】【分析】（1）当时，设，根据待定系数法将，，，代入解析式即可求出答案.
（2）根据题意得出车流量y关于车流密度x的函数解析式，分为①当时；②当时，结合一次函数与二次函数性质即可求出答案.
（1）解：由题意，得当时，
设．
当时，；当时，．
∴，
解得．
∴v关于x的函数解析式为．
（2）解：由题意，得．
①当时，，当时，y取得最大值为．
②当时，．
当时，y有最大值，最大值为．
综上所述，当时，车流量y可以达到最大，最大值约为3333．
22．【答案】（1）解：如图①，过点B作轴，垂足为H，
∵点A的坐标为是等边三角形．
∴是线段的垂直平分线．．
∴．
在中，，
∴，即．
∵点B在反比例函数的图象上，
将代入，得，
∴反比例函数的解析式为
（2）解：如图②，过点D作轴，垂足为K．
∵是等边三角形，
∴．
∵点D在反比例函数的图象上，
∴设．
在中，，，，
∴，
∴，
整理得，
解得，．
∵，
∴，
∴，
∴点D的坐标为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点B作轴，垂足为H，根据等边三角形性质可得是线段的垂直平分线．，则，再根据含30°角的直角三角形性质可得，即，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）过点D作轴，垂足为K，根据等边三角形性质可得，设，根据边之间的关系可得，建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：如图①，过点B作轴，垂足为H，
∵点A的坐标为是等边三角形．
∴是线段的垂直平分线．．
∴．
在中，，
∴，即．
∵点B在反比例函数的图象上，
将代入，得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：如图②，过点D作轴，垂足为K．
∵是等边三角形，
∴．
∵点D在反比例函数的图象上，
∴设．
在中，，，，
∴，
∴，
整理得，
解得，．
∵，
∴，
∴，
∴点D的坐标为．
23．【答案】（1）证明：如图①，连接．
∵，
∴，
∴．
又，
∴．
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，即．
∵为的直径，
∴与相切
（2）解：如图②，连接，过点作，垂足为．
为的直径，
．
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
，
，
．
在中，，，
，解得．
，则．
又，，
，
，
．
，
，
，
．
设，则，
，解得，即．
在中，，，，
，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，则，即，再根据直角所对的圆周角为直角可得，则，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，过点作，垂足为，根据圆周角定理可得。根据全等三角形判定定理可得，则，即，再根据正切定义可得，则，根据勾股定理可得，则，则，再根据勾股定理可得，则，根据直线平行判定定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，代入等式，解方程可得，即，再根据勾股定理可得CF，再根据正弦定义即可求出答案.
（1）证明：如图①，连接．
∵，
∴，
∴．
又，
∴．
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，即．
∵为的直径，
∴与相切．
（2）解：如图②，连接，过点作，垂足为．
为的直径，
．
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
，
，
．
在中，，，
，解得．
，则．
又，，
，
，
．
，
，
，
．
设，则，
，解得，即．
在中，，，，，
．
24．【答案】（1）解：点在抛物线上，
．
将代入，
得，
抛物线的解析式为．
（2）解：如图③，过点作，垂足为．
由（1）可得抛物线的解析式为，
，
是等腰直角三角形，
．
设直线的解析式为，则，
直线的解析式为．
四边形是平行四边形，
，，，
，
，，
，
．
点在直线上，把代入中，
得，解得，
直线的解析式为
（3）解：如图④，过点D作，垂足为H，过点B作，垂足为N，过点N作，垂足为K．
∵，
∴，
∴，
∴，则．
，则，
由直线EF的解析式为，得．
∵，，
∴直线BN的解析式为，
∴，
∴，
∴，
，
∴，，
整理可得，
解得．
∵点D在第一象限内，
∴，
∴，
即当△ADE∽△DBM时，点D的坐标为．
【知识点】解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊四边形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点C，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）过点作，垂足为，根据x轴上点的坐标特征可得，则是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可得，设直线的解析式为，则，即直线的解析式为，根据平行四边形性质可得，，，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据边之间的关系可得OG，则，再根据待定系数法将点D坐标代入直线EF解析式即可求出答案.
（3）过点D作，垂足为H，过点B作，垂足为N，过点N作，垂足为K，根据相似三角形性质可得，则，根据正切定义可得，根据x轴上点的坐标特征可得在，求出直线BN的解析式为，则，根据两点间距离可得，则，，正切定义可得，解方程，结合第一象限内点的坐标特征即可求出答案.
（1）解：点在抛物线上，
．
将代入，
得，
抛物线的解析式为．
（2）如图③，过点作，垂足为．
由（1）可得抛物线的解析式为，
，
是等腰直角三角形，
．
设直线的解析式为，则，
直线的解析式为．
四边形是平行四边形，
，，，
，
，，
，
．
点在直线上，把代入中，
得，解得，
直线的解析式为
（3）如图④，过点D作，垂足为H，过点B作，垂足为N，过点N作，垂足为K．
∵，
∴，
∴，
∴，则．
，则，
由直线EF的解析式为，得．
∵，，
∴直线BN的解析式为，
∴，
∴，
∴，
，
∴，，
整理可得，
解得．
∵点D在第一象限内，
∴，
∴，
即当△ADE∽△DBM时，点D的坐标为．
25．【答案】（1）证明：如图③，连接，过点C作于点H，过点B作于点G．
∵，，
∴．
∴，即，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
又，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：如图④，连接，过点C作于点T，在上取点K，使，连接．
令，，
设．由（1）可得．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，即，
∴，
∴，．
在中，，，
∴，
∴，，．
在等腰三角形中，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
解得，
即当时，的长为；
（3）解：如图⑤，在的延长线取点W，且，过点C作于点J．设与的交点为R．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
在中，由（2）可得．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，过点C作于点H，过点B作于点G，根据直线平行性质可得，再根据正弦定义可得，根据勾股定理可得AG，再根据边之间的关系可得AH，则，再根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）连接，过点C作于点T，在上取点K，使，连接，令，，设．由（1）可得．根据直线平行性质可得，根据等边对等角可得，则，再根据直线平行性质可得，则，再根据角之间的关系可得，根据边之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据勾股定理可得CD，解直角三角形可得，，，，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（3）在的延长线取点W，且，过点C作于点J．设与的交点为R，根据正弦定义可得，根据边之间的关系可得，再根据直线平行性质可得，根据正切定义可得，根据边之间的关系可得EF，PF，EP，AW，再根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）证明：如图③，连接，过点C作于点H，过点B作于点G．
∵，，
∴．
∴，即，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
又，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：如图④，连接，过点C作于点T，在上取点K，使，连接．
令，，
设．由（1）可得．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，即，
∴，
∴，．
在中，，，
∴，
∴，，．
在等腰三角形中，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
解得，
即当时，的长为；
（3）解：如图⑤，在的延长线取点W，且，过点C作于点J．设与的交点为R．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
在中，由（2）可得．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
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